期末核心考点讲义 二项分布、正态分布与超几何分布-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

专题6 二项分布、超几何分布与正态分布【讲*人教A版】 二项分布 （1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.显然，重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做次，且各次试验的结果相互独立. （2）二项分布：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数， 则的分布列为 ，，1， ，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作 ， 且有，. 【考向归类】 考向一：重伯努利试验 【典例1】（24-25高二下·福建三明·期中）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【详解】至少击中两次包括击中2次和击中3次， 所以至少击中两次的概率为， 故选：C. 【备考提醒】 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 1.在每一次试验中，事件发生的概率相同. 2.各次试验中的事件是相互独立的. 3.在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【举一反三】 （24-25高二下·辽宁沈阳·期中） 1．甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由独立重复试验概率计算公式即可求解. 【详解】甲以“”获胜即前3局中，甲胜2局输1局且第4局胜， 记“甲以“”获胜”， 因为各局比赛的结果相互独立， 所以． 故选：B （24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习） 2．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（    ） A．质点回到原点的概率为； B．质点回到原点的概率为 C．质点位于4的位置的概率为 D．质点位于4的位置的概率是 【答案】D 【分析】质点回到原点可知质点向左移动3次，向右移动3次，质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，结合独立试验概率计算公式即可求解． 【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则． （1）质点回到原点，则， ， 所以质点回到原点的概率是； （2）当质点位于4的位置时，则， ， 所以质点位于4的位置的概率是． 故选：D 考向二：二项分布的增减性与最大值 【典例2】（24-25高二下·湖南·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A.16    B.17    C.18    D.19 【答案】C 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得，因为，所以当时，取得最大值. 故选：C. 【备考提醒】 二项分布的增减性与最大值 记，则当时，递增；当时，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则取的整数部分时，最大且唯一）. 【举一反三】 （24-25高二上·江苏常州·期中） 3．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用n次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件进行求解. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C （24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习） 4．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9． 故选：D． 考向三：二项分布的分布列 【典例3】（24-25高二下·重庆渝中·期中）某数学试卷的选择题有单选和多选两种题型.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分.多选题每题四个选项，正确答案只有两种情况：两个选项正确或三个选项正确.全部选对得6分，部分选对的得一部分的分（如果正确答案是2项，那么每项得3分；如果正确答案是3项，那么每项得2分），有错误选择或不选择得0分. （1）若某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立.记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量，求的分布列； （2）若某同学对其中一道多选题完全没有答题思路，决定只随机选择一个选项作答.已知此题正确答案是两个选项的概率为，求该同学回答这道多选题得分的期望和方差. 【思路引导】（1）由题意可得变量满足二项分布，根据其概率公式以及分布列，可得答案； （2）由题意可得变量的所有可能的值，分别求得每个值对应的概率，根据数学期望以及方差的计算，可得答案. 【详解】（1）该同学答对每道单选题的概率均为，易知， 所以， ，， 那么的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）因为这道多选题的正确答案是2个选项的概率，正确答案是3个选项的概率为 只随机选择一个选项作答，共有4种情况，得分的随机变量可以取值为分， 若正确选项是2项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得3分，， 若正确答案是3个选项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得2分，， 其余情况得0分，， 所以得分的数学期望为； 得分的方差为. 【备考提醒】 若，则的分布列为 ，，1， ，. 【举一反三】 （24-25高二下·湖南长沙·期中） 5．某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）由频率分布直方图可得； （2）由（1）结合频率分布直方图可求平均数； （3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题可得，则随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，据此可得答案. 【详解】（1）由题知，，解得. （2）设为样本数据的平均数， 则， 故这组样本数据的平均数为76.5. （3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品， 所抽取的产品为优秀品的概率，由题知， 随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， ∴X的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量X的数学期望. （2025·甘肃甘南·模拟预测） 6．某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 (1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？ (2)用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望． 附：，. 【答案】(1)列联表见解析，无差异 (2)证明见解析， 【分析】（1）完善列联表，提出零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异，      计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【详解】（1）列联表为： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异，         根据列联表中的数据，计算得，，        根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断不成立， 故消费者对、款汽车的售后服务的满意度无差异． （2）从名消费者中随机抽人，对款车的售后服务持满意态度的频率为， 所以从购买、款汽车的消费者中随机抽取人， 则该人对款汽车的售后服务持满意态度的概率为，          X的可能取值为、、、、，且， ，， ，， ，               所以的分布列为： （或）． 考向四：二项分布的应用 【典例4】（2025高三·全国·专题练习）科学健身倡导综合性训练，但一些健身初学者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.小文在某健身房健身，已知她每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为，，，她在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损伤的概率分别为，，. （1）若小文出现了运动损伤，推测她进行哪项运动的可能性最大； （2）在一年（按365天计算）内，小文计划针对出现运动损伤可能性最大的运动方式进行专业培训，当她在该健身房进行该项运动时，就去参加专业培训课程，对于培训课程的费用，该健身房给出以下两种优惠方案. 方案一：参加课时费预存活动，预存50节课则每节课260元，预存80节课则每节课240元，预存100节课及以上则每节课230元. 方案二：参加充值活动，每节课300元，充值金额每满10000元即可优惠2888元. 假定小文每天至多上一节培训课程，则小文选择哪种方案更划算. 【思路引导】（1）利用全概率公式和贝叶斯公式可得平衡性训练的可能性最大； （2）设其一年内参加培训课程的次数为，则，计算期望后比较两个方案交纳的课时费可得更为划算的方案. 【详解】（1）设小文进行有氧运动为事件，进行力量训练为事件， 进行平衡性训练为事件，小文出现运动损伤为事件， 由题意知，，， ，，. 由全概率公式知. 由贝叶斯公式知， ， . 故平衡性训练的可能性大 （2）由（1）知，小文计划针对平衡性训练进行专业培训， 设其一年内参加培训课程的次数为，则， 所以的期望. 则方案一的课时费的期望为（元）. 按每节课300元缴纳课时费的期望为（元）， 共可获得优惠（元）， 故方案二的课时费的期望为（元）. 综上，小文选择方案二更划算. 【备考提醒】 若，则. 【举一反三】 （2025·广东·一模） 7．近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 年月 年月 年月 年月 年月 月份代码 销量千辆 (1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在年1月份的销量； (2)该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？ 参考公式：． 【答案】(1)，千辆； (2)预计最多可调整人去其他部门． 【分析】（1）根据所给数据计算，即可得到关于的线性回归方程，由此可得结果. （2）根据条件可得培训后能使用人工智能工具的人数，计算，根据宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前可得结果. 【详解】（1）由题意得， ， 所以，， 所以关于的线性回归方程为， 由题意得，年月份的月份代码为，当时，， 所以估计该地区新能源汽车在年月份的销量为千辆． （2）记事件为“员工经过培训后，能使用人工智能工具”， 则， 设宣传部门调至其他部门人数为，则参加培训的人数为， 设为培训后能使用人工智能工具的人数， 则，故， 调整后年净利润预计为：万元， 由题意得， 解得， 所以预计最多可调整人去其他部门． （24-25高三上·贵州贵阳·期末） 8．2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （i）为多少？ （ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率． (2)在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？ 【答案】(1)（i）0.4；（ii）0.352； (2)不存在. 【分析】（1）（i）根据过往比赛中郑钦文胜负情况估算概率求；（ii）法一：用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，再应用二项分布的概率求法求郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率；法二：应用独立事件乘法公式、互斥事件的加法求郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率； （2）法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中，进而有求概率范围，即可得结论；法二：应用独立事件乘法公式、互斥事件的加法求出不同赛制下郑钦文获胜的概率，列不等式求概率范围，即可得结论. 【详解】（1）（i）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为0.4． （ii）法一：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则， 则郑钦文在决赛中获得冠军的概率，即． 法二：郑钦文最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1， 前者是前两局郑钦文连胜，后者是前两局郑钦文、维基奇各胜一局且第3局郑钦文胜． 因为每局比赛的结果是独立的，郑钦文最终获胜的概率为． （2）法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则， 那么获胜的概率为 同理：五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中， 那么获胜的概率为 综上，，化简得， 因为，所以，即， 在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率． 法二：三局两胜制中郑钦文最终获胜的概率， 五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率， 所以，化简得， 因为，所以，即， 在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率． 【必备知识】 超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数， 则的分布列为 ，. 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布，且. 【考向归类】 考向一：超几何分布的分布列 【典例1】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（ ） A.3    B.4    C.5    D.8 【答案】C 【详解】X的可能取值为0，1，2，3， ，，， ， 则， 所以. 故选：C 【备考提醒】 超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：，即恰取了件次品的概率. 【举一反三】 （24-25高二下·福建·期中） 9．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为的超几何分布， 故有3个红球的概率为 故选： C. （24-25高二下·陕西西安·期中） 10．一箱猕猴桃共有20个，其中有若干个为烂果（烂果率低于50%），从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设这一箱猕猴桃中有n个烂果． 由超几何概型，得， 解得或， 因为烂果率低于50%，所以，则． 故选：C 考向二：求超几何分布的概率 【典例2】（2025·江苏盐城·三模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五.其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6. （1）请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【思路引导】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【详解】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得 ，故没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. （2）由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为. 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则，，. 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 【备考提醒】 1.当较小，较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替. 2.超几何分布在计算出均值后，可以用进行验证. 【举一反三】 （2025·河北石家庄·三模） 11．某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图. (1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望. 【答案】(1)估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和 (2)的分布列为： 【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式即可求解； （2）根据分层抽样计算出年龄在的人数，和年龄在的人数.由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，，根据超几何分布的概率分布列公式求出取每个值对应的概率，即可求解的分布列，根据离散型随机变量的期望公式即可求出的期望. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以中位数位于区间中， 中位数的估计值为； 由频率分布直方图可知：样本平均数的估计值为. 故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和. （2）由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在的有人，其中年龄在的有人. 由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，， ，， ，， 所以的分布列为： 的期望. （24-25高二下·江苏盐城·期中） 12．2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为. 看现场直播 未看现场直播 男同学 x 女同学 150 250 (1)求x的值； (2)是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？ (3)为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及. 参考公式：. 参考数据： 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)； (2)有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关； (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）应用频率估计概率，列方程求参数； （2）由（1）写出列联表，求出卡方值，结合独立检验基本思想得结论即可； （3）由题设9人中有4名女同学、5名男同学，从9人任取2人，抽到女同学的人数，应用超几何分布的概率求法求对应概率，写出分布列并求期望. 【详解】（1）由题设，可得； （2）由（1）得列联表如下： 看现场直播 未看现场直播 男同学 200 500 女同学 150 250 400 450 450 900 ， 所以有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关； （3）由题设及列联表知，抽取的9人中有3名女同学、6名男同学， 从9人任取2人，抽到女同学的人数， 则，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 . 【必备知识】 1.定义 若随机变量的概率分布密度函数为，其中为参数， 则称随机变量服从正态分布，记为， 2.正态曲线的特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当无限增大时，曲线无限接近轴； （4）在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿轴平移，如图1所示； （5）当取定值时，正态曲线的形状由确定.当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散，如图2所示. 3.原则 若，则 （1）； （2）； （3）. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 4.正态分布的均值与方差 若，则，. 5.正态分布计算相关结论 若，则 （1）； （2）； （3）. 【考向归类】 考向一：正态分布的概念与性质 【典例1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知随机变量，设随机变量，则（ ） A.    B. C.    D. 【答案】B 【详解】由可知， 因此可知， ， 所以可得. 故选：B 【备考提醒】 利用正态曲线的特点求参数，： 1.正态曲线是单峰的，它关于直线对称，由此特点结合图象求出； 2.正态曲线在处达到峰值，由此特点结合图象可求出. 【举一反三】 （2025·天津·一模） 13．下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 【答案】D 【分析】由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确； 对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误. 故选：D. （24-25高三上·河北廊坊·期末） 14．已知，随机变量，若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布求出、的值，并求出、的表达式，根据题中条件求出的值，利用赋值法可得出的值. 【详解】因为随机变量，则，， 因为， 则，， 所以，，解得， 令， 所以，， 故. 故选：A. 考向二：正态分布的概率计算 【典例2】（2025·山西忻州·模拟预测）已知随机变量，，则（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】A 【详解】因为，又， 根据正态曲线的性质可得，， 故. 故选：A. 【备考提醒】 利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用. 【举一反三】 （24-25高二下·山东威海·期中） 15．设随机变量，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】A 【分析】根据题意，由正态分布曲线的对称性，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得，且 根据正态分布曲线的对称性，可得. 故选：A. （2025·福建·模拟预测） 16．2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的概率公式和二项分布的概率公式即可求解. 【详解】因考生成绩服从正态分布， 所以， 故任意选取3名考生， 至少有2名考生的成绩高于90的概率为． 故选：B. 考向三：正态分布的应用 【典例3】（24-25高二下·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼. （1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 （2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）.假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； （3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布.已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格? 附：. 【思路引导】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 【备考提醒】 解决正态分布问题要把握住三个关键点：对称轴，标准差和分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值，由，，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为，或特殊区间，从而求出所求概率. 【举一反三】 （24-25高二下·福建三明·期中） 17．小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析； (2). 【分析】（1）（i）根据已知，应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求；（ii）根据（i）结果及已知小概率事件的定义得结论； （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，且，应用特殊区间的概率求得，进而有并应用二项分布的方差公式求方差. 【详解】（1）（i）依题意得，，所以. 设，因为， 则； （ii）由（i）得. 因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，且， 所以，则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由. （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则. 设，由， 得 ， 根据题意，得随机变量，故. （24-25高二下·河南驻马店·阶段练习） 18．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用正态分布密度曲线的性质先求，再求人数. （2）利用二项分布的方差公式求方差. 【详解】（1）. 因为， 所以估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数为7. （2）学生符合“”这个指标，进行另外4个环节的选拔且能通过的概率为：， 由题意，，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 二项分布、超几何分布与正态分布【讲*人教A版】 二项分布 （1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.显然，重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做次，且各次试验的结果相互独立. （2）二项分布：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数， 则的分布列为 ，，1， ，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作 ， 且有，. 【考向归类】 考向一：重伯努利试验 【典例1】（24-25高二下·福建三明·期中）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【详解】至少击中两次包括击中2次和击中3次， 所以至少击中两次的概率为， 故选：C. 【备考提醒】 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 1.在每一次试验中，事件发生的概率相同. 2.各次试验中的事件是相互独立的. 3.在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【举一反三】 （24-25高二下·辽宁沈阳·期中） 1．甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（   ） A． B． C． D． （24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习） 2．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（    ） A．质点回到原点的概率为； B．质点回到原点的概率为 C．质点位于4的位置的概率为 D．质点位于4的位置的概率是 考向二：二项分布的增减性与最大值 【典例2】（24-25高二下·湖南·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A.16    B.17    C.18    D.19 【答案】C 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得，因为，所以当时，取得最大值. 故选：C. 【备考提醒】 二项分布的增减性与最大值 记，则当时，递增；当时，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则取的整数部分时，最大且唯一）. 【举一反三】 （24-25高二上·江苏常州·期中） 3．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 （24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习） 4．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 考向三：二项分布的分布列 【典例3】（24-25高二下·重庆渝中·期中）某数学试卷的选择题有单选和多选两种题型.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分.多选题每题四个选项，正确答案只有两种情况：两个选项正确或三个选项正确.全部选对得6分，部分选对的得一部分的分（如果正确答案是2项，那么每项得3分；如果正确答案是3项，那么每项得2分），有错误选择或不选择得0分. （1）若某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立.记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量，求的分布列； （2）若某同学对其中一道多选题完全没有答题思路，决定只随机选择一个选项作答.已知此题正确答案是两个选项的概率为，求该同学回答这道多选题得分的期望和方差. 【思路引导】（1）由题意可得变量满足二项分布，根据其概率公式以及分布列，可得答案； （2）由题意可得变量的所有可能的值，分别求得每个值对应的概率，根据数学期望以及方差的计算，可得答案. 【详解】（1）该同学答对每道单选题的概率均为，易知， 所以， ，， 那么的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）因为这道多选题的正确答案是2个选项的概率，正确答案是3个选项的概率为 只随机选择一个选项作答，共有4种情况，得分的随机变量可以取值为分， 若正确选项是2项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得3分，， 若正确答案是3个选项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得2分，， 其余情况得0分，， 所以得分的数学期望为； 得分的方差为. 【备考提醒】 若，则的分布列为 ，，1， ，. 【举一反三】 （24-25高二下·湖南长沙·期中） 5．某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. （2025·甘肃甘南·模拟预测） 6．某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 (1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？ (2)用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望． 附：，. 考向四：二项分布的应用 【典例4】（2025高三·全国·专题练习）科学健身倡导综合性训练，但一些健身初学者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.小文在某健身房健身，已知她每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为，，，她在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损伤的概率分别为，，. （1）若小文出现了运动损伤，推测她进行哪项运动的可能性最大； （2）在一年（按365天计算）内，小文计划针对出现运动损伤可能性最大的运动方式进行专业培训，当她在该健身房进行该项运动时，就去参加专业培训课程，对于培训课程的费用，该健身房给出以下两种优惠方案. 方案一：参加课时费预存活动，预存50节课则每节课260元，预存80节课则每节课240元，预存100节课及以上则每节课230元. 方案二：参加充值活动，每节课300元，充值金额每满10000元即可优惠2888元. 假定小文每天至多上一节培训课程，则小文选择哪种方案更划算. 【思路引导】（1）利用全概率公式和贝叶斯公式可得平衡性训练的可能性最大； （2）设其一年内参加培训课程的次数为，则，计算期望后比较两个方案交纳的课时费可得更为划算的方案. 【详解】（1）设小文进行有氧运动为事件，进行力量训练为事件， 进行平衡性训练为事件，小文出现运动损伤为事件， 由题意知，，， ，，. 由全概率公式知. 由贝叶斯公式知， ， . 故平衡性训练的可能性大 （2）由（1）知，小文计划针对平衡性训练进行专业培训， 设其一年内参加培训课程的次数为，则， 所以的期望. 则方案一的课时费的期望为（元）. 按每节课300元缴纳课时费的期望为（元）， 共可获得优惠（元）， 故方案二的课时费的期望为（元）. 综上，小文选择方案二更划算. 【备考提醒】 若，则. 【举一反三】 （2025·广东·一模） 7．近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 年月 年月 年月 年月 年月 月份代码 销量千辆 (1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在年1月份的销量； (2)该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？ 参考公式：． （24-25高三上·贵州贵阳·期末） 8．2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （i）为多少？ （ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率． (2)在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？ 【必备知识】 超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数， 则的分布列为 ，. 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布，且. 【考向归类】 考向一：超几何分布的分布列 【典例1】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（ ） A.3    B.4    C.5    D.8 【答案】C 【详解】X的可能取值为0，1，2，3， ，，， ， 则， 所以. 故选：C 【备考提醒】 超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：，即恰取了件次品的概率. 【举一反三】 （24-25高二下·福建·期中） 9．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·陕西西安·期中） 10．一箱猕猴桃共有20个，其中有若干个为烂果（烂果率低于50%），从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 考向二：求超几何分布的概率 【典例2】（2025·江苏盐城·三模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五.其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6. （1）请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【思路引导】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【详解】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得 ，故没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. （2）由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为. 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则，，. 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 【备考提醒】 1.当较小，较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替. 2.超几何分布在计算出均值后，可以用进行验证. 【举一反三】 （2025·河北石家庄·三模） 11．某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图. (1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望. （24-25高二下·江苏盐城·期中） 12．2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为. 看现场直播 未看现场直播 男同学 x 女同学 150 250 (1)求x的值； (2)是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？ (3)为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及. 参考公式：. 参考数据： 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 【必备知识】 1.定义 若随机变量的概率分布密度函数为，其中为参数， 则称随机变量服从正态分布，记为， 2.正态曲线的特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当无限增大时，曲线无限接近轴； （4）在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿轴平移，如图1所示； （5）当取定值时，正态曲线的形状由确定.当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散，如图2所示. 3.原则 若，则 （1）； （2）； （3）. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 4.正态分布的均值与方差 若，则，. 5.正态分布计算相关结论 若，则 （1）； （2）； （3）. 【考向归类】 考向一：正态分布的概念与性质 【典例1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知随机变量，设随机变量，则（ ） A.    B. C.    D. 【答案】B 【详解】由可知， 因此可知， ， 所以可得. 故选：B 【备考提醒】 利用正态曲线的特点求参数，： 1.正态曲线是单峰的，它关于直线对称，由此特点结合图象求出； 2.正态曲线在处达到峰值，由此特点结合图象可求出. 【举一反三】 （2025·天津·一模） 13．下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 （24-25高三上·河北廊坊·期末） 14．已知，随机变量，若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 考向二：正态分布的概率计算 【典例2】（2025·山西忻州·模拟预测）已知随机变量，，则（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】A 【详解】因为，又， 根据正态曲线的性质可得，， 故. 故选：A. 【备考提醒】 利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用. 【举一反三】 （24-25高二下·山东威海·期中） 15．设随机变量，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 （2025·福建·模拟预测） 16．2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（    ） A． B． C． D． 考向三：正态分布的应用 【典例3】（24-25高二下·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼. （1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 （2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）.假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； （3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布.已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格? 附：. 【思路引导】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 【备考提醒】 解决正态分布问题要把握住三个关键点：对称轴，标准差和分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值，由，，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为，或特殊区间，从而求出所求概率. 【举一反三】 （24-25高二下·福建三明·期中） 17．小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， （24-25高二下·河南驻马店·阶段练习） 18．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$