期末核心考点讲义 集合与逻辑、不等式-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）

专题8 集合与逻辑、不等式【讲*人教A版】 【必备知识】 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作(或). (2)真子集：如果集合，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若，且，则. (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 若全集为，则集合A的补集为 图形表示 集合表示 ，或 ，且 ，且 4.常用结论 （1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有个； （2）； （3），. 【考向归类】 考向一：集合的基本概念 【典例1】1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 【备考提醒】 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 【举一反三】 （24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习） 1．已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． （2025·河南·一模） 2．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 考向二：集合间的基本关系 【典例2】（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 因为⫋，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【备考提醒】 1.若，应分和两种情况讨论； 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. 【举一反三】 （25-26高一上·全国·课后作业） 3．设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． （24-25高一下·湖北黄石·阶段练习） 4．集合，，则符合的集合B的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件可得集合是集合的真子集与集合的并集，进而求出集合个数. 【详解】由集合，， 由题意可知集合是集合的真子集与集合的并集，而的真子集个数为， 所以集合B的个数为7. 故选：B 考向三：集合的基本运算 【典例3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 由题得，所以． 故选: B． 【备考提醒】 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.数形结合思想的应用： (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心. 【举一反三】 （2025·山东威海·三模） 5．已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. （2025·江苏苏州·模拟预测） 6．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，再逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 【必备知识】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 且 p是q的必要不充分条件 且 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 且 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有成立 存在M中的元素x，成立 简记 否定 【考向归类】 考向一：充分、必要条件 【典例1】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【思路引导】（1）先解分式不等式得集合，再利用集合的并集定义求解； （2）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （3）由必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. （1）由不等式移项可得，通分得到． 即，解得，故． 当时，，则. （2）由，可得， 因为， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. （3）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得，故实数的取值范围是． 【备考提醒】 充分、必要条件的两种判定方法： 1.定义法：根据，进行判断，适用于定义、定理判断性问题； 2.集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 【举一反三】 （2025·天津·二模） 7．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】构造函数，利用函数在单调递增检验充分必要性即可求解. 【详解】令，在上都为增函数，在单调递增， 又a，，所以， 即“”是“”的充要条件， 故选：C （25-26高一上·全国·课后作业） 8．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 考向二：含量词命题 【典例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】D 当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 【备考提醒】含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论. 【举一反三】 （24-25高二上·山西忻州·开学考试） 9．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件. 【详解】命题的否定为：“” 若该命题为真命题得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件， 故选：C. （2025·天津和平·三模） 10．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：D 【必备知识】 1．比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 3.基本不等式 （1）如果，那么，当且仅当时，等号成立． 其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）几个重要的不等式 ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式：. 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 3.一元二次不等式的解集 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式与的解集的关系，可归纳为： 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两相异实根或 有两相同实根 无实根 一元 二次不等式的解集 或 若时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解． 考向一：不等式及其性质 【典例1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】D 因为，， 当时 ，，A选项错误； 当时 ，，B选项错误； 当时 ，，C选项错误； 因为，所以，又因为，所以，D选项正确； 故选：D. 【备考提醒】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 【举一反三】 （24-25高一上·四川泸州·阶段练习） 11．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则，解得，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A. （2025高三·全国·专题练习） 12．设，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法判断与0的关系可得到不等关系，即可求得结果. 【详解】对于A，，无法判断，该选项错误； 对于B，，不成立，该选项错误； 对于C，，成立，该选项正确； 对于D，，不成立，该选项错误. 故选：C. 考向二：基本不等式 【典例2】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 【备考提醒】 1.通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式； 2.注意验证取得条件． 【举一反三】 （2025·黑龙江佳木斯·三模） 13．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. （2025·云南昆明·模拟预测） 14．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 考向三：一元二次不等式 【典例1】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【思路引导】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. （1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 【备考提醒】 1.根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论； 2.根据判别式Δ与0的关系判断根的个数，数形结合处理； 3.有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论． 【举一反三】 （24-25高一上·江苏镇江·期末） 15．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． （24-25高一上·云南玉溪·期末） 16．已知关于的不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)已知，，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意可知，的根为，2，利用韦达定理可求，的值； （2）结合（1）可得，则，展开后利用基本不等式可求的最小值． 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或， 所以，的根为，2， 则即． （2）， ， 当且仅当，即时取得最小值， 所以的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 集合与逻辑、不等式【讲*人教A版】 【必备知识】 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作(或). (2)真子集：如果集合，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若，且，则. (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 若全集为，则集合A的补集为 图形表示 集合表示 ，或 ，且 ，且 4.常用结论 （1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有个； （2）； （3），. 【考向归类】 考向一：集合的基本概念 【典例1】1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 【备考提醒】 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 【举一反三】 （24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习） 1．已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 （2025·河南·一模） 2．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 考向二：集合间的基本关系 【典例2】（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 因为⫋，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【备考提醒】 1.若，应分和两种情况讨论； 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. 【举一反三】 （25-26高一上·全国·课后作业） 3．设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 （24-25高一下·湖北黄石·阶段练习） 4．集合，，则符合的集合B的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 考向三：集合的基本运算 【典例3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 由题得，所以． 故选: B． 【备考提醒】 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.数形结合思想的应用： (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心. 【举一反三】 （2025·山东威海·三模） 5．已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 （2025·江苏苏州·模拟预测） 6．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【必备知识】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 且 p是q的必要不充分条件 且 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 且 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有成立 存在M中的元素x，成立 简记 否定 【考向归类】 考向一：充分、必要条件 【典例1】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【思路引导】（1）先解分式不等式得集合，再利用集合的并集定义求解； （2）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （3）由必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. （1）由不等式移项可得，通分得到． 即，解得，故． 当时，，则. （2）由，可得， 因为， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. （3）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得，故实数的取值范围是． 【备考提醒】 充分、必要条件的两种判定方法： 1.定义法：根据，进行判断，适用于定义、定理判断性问题； 2.集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 【举一反三】 （2025·天津·二模） 7．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （25-26高一上·全国·课后作业） 8．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向二：含量词命题 【典例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】D 当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 【备考提醒】含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论. 【举一反三】 （24-25高二上·山西忻州·开学考试） 9．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． （2025·天津和平·三模） 10．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【必备知识】 1．比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 3.基本不等式 （1）如果，那么，当且仅当时，等号成立． 其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）几个重要的不等式 ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式：. 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 3.一元二次不等式的解集 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式与的解集的关系，可归纳为： 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两相异实根或 有两相同实根 无实根 一元 二次不等式的解集 或 若时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解． 考向一：不等式及其性质 【典例1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】D 因为，， 当时 ，，A选项错误； 当时 ，，B选项错误； 当时 ，，C选项错误； 因为，所以，又因为，所以，D选项正确； 故选：D. 【备考提醒】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 【举一反三】 （24-25高一上·四川泸州·阶段练习） 11．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习） 12．设，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 考向二：基本不等式 【典例2】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 【备考提醒】 1.通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式； 2.注意验证取得条件． 【举一反三】 （2025·黑龙江佳木斯·三模） 13．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 （2025·云南昆明·模拟预测） 14．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 考向三：一元二次不等式 【典例1】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【思路引导】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. （1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 【备考提醒】 1.根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论； 2.根据判别式Δ与0的关系判断根的个数，数形结合处理； 3.有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论． 【举一反三】 （24-25高一上·江苏镇江·期末） 15．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． （24-25高一上·云南玉溪·期末） 16．已知关于的不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)已知，，且，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$