江西省吉安市第一中学2024-2025学年高三下学期全真模拟（二）数学试卷

吉安一中2024-2025学年度下学期全真模拟考试（二） 高三数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 的小数点后第二位的数字是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 4. 如图函数的图象过点三点，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知是等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 21 6. 在随机事件满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的实轴长等于8，等腰梯形的四个顶点均在双曲线上，边都与轴平行，其中在轴下方，且；又等腰梯形的高等于3，则双曲线的离心率=（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，函数的图象与的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的定义域为 D. 的图象与的图象有且仅有一个公共点 10. 的内角所对的边分别为，且，则（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 若，则 D. 11. 设直线 两两垂直，且三条直线与平面 所成角如下表所示： 夹角 0 0 注： 夹角为 0 表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 和 互余 D. 和 互补 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是______． 13. 若直线 上有且仅有一点 ，使得 ，则直线 被圆 截得的弦长为_____ 14. “素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某种昆虫的产卵数y（单位：个）与一定范围内的温度（单位：）有关；科研人员随机挑选了5个不同的温度进行研究，观测得到样本数据如下： 温度 8 10 11 12 14 产卵数 6 11 14 经计算得产卵数y与温度的相关系数，可以判断产卵数y与温度线性相关性很强，又进一步通过最小二乘法求得关于的线性回归方程是 （1）已知，分别求样本数据中温度及产卵数的方差； （2）若，分别求的值. 附：参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为. 16. 已知圆锥的顶点为，底面圆的直径的长度为4，母线长为. （1）如图1所示，若为圆上异于点的任意一点，当三角形的面积达到最大时，求二面角的大小； （2）如图2所示，若，点在线段上，一只蚂蚁从点出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段的长度.（上坡表示距离顶点越来越近） 17. 已知定点，定直线，动点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知动直线与曲线交于点，若点的坐标为为坐标原点，则的面积可以等于2吗？若可以，求满足条件的直线；若不存在，说明理由； （3）已知定点，动点是曲线上的点，求的最小值. 18. 已知数列满足：，其中 （1）已知，令，求数列的通项公式； （2）已知，且对任意都满足：，求数列的通项公式； （3）已知，记，证明 19. 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 吉安一中2024-2025学年度下学期全真模拟考试（二） 高三数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】CD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）不存在，理由： 当直线的斜率不存在时，的面积为，不合题意； 当直线的斜率存在时，设，， 由消去得， 则，， 又点到直线的距离，由 整理得：或，而两个方程均无实数解， 所以不存在满足条件的直线. （3）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 由可推出， ，从而可得数列是递增数列. 由， 得：， ， 由得： 【19题答案】 【答案】（1） 函数和＂2次缠绕＂， 理由如下：，当和时，， 则对任意， 当且仅当和时，等号成立， 所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂． （2）； （3） 方法一：取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且和在上＂次缠绕＂． 方法二：记，取， 设，其中，则， 且当时，， 因为， 所以与同号，（＊） 为奇数时，设， 显然，且， 当时，与同号， 由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号； 所以． 为偶数时，设， 同理可知，，且和“次缠绕”． 综上，存在，使得， 且和在上“次缠绕” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $