期末核心考点讲义函数-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）

专题9 函数【讲*人教A版】 【必备知识】 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作． 2．函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【常用结论】 1．直线与函数的图象至多有1个交点； 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集； 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 【考向归类】 考向一：函数的概念 【典例1】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，且，则（ ） A．    B．3    C．    D．17 【答案】B 【详解】函数，令，则，而， 所以． 故选：B 【备考提醒】 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 1．函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应． 2．两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 【举一反三】（24-25高一下·山东潍坊·开学考试） 1．下列函数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据相等函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项的正误. 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，即函数不相等； B：的定义域为，的定义域为R，即函数不相等； C：的定义域为，的定义域为，即函数不相等； D：、的定义域和对应法则都相等，即函数相等. 故选：D （24-25高二下·浙江·期中） 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 考向二：函数的解析式 【典例2】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【思路引导】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式． （2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式． 【详解】（1）因为函数是一次函数，则设． 由于，所以 所以．化简得： 这是一个恒等式，所以，且． 所以． 所以函数的解析式为． （2）， 令，． 所以． 所以函数的解析式为． 【备考提醒】 函数解析式的求法 1．配凑法．2．待定系数法．3换元法．4解方程组法． 【举一反三】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习） 3．（1）已知，求的表达式； （2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可． （2）设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式． 【详解】在中用替换，得， 于是有， 消去，得． 所求函数的表达式为． （2）奇函数的定义域为． 当时，，又当时，， ， ． 故． （24-25高一上·云南昭通·期中） 4．已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 考向三：分段函数 【典例3】（2025·浙江金华·三模）狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（ ） A．不存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，满足 D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形 【答案】D 【详解】根据狄利克雷函数，可知： 当时，若，则，，所以； 若，则，，所以， 故时，恒成立，故选项A错误； ，当时，； ，当时，， 所以对于，当时，不成立，故选项B错误； 令，，则，此时，，不成立，故选项C错误； 取函数图象上点，，，此时，，， 所以，所以是直角三角形，故选项D正确． 故选：D． 【备考提醒】 分段函数求值问题的解题思路： 1．求函数值：当出现的形式时，应从内到外依次求值； 2．求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 【举一反三】（2025·海南·模拟预测） 5．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B （2025·广东茂名·二模） 6．已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 【必备知识】 1．函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为D，区间，如果 当时，都有，那么就称函数在区间Ⅰ上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当时，都有，那么就称函数在区间Ⅰ上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数在区间Ⅰ上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间Ⅰ叫做的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 （1），都有；（2），使得． （1），都有；（2），使得． 结论 M是函数的最大值 M是函数的最小值 3．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 关于原点对称 4．对称性 轴对称结论 设函数的定义域为D，若，则的图象关于直线轴对称； 若，则的图象关于直线轴对称． 中心对称结论 若，则的图象关于点中心对称；若，则的图象关于点中心对称． 4．函数的周期性 （1）周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 【考向归类】 考向一：函数的单调性与最值 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． （1）若，证明函数在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，的值域为，求a的值． 【思路引导】（1）根据题意结合单调性的定义结合作差法分析证明； （2）根据分类讨论单调性分析最值，进而可得结果． 【详解】（1）证明：设． 当时，，所以，所以函数在上单调递减． 同理可得在上单调递增． （2）解：①当时，，不满足条件． ②当时，易知函数在上单调递增， 则满足即解得，不满足条件． ③当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值应在处取得．当时，函数在上的最小值为， 所以，解得，经检验，符合条件； 当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件； 当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件． 综上，． 【备考提醒】 1．确定函数单调性的四种方法 （1）定义法．（2）导数法．（3）图象法．（4）性质法． 2．比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 3．求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 4．利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 【举一反三】（2025·甘肃甘南·模拟预测） 7．若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】若为上的增函数，则，解得， 故的取值范围是． 故选：A． （24-25高一下·广西柳州·开学考试） 8．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（    ） A．方程有三个根 B．的单调减区间为和 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】由的定义作出函数图象，结合图象依次判断各个选项即可. 【详解】由的定义作出函数图象，如图，    由图象可知： 对于A，的图象与直线有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确； 对于B，的单调递减区间为和，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，无最小值，D错误. 故选：A 考向二：函数的奇偶性及应用 【典例2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数为定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （3）当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围． 【思路引导】（1）根据奇函数在原点有定义，由即可求解； （2）根据单调性的定义即可判断与证明； （3）对任意的，总存在，使得成立，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集即可． 【详解】（1）因为为R上的奇函数，所以， 所以； （2）由（1）得：，当时，在为减函数． 证明如下： 取且， 因为，所以 所以，即， 所以在为减函数． （3）若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减，则当时 不妨记函数在区间内的值域为． ① 当时，在上单调递减， 则，得在区间内的值域为． 因，故对任意的，总存在，使得成立; ② 当时，为开口向下的二次函数，对称轴， 所以在上单调递减，则， 所以在区间内的值域为． 因，故，所以; ③ 当时， （i）当时，，在上单调递减，且， 则， 得在区间内的值域为． 因，故对任意的，总存在，使得成立； （ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则， 得在区间内的值域为． 所以，该不等式组无解； （iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则， 得在区间内的值域为，不符合题意． 综上，实数的取值范围为． 【备考提醒】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1．定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数； 2．判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式( (奇函数)或 (偶函数))是否成立． 【举一反三】 （2025·河南许昌·三模） 9．下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义，判断各函数的奇偶性，再判断值域即可. 【详解】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. （2025·湖北·三模） 10．已知，且，则下列可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性，再结合函数的图像，逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， ， 所以函数为奇函数， 又， 所以函数在R上单调递增， 又， 所以可得： ， 画出的图像， 当，，时，不成立， 当时，可能成立， 故选：D 考向三：函数的性质综合应用 【典例3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（ ） A．为偶函数    B．为周期函数且周期为12 C．    D． 【答案】D 【详解】因为，用代替，可得， 令，得，即， 令，得，所以，C正确； 用替换，可得，所以， 所以函数为偶函数，A正确； 用替换，可得， 所以，所以， 所以，即． 所以， 故是以12为周期的周期函数，B正确； ， 所以； ，，， 所以，D错误． 故选：D． 【备考提醒】 1．求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 【举一反三】（2025·湖南邵阳·三模） 11．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得到上图象是以为圆心，2为半径的半圆，利用周期性画出，在区间上的图象，数形结合求参数范围. 【详解】当时，令，即且， 故图象是以为圆心，2为半径的半圆， 又的周期为8，若直线过时，即， 在同一坐标系，在区间上的图象如下，恰有8个交点， 当直线与半圆且相切时，， 所以，可得，结合图知， 当与半圆且相交时，只有一个交点， 此时，上，恰有5个交点， 综上，实数的取值范围是. 故选：C （2025·山东·一模） 12．已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（    ） A．9 B．10 C．17 D．12 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、对称性，得出函数是周期函数，再根据当时，，结合其单调性、对称性、周期性作出函数在区间上的图象，利用函数与函数的图象，由交点的个数可得出方程根的个数. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 由可知，函数的图象关于直线对称， 则有，则，则， 所以，故是周期函数，周期. 又因为，所以，且有，则. 当时，是增函数， 且时，，时，，所以在上有且仅有一个零点. 函数与函数的图象如图， 由图可知，方程在区间上有10个根，去除后，还有9个根， 方程的根，即函数的图象与函数的图象的交点，有8个， 所以，方程在区间上的根的个数为. 故选：C. 【必备知识】 1．幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减； ④当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数． 2．根式 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且； （2）式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （3）；当n为奇数时，，当n为偶数时，； 3．分数指数幂正数的正分数指数幂：． 正数的负分数指数幂：． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 4．指数幂的运算性质 ；；． 5．指数函数及其性质 （1）概念：一般地，函数(，且)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是． （2）指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 增函数 减函数 6．对数的概念 一般地，如果(，且)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 ；以e为底的对数叫做自然对数，记作 ． 7．对数的性质与运算性质 （1）对数的性质：，(，且)． （2）对数的运算性质 如果，且，，那么： ①；②； ③． （3）对数换底公式：(，且，，，且)． (，且，，且)，(，且，) 8．对数函数 （1）概念：一般地，函数(，且)叫做对数函数，其中真数x是自变量，定义域是． （2）对数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 增函数 减函数 9．反函数 指数函数(，且)与对数函数(，且)互为反函数，它们的图象关于直线对称． 【考向归类】 考向一：幂函数 【典例1】（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． （1）求函数的解析式； （2）函数是否具有奇偶性？请说明理由； （3）若，求实数的取值范围． 【思路引导】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解． （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解． 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为． （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数． （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围． 【备考提醒】 1．对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即所分区域．根据的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【举一反三】（24-25高一下·辽宁·开学考试） 13．已知幂函数为偶函数. (1)求实数的值，并写出的单调区间（不必证明）； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，单调增区间为，单调减区间为. (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数，可求出m的值，结合函数的单调性即可确定m的取值，进而求得函数单调区间. （2）结合函数的奇偶性以及单调性，将转化为关于x的不等式，即可求得答案. 【详解】（1）因为是幂函数， 故，解得或； 当时，，定义域为，满足，函数为偶函数， 当时，，定义域为，函数非奇非偶函数，不符题意； 故，，其单调增区间为，单调减区间为. （2）由（1）知为偶函数，单调增区间为，单调减区间为. 由于，故， 即且，解得或， 即的取值范围为， （24-25高一上·山东威海·期末） 14．已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据幂函数的性质确定的值，进而确定函数的解析式，再根据函数单调性的定义证明. （2）先根据函数的单调性，确定集合，再分情况讨论二次函数在给定区间上的最值，根据条件列出不等式求参数的取值范围. 【详解】（1）由，所以或， 由幂函数的图象关于轴对称，所以. 故. 所以. 函数在上单调递增，下面用单调性定义证明： 设， 则. 因为，所以，，，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，. 对，. 当即时，在上单调递增，所以， 由. 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，无解. 当即时，在上单调递减，所以， 由，这与矛盾，无解. 综上可知：. 故的取值范围是：. 考向二：指数与指数函数 【典例2】（24-25高一下·上海·阶段练习）设函数（且）是定义域为R的奇函数． （1）求k的值； （2）若，试判断并说明函数的单调性； （3）在（2）的条件下求使不等式恒成立的t的取值范围． 【思路引导】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得的值； （2）由，可求出的范围，利用函数的奇偶性； （3）将不等式化为，再利用函数的单调性转化为，利用即可求解． 【详解】（1）∵是定义域为R的奇函数， ∴， ∴，此时，满足， 综上，． （2）由（1）知，且， ∵，∴， 又，且，∴， 在R上单调递减，在R上单调递增， 故在R上单调递减， （3）不等式化为， ∵是定义域为R的奇函数， ∴，即， ∴，∴恒成立， ∴，解得． ∴． 【备考提醒】 1．指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． 2．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 3．利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． 4．求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【举一反三】 （2025·上海浦东新·二模） 15．已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . （24-25高一上·安徽铜陵·期末） 16．已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 考向三：对数与对数函数 【典例3】（24-25高一下·江西·期中）已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【思路引导】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得； （2）依题意关于的不等式在上有解，令，，利用作差法证明函数的单调性，即可得到在上的单调性，从而求出，即可得解． 【详解】（1）因为函数为偶函数，所以， 即， 所以，整理得恒成立， 所以，解得，所以，故． （2）由（1）可得，关于x的不等式在上有解， 令，，取， 则． 因为，所以，，，， 所以，，即， 所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，因此在上单调递增． 令，， 因为函数与函数在上均单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以，故实数的取值范围为． 【备考提醒】 1．解决对数运算问题的常用方法 （1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． （2）将同底对数的和、差、倍合并． （3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 2．对数函数图象的识别及应用方法 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 3．求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成． 【举一反三】（24-25高一下·浙江·期中） 17．已知函数. (1)求不等式的解集A； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解对数不等式即可求出解集A； （2）分离参数可得，利用换元法以及基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）由可得， 故解集为； （2）易知， 故， 令，，则在上恒成立， 只需，当且仅当时，等号成立； 故. （24-25高二下·陕西渭南·阶段练习） 18．已知函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由对数的真数大于零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）判断出函数为奇函数，利用函数奇偶性的定义可证得结论成立； （3）由对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得所求不等式的解集. 【详解】（1）对于函数，有，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数是奇函数， 证明：由（1）知的定义域关于原点对称， 所以函数是奇函数. （3）由题意，当时，，解得， 所以所求不等式的解集是. 【必备知识】 1．函数图象 （1）利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线． （2）利用图象变换法作函数的图象 ①平移变换 ②对称变换 ； ； ． ③翻折变换 ； ． 2．函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与x轴有公共点． （3）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y＝f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个c也就是方程的解． 4．二分法 对于在区间图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5．三种函数模型的性质 函数性质 在上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随值的变化而各有不同 6．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 二次函数模型 反比例函数模型 指数函数模型 且 对数函数模型 且 幂函数模型 【考向归类】 考向一：函数的图象 【典例1】（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图象的是（ ） A．     B． C．     D． 【答案】A 【详解】由已知，定义域为，， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除B，C； 又，故D错误，A正确． 故选：A． 【备考提醒】 1．函数图象的常见画法及注意事项 （1）直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图． （2）转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画． （3）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． （4）画函数的图象一定要注意定义域． 2．识别函数的图象的主要方法 （1）利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． （2）利用函数的零点、极值点等判断． （3）利用特殊函数值判断． 3．当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解． 【举一反三】（2025·山东枣庄·二模） 19．将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过平移得到,再结合对数的运算性质,由基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得， 因为， 所以， 所以， 即，且. 因为，当且仅当时，取到最小值. 故选：B （2025·江西·三模） 20．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B. 【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D. 当时，，所以，排除B. 故选：A. 考向二：函数的零点与方程的解 【典例2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，． （1）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （2）用表示实数m，n中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数． 【思路引导】（1）分和两种情况，结合函数对称轴，得到不等式，求出实数a的取值范围； （2）分和，再细分，，，得到两函数交点情况，从而得到的零点个数． 【详解】（1）①当时，则是单调函数，不成立； ②当时，为二次函数，对称轴为， 则；解得； 综上，． （2）当时，则，， 显然，的图象在的图象上方， 故，无零点； 当时，，即，所以或； （ⅰ）当时，，当时，在上单调递增， 且，故，无零点； （ⅱ）当时，当时，即， 此时与只有1个交点，且交点在轴下方， 故有2个零点，分别为和1； 当时，即，此时与只有1个交点，交点横坐标为1， 故有1个零点1； 当时，即，此时与只有1个交点，交点在轴上方， 故无零点． 综上，当时，无零点，当时，有1个零点， 当时，有2个零点． 【备考提醒】 1．确定函数零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点存在定理；（2）数形结合法． 2．求解函数零点个数的基本方法 （1）直接法：令，方程有多少个不同的实数根，则有多少个零点． （2）定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． （3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 3．根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解． 【举一反三】（24-25高一下·广东·期中） 21．已知函数，（且），函数的图象经过点. (1)求关于x的不等式的解集； (2)若函数有两个零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干条件可求出，得到解析式，代入得到关于的一元二次不等式，由此可以解出答案； （2）将问题转化为方程有两个实数解，即有两个实数解， 利用对勾函数性质求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 所以，即，得， 所以，， 所以不等式转化为， 即，即， 因为，所以，得， 所以不等式的解集为； （2）由（1）知， 所以由有两个零点，知方程有两个实数解， 即，得有两个实数解， 令，则，当且仅当，即时取等号， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数与的图象在区间和上各有一个交点， 则，得， 所以实数k的取值范围是. （24-25高二下·福建福州·期中） 22．定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，可得，由此可得，解方程，可得，由此可得，由可得，设，结合单调性及零点存在性定理确定函数的零点范围，由此可得的范围，再比较大小可得结论. 【详解】因为，所以， 令可得，所以， 所以是函数的“躺平点”，故， 因为，所以， 令可得，所以， 所以是函数的“躺平点”，故， 因为，所以， 令可得， 设函数， 因为函数为增函数，在上单调递减， 所以函数在上为单调递增， 又，， 所以函数在上有且只有一个零点， 设其零点为，则， 所以方程的解集为， 所以是函数的“躺平点”， 即，， ，且， 所以， 故选：C. 考向三：函数模型的应用 【典例3】（24-25高一下·湖南·期中）DeepSeek以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度（）与时间t（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，a为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的，至少需要的时间为（ ）（参考数据：） A．23个月    B．24个月    C．25个月    D．26个月 【答案】C 【详解】设关注度下降到峰值的，至少需要的时间为t个月， 由题意得，则， 由，则， 所以， 即，又，则至少需要的时间为25个月． 故选：C． 【备考提醒】 1．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 2．已知函数模型解决实际问题的关键 （1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． （2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． （3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 3．构建函数模型解决实际问题的步骤 （1）建模：抽象出实际问题的数学模型． （2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． （3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 【举一反三】（2025·陕西咸阳·模拟预测） 23．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 【答案】A 【分析】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.由题意知及，联立方程组，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米. 由题意知，，即①. 又，即，即②. 由可得，解得. 故选：A. （2025·甘肃·一模） 24．某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表： 0 1 2 3 研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析表中数据根据单调性和过点即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过. 函数和图象不过，不符合条件，故BC错误； 函数单调递增，故A错误； D选项：满足上述条件，故D正确. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 函数【讲*人教A版】 【必备知识】 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作． 2．函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【常用结论】 1．直线与函数的图象至多有1个交点； 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集； 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 【考向归类】 考向一：函数的概念 【典例1】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，且，则（ ） A．    B．3    C．    D．17 【答案】B 【详解】函数，令，则，而， 所以． 故选：B 【备考提醒】 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 1．函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应． 2．两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 【举一反三】（24-25高一下·山东潍坊·开学考试） 1．下列函数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 （24-25高二下·浙江·期中） 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 考向二：函数的解析式 【典例2】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【思路引导】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式． （2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式． 【详解】（1）因为函数是一次函数，则设． 由于，所以 所以．化简得： 这是一个恒等式，所以，且． 所以． 所以函数的解析式为． （2）， 令，． 所以． 所以函数的解析式为． 【备考提醒】 函数解析式的求法 1．配凑法．2．待定系数法．3换元法．4解方程组法． 【举一反三】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习） 3．（1）已知，求的表达式； （2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式． （24-25高一上·云南昭通·期中） 4．已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 考向三：分段函数 【典例3】（2025·浙江金华·三模）狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（ ） A．不存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，满足 D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形 【答案】D 【详解】根据狄利克雷函数，可知： 当时，若，则，，所以； 若，则，，所以， 故时，恒成立，故选项A错误； ，当时，； ，当时，， 所以对于，当时，不成立，故选项B错误； 令，，则，此时，，不成立，故选项C错误； 取函数图象上点，，，此时，，， 所以，所以是直角三角形，故选项D正确． 故选：D． 【备考提醒】 分段函数求值问题的解题思路： 1．求函数值：当出现的形式时，应从内到外依次求值； 2．求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 【举一反三】（2025·海南·模拟预测） 5．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． （2025·广东茂名·二模） 6．已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【必备知识】 1．函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为D，区间，如果 当时，都有，那么就称函数在区间Ⅰ上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当时，都有，那么就称函数在区间Ⅰ上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数在区间Ⅰ上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间Ⅰ叫做的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 （1），都有；（2），使得． （1），都有；（2），使得． 结论 M是函数的最大值 M是函数的最小值 3．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 关于原点对称 4．对称性 轴对称结论 设函数的定义域为D，若，则的图象关于直线轴对称； 若，则的图象关于直线轴对称． 中心对称结论 若，则的图象关于点中心对称；若，则的图象关于点中心对称． 4．函数的周期性 （1）周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 【考向归类】 考向一：函数的单调性与最值 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． （1）若，证明函数在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，的值域为，求a的值． 【思路引导】（1）根据题意结合单调性的定义结合作差法分析证明； （2）根据分类讨论单调性分析最值，进而可得结果． 【详解】（1）证明：设． 当时，，所以，所以函数在上单调递减． 同理可得在上单调递增． （2）解：①当时，，不满足条件． ②当时，易知函数在上单调递增， 则满足即解得，不满足条件． ③当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值应在处取得．当时，函数在上的最小值为， 所以，解得，经检验，符合条件； 当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件； 当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件． 综上，． 【备考提醒】 1．确定函数单调性的四种方法 （1）定义法．（2）导数法．（3）图象法．（4）性质法． 2．比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 3．求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 4．利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 【举一反三】（2025·甘肃甘南·模拟预测） 7．若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （24-25高一下·广西柳州·开学考试） 8．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（    ） A．方程有三个根 B．的单调减区间为和 C．的最大值为 D．的最小值为 考向二：函数的奇偶性及应用 【典例2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数为定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （3）当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围． 【思路引导】（1）根据奇函数在原点有定义，由即可求解； （2）根据单调性的定义即可判断与证明； （3）对任意的，总存在，使得成立，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集即可． 【详解】（1）因为为R上的奇函数，所以， 所以； （2）由（1）得：，当时，在为减函数． 证明如下： 取且， 因为，所以 所以，即， 所以在为减函数． （3）若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减，则当时 不妨记函数在区间内的值域为． ① 当时，在上单调递减， 则，得在区间内的值域为． 因，故对任意的，总存在，使得成立; ② 当时，为开口向下的二次函数，对称轴， 所以在上单调递减，则， 所以在区间内的值域为． 因，故，所以; ③ 当时， （i）当时，，在上单调递减，且， 则， 得在区间内的值域为． 因，故对任意的，总存在，使得成立； （ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则， 得在区间内的值域为． 所以，该不等式组无解； （iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则， 得在区间内的值域为，不符合题意． 综上，实数的取值范围为． 【备考提醒】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1．定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数； 2．判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式( (奇函数)或 (偶函数))是否成立． 【举一反三】 （2025·河南许昌·三模） 9．下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． （2025·湖北·三模） 10．已知，且，则下列可能成立的是（    ） A． B． C． D． 考向三：函数的性质综合应用 【典例3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（ ） A．为偶函数    B．为周期函数且周期为12 C．    D． 【答案】D 【详解】因为，用代替，可得， 令，得，即， 令，得，所以，C正确； 用替换，可得，所以， 所以函数为偶函数，A正确； 用替换，可得， 所以，所以， 所以，即． 所以， 故是以12为周期的周期函数，B正确； ， 所以； ，，， 所以，D错误． 故选：D． 【备考提醒】 1．求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 【举一反三】（2025·湖南邵阳·三模） 11．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2025·山东·一模） 12．已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（    ） A．9 B．10 C．17 D．12 【必备知识】 1．幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减； ④当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数． 2．根式 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且； （2）式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （3）；当n为奇数时，，当n为偶数时，； 3．分数指数幂正数的正分数指数幂：． 正数的负分数指数幂：． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 4．指数幂的运算性质 ；；． 5．指数函数及其性质 （1）概念：一般地，函数(，且)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是． （2）指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 增函数 减函数 6．对数的概念 一般地，如果(，且)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 ；以e为底的对数叫做自然对数，记作 ． 7．对数的性质与运算性质 （1）对数的性质：，(，且)． （2）对数的运算性质 如果，且，，那么： ①；②； ③． （3）对数换底公式：(，且，，，且)． (，且，，且)，(，且，) 8．对数函数 （1）概念：一般地，函数(，且)叫做对数函数，其中真数x是自变量，定义域是． （2）对数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 增函数 减函数 9．反函数 指数函数(，且)与对数函数(，且)互为反函数，它们的图象关于直线对称． 【考向归类】 考向一：幂函数 【典例1】（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． （1）求函数的解析式； （2）函数是否具有奇偶性？请说明理由； （3）若，求实数的取值范围． 【思路引导】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解． （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解． 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为． （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数． （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围． 【备考提醒】 1．对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即所分区域．根据的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【举一反三】（24-25高一下·辽宁·开学考试） 13．已知幂函数为偶函数. (1)求实数的值，并写出的单调区间（不必证明）； (2)若，求的取值范围. （24-25高一上·山东威海·期末） 14．已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 考向二：指数与指数函数 【典例2】（24-25高一下·上海·阶段练习）设函数（且）是定义域为R的奇函数． （1）求k的值； （2）若，试判断并说明函数的单调性； （3）在（2）的条件下求使不等式恒成立的t的取值范围． 【思路引导】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得的值； （2）由，可求出的范围，利用函数的奇偶性； （3）将不等式化为，再利用函数的单调性转化为，利用即可求解． 【详解】（1）∵是定义域为R的奇函数， ∴， ∴，此时，满足， 综上，． （2）由（1）知，且， ∵，∴， 又，且，∴， 在R上单调递减，在R上单调递增， 故在R上单调递减， （3）不等式化为， ∵是定义域为R的奇函数， ∴，即， ∴，∴恒成立， ∴，解得． ∴． 【备考提醒】 1．指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． 2．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 3．利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． 4．求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【举一反三】 （2025·上海浦东新·二模） 15．已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． （24-25高一上·安徽铜陵·期末） 16．已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 考向三：对数与对数函数 【典例3】（24-25高一下·江西·期中）已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【思路引导】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得； （2）依题意关于的不等式在上有解，令，，利用作差法证明函数的单调性，即可得到在上的单调性，从而求出，即可得解． 【详解】（1）因为函数为偶函数，所以， 即， 所以，整理得恒成立， 所以，解得，所以，故． （2）由（1）可得，关于x的不等式在上有解， 令，，取， 则． 因为，所以，，，， 所以，，即， 所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，因此在上单调递增． 令，， 因为函数与函数在上均单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以，故实数的取值范围为． 【备考提醒】 1．解决对数运算问题的常用方法 （1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． （2）将同底对数的和、差、倍合并． （3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 2．对数函数图象的识别及应用方法 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 3．求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成． 【举一反三】（24-25高一下·浙江·期中） 17．已知函数. (1)求不等式的解集A； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. （24-25高二下·陕西渭南·阶段练习） 18．已知函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)求不等式的解集. 【必备知识】 1．函数图象 （1）利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线． （2）利用图象变换法作函数的图象 ①平移变换 ②对称变换 ； ； ． ③翻折变换 ； ． 2．函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与x轴有公共点． （3）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y＝f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个c也就是方程的解． 4．二分法 对于在区间图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5．三种函数模型的性质 函数性质 在上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随值的变化而各有不同 6．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 二次函数模型 反比例函数模型 指数函数模型 且 对数函数模型 且 幂函数模型 【考向归类】 考向一：函数的图象 【典例1】（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图象的是（ ） A．     B． C．     D． 【答案】A 【详解】由已知，定义域为，， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除B，C； 又，故D错误，A正确． 故选：A． 【备考提醒】 1．函数图象的常见画法及注意事项 （1）直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图． （2）转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画． （3）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． （4）画函数的图象一定要注意定义域． 2．识别函数的图象的主要方法 （1）利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． （2）利用函数的零点、极值点等判断． （3）利用特殊函数值判断． 3．当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解． 【举一反三】（2025·山东枣庄·二模） 19．将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 （2025·江西·三模） 20．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 考向二：函数的零点与方程的解 【典例2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，． （1）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （2）用表示实数m，n中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数． 【思路引导】（1）分和两种情况，结合函数对称轴，得到不等式，求出实数a的取值范围； （2）分和，再细分，，，得到两函数交点情况，从而得到的零点个数． 【详解】（1）①当时，则是单调函数，不成立； ②当时，为二次函数，对称轴为， 则；解得； 综上，． （2）当时，则，， 显然，的图象在的图象上方， 故，无零点； 当时，，即，所以或； （ⅰ）当时，，当时，在上单调递增， 且，故，无零点； （ⅱ）当时，当时，即， 此时与只有1个交点，且交点在轴下方， 故有2个零点，分别为和1； 当时，即，此时与只有1个交点，交点横坐标为1， 故有1个零点1； 当时，即，此时与只有1个交点，交点在轴上方， 故无零点． 综上，当时，无零点，当时，有1个零点， 当时，有2个零点． 【备考提醒】 1．确定函数零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点存在定理；（2）数形结合法． 2．求解函数零点个数的基本方法 （1）直接法：令，方程有多少个不同的实数根，则有多少个零点． （2）定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． （3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 3．根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解． 【举一反三】（24-25高一下·广东·期中） 21．已知函数，（且），函数的图象经过点. (1)求关于x的不等式的解集； (2)若函数有两个零点，求实数k的取值范围. （24-25高二下·福建福州·期中） 22．定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（   ） A． B． C． D． 考向三：函数模型的应用 【典例3】（24-25高一下·湖南·期中）DeepSeek以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度（）与时间t（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，a为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的，至少需要的时间为（ ）（参考数据：） A．23个月    B．24个月    C．25个月    D．26个月 【答案】C 【详解】设关注度下降到峰值的，至少需要的时间为t个月， 由题意得，则， 由，则， 所以， 即，又，则至少需要的时间为25个月． 故选：C． 【备考提醒】 1．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 2．已知函数模型解决实际问题的关键 （1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． （2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． （3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 3．构建函数模型解决实际问题的步骤 （1）建模：抽象出实际问题的数学模型． （2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． （3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 【举一反三】（2025·陕西咸阳·模拟预测） 23．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 （2025·甘肃·一模） 24．某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表： 0 1 2 3 研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$