期末核心考点讲义 成对数据统计分析-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

专题7 成对数据统计分析【讲*人教A版】 【必备知识】 知识点一：变量的相关关系 1.两个变量有关系，但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 2.正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关. 3.线性相关、非线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 知识点二：样本相关系数 1.相关系数的计算 变量与变量的样本相关系数的计算公式： 2.相关系数的性质 ①当时，称成对样本数据正相关；当时，称成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 【考向归类】 考向一：相关系数的意义及计算 【典例1】1.（2025·河北·模拟预测）甲乙二人统计变量和变量，得到一组数据并进行回归分析，甲同学首先求出变量的8个数据平均值为2，回归直线方程，乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将一数据错看成，甲乙二人将错误修正后得到正确回归直线方程，则（ ） A.变量的8个数据正确平均值为 B. C.变量和变量正相关 D.变量和变量的相关系数为4 【答案】ABC 【详解】由甲同学所得错误的回归直线方程过点得， 并得到，， 所以，， 又甲将一数据错看成， 所以实际应为，， 故正确的，，故A正确； 又，，满足，所以，解得，故B正确； 又因为回归直线方程的斜率为，所以变量和变量正相关，故C正确； 根据变量和变量的相关系数的范围为，故，故D错误. 故选：ABC 2.（24-25高三下·上海·阶段练习）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ） A.    B.1    C.    D.无法确定 【答案】A 【详解】由已知样本数据所对应的点均在直线上， 则，又，所以满足负相关，即. 故选：A. 【备考提醒】 判断相关关系的2种方法： 1.散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系； 2.相关系数法：当越接近于1，成对样本数据的线性相关性越强. 【举一反三】 （24-25高二下·河北沧州·期中） 1．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） （2025高三·全国·专题练习） 2．对四组数据进行统计，得到的散点图如图所示，关于其样本相关系数的比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 考向二：相关系数的应用 【典例2】（2025·河南·一模）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； （2）计算与的相关系数； （3）由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 【思路引导】（1）根据题中数据结合平均数公式运算求解； （2）根据题中数据结合公式运算求解即可； （3）根据（2）中结果，结合相关系数的意义分析判断. 【详解】（1）由题可知，； （2）计算得， 故； （3）由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. 【备考提醒】 1.相关系数公式：； 2.常用公式：. 【举一反三】 （2025·甘肃白银·三模） 3．某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 (1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． (2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． （24-25高二下·重庆渝中·期中） 4．某科技公司的厂告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 18 16 14 12 10 8 销售额 13 11 9 8 7 6 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性； (2)求销售额关于广告投入的经验回归方程. 参考公式：. 参考数据：. 【必备知识】 1.数学表述式：如果两个变量之间的关系可以表示为 我们称该式为关于的一元线性回归模型. 其中，称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差. 2.经验回归方程 我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，其中. 【考向归类】 考向一：线性回归方程与求值 【典例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A.相关系数不变    B.变量x与y的相关性变强 C.线性回归方程不变    D.回归系数不变 【答案】ACD 【详解】设，，则，，所以，. 对于A、B中，由， ，， 则相关系数， 可得相关系数不变，所以变量x与y的相关性不变，故A正确，B错误； 对于C、D中，因为， 且回归直线过点，所以均不变，所以线性回归方程不变，故C和D都正确. 故选：ACD. 【备考提醒】 1.求解回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用经验回归直线过样本中心点； 2.根据经验回归方程计算的值，仅是一个预测值，不是真实发生的值. 【举一反三】 （2025·河南·二模） 5．某蔬菜批发市场统计了近5个月某种蔬菜的批发价格（单位：元/千克），如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） 月份序号 1 2 3 4 5 批发价格：元/千克 5 4.2 4 3.8 3 A．变量与负相关 B． C．当时，的观测值与估计值的差为 D．可以预测当时，批发价格不超过2.8元/千克 （24-25高二下·福建莆田·期中） 6．为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了组观察值．计算知，，，，则关于的经验线性回归方程是 ．附：， 考向二：线性回归方程的应用 【典例2】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔的单支售价及相应的日销售量进行了调查，单支售价（元）和日销售量（支）之间的数据如表所示； 单支售价（元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2 日销售量（支） 13 11 7 6 3 （1）根据表格中的数据，求出关于的回归直线方程； （2）请由（1）所得的回归直线方程预测日销售量为18支时.单支售价应定为多少元？ 参考公式：.参考数据：. 【思路引导】（1）需要先计算样本数据的均值和，再根据给定公式计算回归系数和截距，从而得到关于的回归直线方程. （2）将销售量代入回归直线方程求出对应的单支售价. 【详解】（1）对于给定的单支售价的数据1.4， 1.6， 1.8，2， 2.2，其均值； 对于销售量的数据13， 11，7，6，3，其均值. 已知，且，，，. 将这些值代入公式可得： 由，将，，代入可得： . 所以，关于的回归直线方程为. （2）当时，将其代入回归直线方程中，得到，解得. 所以，销售量为18支时，单支售价应定为元. 【备考提醒】 经验回归方程，其中. 【举一反三】 （24-25高二下·甘肃甘南·期末） 7．在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量y（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程； (2)根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量. 考向三：非线性回归方程的应用 【典例3】（24-25高二下·辽宁·期中）已知与及与的成对数据如下，且关于的回归直线方程为， （1）求关于的回归直线方程； （2）由散点图发现可以用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； （3）又得到一组新数据，，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，，，， 其回归直线方程为，其中，. 【思路引导】（1）方法一：设关于的回归直线方程为，由条件求，，，，再由公式求，，由此可得结论； 方法二：由条件可得，，结合关于的回归直线方程为，可求结论； （2）由条件可得，设，，，则，利用公式求，由此可得结论； （3）结合（1），（2）分别求当时，两个回归方程对应的残差，比较残差的大小判断结论. 【详解】（1）方法一：设关于的回归直线方程为， 由已知，， ， ， 所以， ， 所以关于的回归直线方程为， 方法二：因为关于的回归直线方程为， 因为，， 所以，， 则， 所以关于的回归直线方程为， （2）若用指数型函数模型拟合与的关系，则有， 设，，， 则， ， ， 所以， 所以， 所以关于的回归方程为， （3）由（1）关于的回归直线方程为， 所以时，， 残差为， 由（2）关于的指数函数模型的回归方程为， 所以时，， 残差为， 因为，所以指数函数模型拟合效果更好. 【备考提醒】 对于非线性回归方程的关键在于根据题意将非线性回归方程转化为线性回归方程. 【举一反三】 （24-25高二下·山东潍坊·期中） 8．某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． （24-25高三下·浙江宁波·阶段练习） 9．某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 (1)用模拟与的关系，求出回归方程； (2)根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？ 附：①； ②； ③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：. 【必备知识】 1.残差：，残差平方和：. 2.决定系数：的计算公式为； 其意义是越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 考向一：残差与决定系数的理解 【典例1】1.（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）下列残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ） A.    B. C.    D. 【答案】A 【详解】对于A，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，故A正确； 对于B，残差与观测时间有线性关系，故B错误； 对于C，残差与观测时间有非线性关系，故C错误； 对于D，残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大，故D错误. 故选：A. 2.（2025·山东泰安·三模）对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 0.5 1 1.4 建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（ ） A.-0.919    B.-0.1    C.0.1    D.0.919 【答案】C 【详解】由题意可得，， 将其代入回归方程，得，故， 将2，4代入线性回归方程，则第2，4个月的预测值分别为，， 故第2个月和第4个月的残差和为. 故选：C. 【备考提醒】 残差：，残差平方和：. 【举一反三】 （24-25高二下·山东青岛·期中） 10．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（   ） A． B． C． D． （24-25高二下·山西·期中） 11．下图为根据某组成对数据绘制的散点图，根据最小二乘法得到了经验回归直线1（实线）与经验回归曲线2（虚线）如图，并分别计算了两模型的决定系数，则（    ） A． B． C． D． 考向二：决定系数的应用 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下. x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 若由最小二乘法计算得经验回归方程. （1）计算各组残差，并计算残差平方和； （2）求，并说明回归模型拟合效果的好坏.（参考数据：） 【思路引导】（1）由线性回归方程代入数据求解即可； （2）由计算公式求解，即可判断. 【详解】（1）由， 可以算得分别为： ， ， ， ， 所以残差平方和为. （2）， 故. 所以回归模型的拟合效果较好. 【备考提醒】 1.如果在残差的散点图中，残差比较均匀地分布在横轴两边，说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0，方差为的随机变量的观测值； 2.可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果，残差平方和越小，拟合效果越好，也可以用比较，越大，效果越好. 【举一反三】 （24-25高三上·福建泉州·阶段练习） 12．一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数. 【必备知识】 1.列联表 如图，给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为列联表. 合计 合计 2.独立性检验 依据上述列联表构造统计量 利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 3.常用的小概率值和临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【考向归类】 考向一：的计算与独立性检验基本思想 【典例1】（2025·甘肃金昌·二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（ ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A.依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B.依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C.有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D.是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【详解】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 【备考提醒】 1.列联表关键在于各数据的意义和联系，要认真审题，避免出现错误； 2.，其中. 【举一反三】 （24-25高二下·天津南开·期中） 13．为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制丁下侧所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 临界值表如下： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算得：，参照右上表，有如下结论：①，②；③可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”；④没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”，则以上结论中正确的为（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ （24-25高二下·山东潍坊·期中） 14．某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 20 女生 20 合计 50 100 则的值为（    ） （附：，） A．4 B． C．5 D． 考向二：独立性检验的基本思想 【典例2】（24-25高二下·河南三门峡·期末）随着人们环保意识的增强和科技的发展，新能源汽车越来越受到消费者的关注.为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意程度，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对充电设施 对续航里程 满意 不满意 满意 70 30 不满意 50 50 （1）任意调查一名新能源汽车车主，设事件“该车主对续航里程满意”为，事件“该车主对充电设施满意”为，求和； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意程度与对充电设施的满意程度有关？ 【思路引导】（1）根据古典概型概率公式求解，利用条件概率公式求解； （2）首先假设，再计算，并和参考数据比较，即可作出判断. 【详解】（1）依题意，. （2）假设零事件：认为消费者对续航里程的满意程度与对充电设施的满意程度无关， ， 所以根据的独立性检验，认为不成立， 即认为消费者对续航里程的满意程度与对充电设施的满意程度有关. 【备考提醒】 如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”. 【举一反三】 （2025·安徽·模拟预测） 15．某校有高一学生1800人，高二学生1200人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取100人进行体育测试.测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均值为165，方差为61，高二样本的一分钟跳绳次数的均值为145，方差为31． (1)计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差； (2)将一分钟跳绳次数视为及格，整理出以下列联表： 及格 不及格 合计 高一 52 8 60 高二 38 2 40 合计 90 10 100 试根据小概率值的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关；（结果保留小数点后三位） (3)如果将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？请你试着解释其中的原因． 附：，． 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2025·甘肃金昌·模拟预测） 16．已知某高中高一年级共有1200名学生，高二年级共有1100名学生，高三年级共有1000名学生. (1)对高一、高二、高三年级按比例用分层随机抽样的方法，从全校抽取99名学生参加活动，则高一、高二、高三年级分别抽取多少名学生？ (2)从全校抽取容量为500的有放回简单随机样本，得到如下数学成绩与学生性别的不完整列联表，请补全列联表. 单位：人 性别 数学成绩 合计 不优秀 优秀 男 260 300 女 30 合计 500 (3)依据小概率值的独立性检验，分析（2）中的抽样数据，能否据此推断数学成绩与学生性别有关联？ 附：，. a 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 成对数据统计分析【讲*人教A版】 【必备知识】 知识点一：变量的相关关系 1.两个变量有关系，但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 2.正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关. 3.线性相关、非线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 知识点二：样本相关系数 1.相关系数的计算 变量与变量的样本相关系数的计算公式： 2.相关系数的性质 ①当时，称成对样本数据正相关；当时，称成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 【考向归类】 考向一：相关系数的意义及计算 【典例1】1.（2025·河北·模拟预测）甲乙二人统计变量和变量，得到一组数据并进行回归分析，甲同学首先求出变量的8个数据平均值为2，回归直线方程，乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将一数据错看成，甲乙二人将错误修正后得到正确回归直线方程，则（ ） A.变量的8个数据正确平均值为 B. C.变量和变量正相关 D.变量和变量的相关系数为4 【答案】ABC 【详解】由甲同学所得错误的回归直线方程过点得， 并得到，， 所以，， 又甲将一数据错看成， 所以实际应为，， 故正确的，，故A正确； 又，，满足，所以，解得，故B正确； 又因为回归直线方程的斜率为，所以变量和变量正相关，故C正确； 根据变量和变量的相关系数的范围为，故，故D错误. 故选：ABC 2.（24-25高三下·上海·阶段练习）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ） A.    B.1    C.    D.无法确定 【答案】A 【详解】由已知样本数据所对应的点均在直线上， 则，又，所以满足负相关，即. 故选：A. 【备考提醒】 判断相关关系的2种方法： 1.散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系； 2.相关系数法：当越接近于1，成对样本数据的线性相关性越强. 【举一反三】 （24-25高二下·河北沧州·期中） 1．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【分析】根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，， ， 则， ， 所以，. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习） 2．对四组数据进行统计，得到的散点图如图所示，关于其样本相关系数的比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图判断相关系数即可得出正负及大小关系. 【详解】由题中给出的四组数据所对应的散点图可知，第1个图和第3个图对应的变量是正相关，相关系数大于0， 第2个图和第4个图对应的变量是负相关，相关系数小于0， 且第1个图中的点相对于第3个图中的点更加集中，第2个图中的点相对于第4个图中的点更加集中，所以更接近于1，更接近于， 由此可得． 故选：A． 考向二：相关系数的应用 【典例2】（2025·河南·一模）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； （2）计算与的相关系数； （3）由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 【思路引导】（1）根据题中数据结合平均数公式运算求解； （2）根据题中数据结合公式运算求解即可； （3）根据（2）中结果，结合相关系数的意义分析判断. 【详解】（1）由题可知，； （2）计算得， 故； （3）由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. 【备考提醒】 1.相关系数公式：； 2.常用公式：. 【举一反三】 （2025·甘肃白银·三模） 3．某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 (1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． (2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 【答案】(1)拟合效果非常好，理由见解析 (2)； 【分析】（1）首先根据表格里面的数据求出的平均值，然后根据根据相关系数公式求出相关系数. （2）首先求出回归方程的表达式，然后将冷却速率值代入，求出金属的凝固点温度. 【详解】（1）易知， 因为，， ， 因为 所以该经验回归方程的拟合效果非常好． （2）由（1）知，由， 因为， 所以，故所求的经验回归方程为． 当时，， 所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为． （24-25高二下·重庆渝中·期中） 4．某科技公司的厂告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 18 16 14 12 10 8 销售额 13 11 9 8 7 6 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性； (2)求销售额关于广告投入的经验回归方程. 参考公式：. 参考数据：. 【答案】(1)，有较强的线性相关性 (2) 【分析】（1）根据相关系数公式计算即可求解； （2）根据最小二乘法依次计算相关量即可计算求解. 【详解】（1）由题意可知， ， 因为非常接近1，故与有较强的线性相关性； （2）， 故.将代入可得， 故经验回归方程为. 【必备知识】 1.数学表述式：如果两个变量之间的关系可以表示为 我们称该式为关于的一元线性回归模型. 其中，称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差. 2.经验回归方程 我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，其中. 【考向归类】 考向一：线性回归方程与求值 【典例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A.相关系数不变    B.变量x与y的相关性变强 C.线性回归方程不变    D.回归系数不变 【答案】ACD 【详解】设，，则，，所以，. 对于A、B中，由， ，， 则相关系数， 可得相关系数不变，所以变量x与y的相关性不变，故A正确，B错误； 对于C、D中，因为， 且回归直线过点，所以均不变，所以线性回归方程不变，故C和D都正确. 故选：ACD. 【备考提醒】 1.求解回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用经验回归直线过样本中心点； 2.根据经验回归方程计算的值，仅是一个预测值，不是真实发生的值. 【举一反三】 （2025·河南·二模） 5．某蔬菜批发市场统计了近5个月某种蔬菜的批发价格（单位：元/千克），如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） 月份序号 1 2 3 4 5 批发价格：元/千克 5 4.2 4 3.8 3 A．变量与负相关 B． C．当时，的观测值与估计值的差为 D．可以预测当时，批发价格不超过2.8元/千克 【答案】ABD 【分析】由与的变化关系判断A，求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可判断B，求出回归方程，根据回归直线方程判断C、D. 【详解】由题中数据可知，随着变大，变小，故变量与负相关，故A正确； 由表中数据可知，，， 又因为，则，解得，故B正确； 所以， 当时，的观测值与估计值的差为，故C错误； 当时，，所以可以预测当时，批发价格不超过元/千克，故D正确. 故选：ABD （24-25高二下·福建莆田·期中） 6．为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了组观察值．计算知，，，，则关于的经验线性回归方程是 ．附：， 【答案】 【分析】求出、的值，将数据代入最小二乘法公式，可求出经验线性回归方程. 【详解】由题干中的数据可得，， 所以，，则. 因此，关于的经验线性回归方程是. 故答案为：. 考向二：线性回归方程的应用 【典例2】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔的单支售价及相应的日销售量进行了调查，单支售价（元）和日销售量（支）之间的数据如表所示； 单支售价（元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2 日销售量（支） 13 11 7 6 3 （1）根据表格中的数据，求出关于的回归直线方程； （2）请由（1）所得的回归直线方程预测日销售量为18支时.单支售价应定为多少元？ 参考公式：.参考数据：. 【思路引导】（1）需要先计算样本数据的均值和，再根据给定公式计算回归系数和截距，从而得到关于的回归直线方程. （2）将销售量代入回归直线方程求出对应的单支售价. 【详解】（1）对于给定的单支售价的数据1.4， 1.6， 1.8，2， 2.2，其均值； 对于销售量的数据13， 11，7，6，3，其均值. 已知，且，，，. 将这些值代入公式可得： 由，将，，代入可得： . 所以，关于的回归直线方程为. （2）当时，将其代入回归直线方程中，得到，解得. 所以，销售量为18支时，单支售价应定为元. 【备考提醒】 经验回归方程，其中. 【举一反三】 （24-25高二下·甘肃甘南·期末） 7．在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量y（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程； (2)根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出和的值，然后求出，进而由，，可求出，从而可求出关于的线性回归方程； （2）当年份为2025年时，年份代码为，由（1）求得的回归方程，求出的值即可． 【详解】（1）由题意可知： ， ， ， 所以， 又， 故关于的线性回归方程为． （2）由（1）可得，当年份为2025年时，年份代码为，此时． 所以可预测2025年该地区该农产品的年产量约为万吨． 考向三：非线性回归方程的应用 【典例3】（24-25高二下·辽宁·期中）已知与及与的成对数据如下，且关于的回归直线方程为， （1）求关于的回归直线方程； （2）由散点图发现可以用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； （3）又得到一组新数据，，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，，，， 其回归直线方程为，其中，. 【思路引导】（1）方法一：设关于的回归直线方程为，由条件求，，，，再由公式求，，由此可得结论； 方法二：由条件可得，，结合关于的回归直线方程为，可求结论； （2）由条件可得，设，，，则，利用公式求，由此可得结论； （3）结合（1），（2）分别求当时，两个回归方程对应的残差，比较残差的大小判断结论. 【详解】（1）方法一：设关于的回归直线方程为， 由已知，， ， ， 所以， ， 所以关于的回归直线方程为， 方法二：因为关于的回归直线方程为， 因为，， 所以，， 则， 所以关于的回归直线方程为， （2）若用指数型函数模型拟合与的关系，则有， 设，，， 则， ， ， 所以， 所以， 所以关于的回归方程为， （3）由（1）关于的回归直线方程为， 所以时，， 残差为， 由（2）关于的指数函数模型的回归方程为， 所以时，， 残差为， 因为，所以指数函数模型拟合效果更好. 【备考提醒】 对于非线性回归方程的关键在于根据题意将非线性回归方程转化为线性回归方程. 【举一反三】 （24-25高二下·山东潍坊·期中） 8．某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 【答案】(1)更适宜作为回归模型，理由见解析 (2)（i）；（ⅱ）会报警提示，理由见解析 【分析】（1）从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化，故更适宜作为回归模型； （2）（i）两边取对数得，结合数据和公式求出剩余电量y与使用时间t的回归方程； （ⅱ）在（i）基础上，令得，故会报警提示. 【详解】（1）更适宜作为回归模型，理由如下： 从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化， 减小速度越来越慢， 呈线性变化，不适宜作为回归模型，故更适宜作为回归模型； （2）（i）两边取对数得， 由于， 故， ， 即，故， （ⅱ）会报警提示，理由如下： 中，令得 ， 故会报警提示. （24-25高三下·浙江宁波·阶段练习） 9．某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 (1)用模拟与的关系，求出回归方程； (2)根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？ 附：①； ②； ③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：. 【答案】(1) (2)10月 【分析】（1）对两边同时取自然对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得经验回归方程； （2）根据回归方程代入计算求解. 【详解】（1）令，则， ， ， 故. （2）令， 故， 故10月开始超过. 【必备知识】 1.残差：，残差平方和：. 2.决定系数：的计算公式为； 其意义是越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 考向一：残差与决定系数的理解 【典例1】1.（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）下列残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ） A.    B. C.    D. 【答案】A 【详解】对于A，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，故A正确； 对于B，残差与观测时间有线性关系，故B错误； 对于C，残差与观测时间有非线性关系，故C错误； 对于D，残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大，故D错误. 故选：A. 2.（2025·山东泰安·三模）对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 0.5 1 1.4 建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（ ） A.-0.919    B.-0.1    C.0.1    D.0.919 【答案】C 【详解】由题意可得，， 将其代入回归方程，得，故， 将2，4代入线性回归方程，则第2，4个月的预测值分别为，， 故第2个月和第4个月的残差和为. 故选：C. 【备考提醒】 残差：，残差平方和：. 【举一反三】 （24-25高二下·山东青岛·期中） 10．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断. 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为、方差为的随机变量的观测值. 对于A选项，残差与有线性关系，故A错误； 对于B选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错； 对于C选项，残差与有非线性关系，故C错； 对于D选项，残差比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确. 故选：D. （24-25高二下·山西·期中） 11．下图为根据某组成对数据绘制的散点图，根据最小二乘法得到了经验回归直线1（实线）与经验回归曲线2（虚线）如图，并分别计算了两模型的决定系数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据决定系数越大，拟合效果越好，结合图象即可判断 【详解】由图可知，模型2拟合效果更好，故. 故选：. 考向二：决定系数的应用 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下. x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 若由最小二乘法计算得经验回归方程. （1）计算各组残差，并计算残差平方和； （2）求，并说明回归模型拟合效果的好坏.（参考数据：） 【思路引导】（1）由线性回归方程代入数据求解即可； （2）由计算公式求解，即可判断. 【详解】（1）由， 可以算得分别为： ， ， ， ， 所以残差平方和为. （2）， 故. 所以回归模型的拟合效果较好. 【备考提醒】 1.如果在残差的散点图中，残差比较均匀地分布在横轴两边，说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0，方差为的随机变量的观测值； 2.可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果，残差平方和越小，拟合效果越好，也可以用比较，越大，效果越好. 【举一反三】 （24-25高三上·福建泉州·阶段练习） 12．一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数. 【答案】(1) (2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii）； 【分析】（1）求出、后代入公式直接计算得、，即可得解； （2）（i）求出线性回归模型的相关指数，与比较即可得解； （ii）直接把代入，计算即可得解. 【详解】（1）由题意，则，， ，， y关于x的线性回归方程为. （2）（i）对于线性回归模型，，， 相关指数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好. （ii）当，时（个） 所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 【必备知识】 1.列联表 如图，给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为列联表. 合计 合计 2.独立性检验 依据上述列联表构造统计量 利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 3.常用的小概率值和临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【考向归类】 考向一：的计算与独立性检验基本思想 【典例1】（2025·甘肃金昌·二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（ ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A.依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B.依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C.有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D.是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【详解】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 【备考提醒】 1.列联表关键在于各数据的意义和联系，要认真审题，避免出现错误； 2.，其中. 【举一反三】 （24-25高二下·天津南开·期中） 13．为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制丁下侧所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 临界值表如下： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算得：，参照右上表，有如下结论：①，②；③可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”；④没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”，则以上结论中正确的为（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用列联表中数据计算出的值，结合和卡方的临界值表可判断③④. 【详解】由列联表可知，所以：，①正确. 又因为，，所以，②正确. 因为，所以没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关，故③错误，④正确. 故选：B （24-25高二下·山东潍坊·期中） 14．某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 20 女生 20 合计 50 100 则的值为（    ） （附：，） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】完成下列联表，根据 公式代入求值即可. 【详解】根据表中数据完成下列联表，如下： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 30 20 50 女生 20 30 50 合计 30 50 100 则. 故选：A. 考向二：独立性检验的基本思想 【典例2】（24-25高二下·河南三门峡·期末）随着人们环保意识的增强和科技的发展，新能源汽车越来越受到消费者的关注.为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意程度，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对充电设施 对续航里程 满意 不满意 满意 70 30 不满意 50 50 （1）任意调查一名新能源汽车车主，设事件“该车主对续航里程满意”为，事件“该车主对充电设施满意”为，求和； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意程度与对充电设施的满意程度有关？ 【思路引导】（1）根据古典概型概率公式求解，利用条件概率公式求解； （2）首先假设，再计算，并和参考数据比较，即可作出判断. 【详解】（1）依题意，. （2）假设零事件：认为消费者对续航里程的满意程度与对充电设施的满意程度无关， ， 所以根据的独立性检验，认为不成立， 即认为消费者对续航里程的满意程度与对充电设施的满意程度有关. 【备考提醒】 如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”. 【举一反三】 （2025·安徽·模拟预测） 15．某校有高一学生1800人，高二学生1200人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取100人进行体育测试.测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均值为165，方差为61，高二样本的一分钟跳绳次数的均值为145，方差为31． (1)计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差； (2)将一分钟跳绳次数视为及格，整理出以下列联表： 及格 不及格 合计 高一 52 8 60 高二 38 2 40 合计 90 10 100 试根据小概率值的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关；（结果保留小数点后三位） (3)如果将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？请你试着解释其中的原因． 附：，． 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)均值157，方差145 (2)无关 (3)不一样，结论变为有关，理由见解析 【分析】（1）根据分层抽样计算均值和方差即可； （2）根据卡方检验，即可判断； （3）计算出新的卡方即可进行判断． 【详解】（1）高一人数占比，故样本量为，同理高二样本量为40， 所以总样本均值为， 总样本方差为． （2）零假设为：一分钟跳绳次数及格情况与年级无关， 根据列联表，， 所以根据小概率值的独立性检验，推断成立，即一分钟跳绳次数及格情况与年级无关． （3）将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍， 则， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即一分钟跳绳次数及格情况与年级有关， 所以将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，结果不一样， 因为样本量增大使得相对差异的绝对值增大，导致卡方统计量显著上升． （2025·甘肃金昌·模拟预测） 16．已知某高中高一年级共有1200名学生，高二年级共有1100名学生，高三年级共有1000名学生. (1)对高一、高二、高三年级按比例用分层随机抽样的方法，从全校抽取99名学生参加活动，则高一、高二、高三年级分别抽取多少名学生？ (2)从全校抽取容量为500的有放回简单随机样本，得到如下数学成绩与学生性别的不完整列联表，请补全列联表. 单位：人 性别 数学成绩 合计 不优秀 优秀 男 260 300 女 30 合计 500 (3)依据小概率值的独立性检验，分析（2）中的抽样数据，能否据此推断数学成绩与学生性别有关联？ 附：，. a 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)高一、高二、高三年级分别抽取学生36名、33名、30名. (2)列联表见解析 (3)认为数学成绩与学生性别无关. 【分析】（1）由分层抽样的定义计算可得； （2）根据所给数据填写； （3）由公式计算可得． 【详解】（1），， ， 故高一、高二、高三年级分别抽取学生36名、33名、30名. （2） 单位：人 性别 数学成绩 合计 不优秀 优秀 男 260 40 300 女 170 30 200 合计 430 70 500 （3）零假设为：数学成绩与学生性别无关. . 故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为数学成绩与学生性别无关. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$