专题1.2（3） 一元二次方程的解法——公式法和因式分解法（4大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.2（3） 一元二次方程的解法——公式法和因式分解法 （4大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 二、【知识梳理】 【知识点1】一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 【知识点2】一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：. ①当，原方程有两个不相等的实数根; ②当，原方程有两个相等的实数根; ③当，原方程没有实数根. 【知识点3】用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般式； ②确定、、的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实数根. 【知识点4】因式分解法解一元二次方程 1. 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【知识点4】因式分解法解一元二次方程 1.定义：通过引入新变量（换元），将复杂方程转化为标准一元二次方程的解题方法，本质是 “化归思想” 的应用。 2.核心目的：简化方程结构，消去复杂项或对称式，降低解题难度。 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】公式法解一元二次方程.......................................................2 【题型二】因式分解法解一元二次方程...................................................5 【题型三】换元法解一元二次方程.......................................................8 【题型四】根据判别式判断一元二次方程根的情况........................................12 【题型五】根据一元二次方程根的情况求参数............................................14 【拓展延伸】 【题型六】选择合适的方法解一元二次方程..............................................16 【题型七】利用根的判别式进行证明与求参数取值范围....................................20 【题型八】解一元二次方程与几何综合..................................................26 【题型九】解一元二次方程与函数综合..................................................29 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】公式法解一元二次方程 ★【例题1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1），；（2）方程无解；（3），；（4）， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可． （1）（2）运用公式法解一元二次方程即可； （3）（4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； 解：（1）解： ， ， ∴， 解得，； （2） ， ， 方程无解； （3） ， ， ∴， 解得，； （4） ， ， ∴， 解得，． ★【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）原方程没有实数根；（3）， 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）（2）（3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； 解：（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴原方程没有实数根； （3）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴． ∴， ∴， ． ★【变式2】（23-24八年级上·上海·单元测试）用公式法解方程 （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再求出判别式的值，进而利用公式法解方程即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解； 整理得， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【题型二】因式分解法解一元二次方程 ★【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用十字相乘法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ， 或， ∴； （2）解：， ， ∴或， ∴． ★【变式1】（23-24九年级下·全国·单元测试）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3） ；（4） ；（5）；（6） 【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）（5）变形后，利用因式分解法解一元二次方程即可． （3）（4）（6）利用因式分解法解一元二次方程即可． 解：（1）解： 移项得， 因式分解得：， 则或， 所以； （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， 所以； （3）解：， 因式分解得：， 则或， 所以； （4）解：， 化简得， 因式分解得：， 则或， 所以； （5）解：， 化简得， 因式分解得：， 则或， 所以； （6）解：， 因式分解得：， 则或， 所以． ★【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2） ；（3）；（4）， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）（2）（3）（4）利用因式分解法进行求解即可； 解：（1）解：， ， ， ， ； （2） 原方程可化为， ， 或， ； （3）， ， ； （4） 原方程可化为， 或， ，． 【题型三】换元法解一元二次方程 ★【例题3】（22-23八年级下·重庆·期末）利用换元法解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用换元法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 解：（1）设，原方程可变为： 解得：或，即或． 当时，，没实数根， 当时，解得． 故原方程的根是，． （2）设，原方程可变为：， 解得：或， 当时，可得，解得：， 当时，可得，解得：， 故原方程的根是，． ★【变式1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：； （2）解方程：． （3）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）和． 【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可； （3）设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 解：（1）解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解是：； （2）解：设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程的解是：； （3）解：设，则原方程可化为， 整理得， ∴， 解得：或， 当时，，即， 由知此时方程无解； 当时，，即， 解得：或， 经检验和都是原分式方程的解． ★【变式2】．（22-23八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D．． 【答案】A 【分析】设，原方程中用代替，这样原方程转化为：，然后把方程两边乘以y得到整式方程． 解：设，原方程转化为， 方程两边乘以y得，． 故选：A． 【点拨】本题考查了换元法解分式方程：用一个字母代替分式方程中某一个的整体，使原分式方程转化为简单的分式方程或整式方程，从而达到解决原方程的目的． ★【变式3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）用换元法解方程时，可设，则原方程化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】把原方程化为，把代入即可. 解：∵， ∴， 设， ∴； 故答案为： 【点拨】本题考查的是利用换元法解分式方程，掌握整体换元的思想是解本题的关键. 【题型四】根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★【例题4】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 解：（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． ★【变式1】（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边和对角线的长，且矩形的另一边长为3，求k的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、求根公式和矩形的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据根的判别式判断即可； （2）根据求根公式算出方程的解，再根据矩形的性质求解即可； 解：（1）解：， 整理得：， ， ； 该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， ， ， 矩形的对角线长度大于边长， 为对角线，， 解得：， ★【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求的取值范围． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程两根均不小于1，得到不等式，解不等式即可得到结论． 解：（1）证明： ∵，， ∴， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：原方程可化为，即 解得：，， ∵方程两根均不小于1， ∴， ∴． 【题型五】根据一元二次方程根的情况求参数 ★【例题5】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程，则可求得的取值范围． 解：（1）根据题意，得， ， ； （2）解：是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． ★【变式1】（2025·广东广州·二模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实根， （1）求的值． （2）求代数式的值． 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分式的化简求值，根据方程有两个相等的实数根，得到是本题解题关键； （1）根据方程有两个相等的实数根，得到即可求出a的值； （2）根据分式的运算法则化简后，把a的值代入计算即可． 解：（1）解：∵方程两个相等的实根， ∴， ∴． （2） ， ∵当时，原式， 当时，原式． 综上可知，代数式的值为． ★【变式2】（2025·北京·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程的根、整式的化简求值，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据题意，由列不等式求解即可； （2）根据方程的解的意义得到，然后化简所求代数式，进而代值求解即可． 解：（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵为方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 【拓展延伸】 【题型六】选择合适的方法解一元二次方程 ★★【例题6】（2023九年级上·全国·专题练习）阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　； （2）将代数式分解因式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题中给出的求根法的定义即可得出答案； （2）先令，得到一个关于的一元二次方程，用求根公式求出它的两根，然后代入即可． 解：（1）解：代数式对应的方程解为和7， 代数式分解后为， 故答案为：； （2）解：令，得到一个关于的一元二次方程， ， ， ， 解得，， ． 【点拨】本题主要考查的是求根法因式分解，公式法解一元二次方程，对于二次三项式的因式分解有：，其中、是的两根，理解并掌握题目中的求根法因式分解是解题的关键． ★★【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： （1） （2） （3） （4）； 【答案】（1），；（2），，；（3），；（4），． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用适合方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先因式分解法求得，再利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先设，方程变形为，再利用配方法解一元二次方程即可． 解：（1）解：， 变形为， ∴或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得， ∴或， 解得：， 解， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， 分解因式得， ∴或， ∴，； （4）解：， 设， 则方程变形为， 分解因式得， ∴或， ∴或， 当时，， 即， ∵， 没有实数解； 当时，， 即， ∵， ∴， 解得：，． ★★【变式2】（22-23九年级上·江苏·期中）阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． （1）已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； （2）仿照上述方法，解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可； （2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可． 解：（1）设， 则， 可化为：， 即， 故答案为：； （2）设，则， 原方程可化为：， 整理得， ， 或， 或， 当时，， 解得， 当时，无解， 检验，当时，左边右边， 是原方程的解， 故原方程的解为：． 【点拨】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法． 【题型七】利用根的判别式进行证明与求参数取值范围 ★★【例题7】（24-25九年级上·江西·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）． （1）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 变式拓展 （2）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案 并说明理由． 【答案】（1）方程总有两个不等的实数根，理由见分析；（2）方程总有两个不等的实数根，理由见分析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解． （2）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 解：（1）方程总有两个不等的实数根 理由：原方程整理，得， ， ∵无论取何值，， ∴， ，即原方程总有两个不等的实数根． （2）方程总有两个不等的实数根． 理由：原方程整理，得， ， ， 设， ∴原方程可化为， ， ∴总有两个不等的实数根， ∴无论取何值，原方程总有两个不等的实数根． ★★【变式1】（24-25九年级上·福建三明·期中）阅读下列材料： 若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：， ∵， ∴． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）请用上面方法分解二次三项式； （2）如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围； （3）若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）且；（3）， 【分析】此题考查了分解因式，根的判别式及根与系数的关系，理解题意，掌握求根法是解题的关键． （）令多项式等于，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入 中即可把多项式分解因式； （）因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于，得到的方程有解，即大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围； （）根据（）的方法求得两根，再用换元法即可得到结论； 解：（1）解：令， ∵，，， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：令 ， 由二次三项式能用上面的方法分解因式，则可得方程有解， ∴， 整理得，， 解得， 又∵且， ∴且； （3）解：∵方程的两根是， ∴， ∴， ∵当时，代入上式，得， ∴是方程的一个根， 同理，也是方程 的一个根， ∴方程的两个根为 或， 在方程中，设， 得， ∴或， ∴或， 解得， ， ∴方程的根是，． ★★【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； （2）已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． （3）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）设所求方程的根为y，根据题意可得，所以，把代入方程，即可得出答案； （2）设原方程的根为x，则，所以，代入方程，得，再用反证法证明即可； （3）设所求方程的根为y，则，所以，代入原方程，得，由方程有两个实数根可得，于是可得，进而可得，用公式法解一元二次方程可得，由根是整数可知为偶数且为完全平方数，因而可得或，代入方程即可得出答案． 解：（1）解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； （2）解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； （3）解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 【点拨】本题主要考查了相反数的应用，等式的性质，一元二次方程的解，倒数，等式的性质，提公因式法分解因式，反证法，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程等知识点，深刻理解“换根法”并能加以运用是解题的关键． 【题型八】解一元二次方程与几何综合 ★★【例题8】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，过点A作，垂足为D，，，则的长度（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质和判定，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 作于，由勾股定理求出，进而求得，根据面积相等及勾股定理建立方程即可求解． 解：作于， ， ， ， ， ，， ， ， 设，， 由勾股定理得， 即， 由面积得， 即， ， ， 解得（负值已舍去）， 故答案为：C． ★★【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，菱形的四个顶点分别在矩形的四条边上，其中E在上，且，当菱形的面积为120时，的长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，设，根据，结合勾股定理列出关于的方程，四个直角三角形的面积等于矩形的面积减去菱形的面积，得到第二个方程，联立方程求解即可． 解：∵矩形，菱形， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴，， 设，，则：， ∵四个直角三角形的面积① 在中，， 在中，， ∴② 由①②，得：，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． ★★【变式2】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，点、分别在正方形的边，上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．若，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等和旋转问题，正方形的性质，解一元二次方程，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得到，再根据题意易证，得到，从而可得到的长度，设正方形的边长为，进而在中，勾股定理解方程，即可求解． 解：∵把顺时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中， ∴ 解得：或（舍去） 故答案为：． 【题型九】解一元二次方程与函数综合 ★★【例题9】（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为 ． 【答案】（0，-6） 【分析】由直线解析式求得OA=2，OB=4，利用勾股定理求得AB=2，作CD⊥AB于D，设OC=m，由勾股定理得，从而得出，在Rt△BDC中，利用勾股定理求m=6，从而求得C的坐标． 解：一次函数y=2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点． 令y=0，则2x+4=0，解得x=-2； 令x=0，则y=4， ∴A（-2，0），B（0，4）， ∴OA=2，OB=4， ∴AB=， 作CD⊥AB于D， ∵∠CAD=45°， ∴△CAD是等腰直角三角形， ∴AD=CD， 设 在Rt△AOC中， ∴ 在等腰直角三角形ADC中， ∴ 在Rt△BDC中， ∴ 解得，m=6或（舍去） 经检验：m=6是方程的解， ∴点C的坐标为（0，-6）． 故答案为：（0，-6）． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，勾股定理的应用，求得OC的长是解题的关键． ★★【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、． （1）点A坐标为________，线段__________． （2）当矩形的面积为时，求P点的坐标． （3）平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标． 【答案】（1）；4；（2）点的坐标为，或，．；（3）点的坐标为或或． 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点、的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出线段的长度； （2）由点在线段上可设出点的坐标，再利用矩形的面积公式找出与之间的函数关系式，代入求出值，将其代入点坐标中即可得出结论； （3）假设存在，根据菱形的性质可得出为等腰三角形，结合的度数即可得出为等边三角形，进而可得出点的坐标，再根据菱形的性质分别以、、为对角线找出点的坐标，此题得解． 解：（1）当时，， ； 当时，， ，． ． 故答案为：；4． （2）设点的坐标为，， ． 当时，有， 解得：，． 点的坐标为，或，． （3）假设存在． 以点，，，为顶点的四边形为菱形， 为等腰三角形， ，，， ， 为等边三角形． 点为线段的中点， 点． 以点，，，为顶点的四边形为菱形分三种情况（如图所示） 以线段为对角线时， ，， 则的中点为：， 则， 点的坐标为，即； 以线段为对角线时，设 ，， 则有,故 又∵，解得,则， ∴的中点为 点的坐标为，即； 以线段为对角线时，设, 则有,故, 又∵,解得, 故∴的中点为 点的坐标为，即． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、矩形的面积、二次函数的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点、的坐标；（2）利用矩形的面积公式找出与之间的函数关系式；（3）分以、和为对角线三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键． ★★【变式2】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2． （1）求B点的坐标和k，b的值； （2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形的面积为2？ （3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点B的坐标为，，；（2）当点Q的坐标为或或或时，四边形的面积为2；（3）存在，、、、 【分析】（1）先求出点坐标，再用待定系数法求出，； （2）先设，然后根据矩形的面积公式求出的值即可； （3）设点坐标为，点坐标为，然后分当和为对角线时，当和为菱形对角线时，当和为菱形对角线时三种情况，由中点坐标公式以及菱形的邻边相等求出，，的值即可． 解：（1）令，则， 点的坐标为， 将，两点坐标代入到直线中， 得， 解得， 点的坐标为，，； （2）点为直线上（不与、重合）一动点， 设， 轴，轴， ，， 四边形的面积为2， ， 解得或2或或， 当点的坐标为，或或或时，四边形的面积为2； （3）设点坐标为，点坐标为， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ，，，， ①当和为对角线时， 的中点也是的中点， ， 解得， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 点的坐标为； ②当和为菱形对角线时， 的中点也是的中点， ， 解得， 以，，，为顶点的四边形是菱形，和为菱形对角线， ， ， 即， 解得或， 经检验，或是原方程的解， 当时，； 当时，， 点的坐标为或， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， 此时以，，，为顶点无法构成菱形， 点不符合题意，舍去， 点的坐标为； ③当和为菱形对角线时， 的中点也是的中点， ， 解得， 以，，，为顶点的四边形是菱形，和为菱形对角线， ， ， 即， 解得或， 经检验，或是原方程的解， 当时，，当时，， 点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点拨】本题考查一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质等知识，关键是对这些知识的掌握和运用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2（3） 一元二次方程的解法——公式法和因式分解法（4大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 二、【知识梳理】 【知识点1】一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 【知识点2】一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：. ①当，原方程有两个不相等的实数根; ②当，原方程有两个相等的实数根; ③当，原方程没有实数根. 【知识点3】用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般式； ②确定、、的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实数根. 【知识点4】因式分解法解一元二次方程 1. 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【知识点4】因式分解法解一元二次方程 1.定义：通过引入新变量（换元），将复杂方程转化为标准一元二次方程的解题方法，本质是 “化归思想” 的应用。 2.核心目的：简化方程结构，消去复杂项或对称式，降低解题难度。 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】公式法解一元二次方程.......................................................2 【题型二】因式分解法解一元二次方程...................................................3 【题型三】换元法解一元二次方程.......................................................3 【题型四】根据判别式判断一元二次方程根的情况.........................................4 【题型五】根据一元二次方程根的情况求参数.............................................4 【拓展延伸】 【题型六】选择合适的方法解一元二次方程...............................................5 【题型七】利用根的判别式进行证明与求参数取值范围.....................................6 【题型八】解一元二次方程与几何综合...................................................7 【题型九】解一元二次方程与函数综合...................................................7 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】公式法解一元二次方程 ★【例题1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）． ★【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． ★【变式2】（23-24八年级上·上海·单元测试）用公式法解方程 （1）； （2） （3）； （4）． 【题型二】因式分解法解一元二次方程 ★【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． ★【变式1】（23-24九年级下·全国·单元测试）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． ★【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型三】换元法解一元二次方程 ★【例题3】（22-23八年级下·重庆·期末）利用换元法解下列方程 （1）； （2）． ★【变式1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：； （2）解方程：． （3）解方程：． ★【变式2】．（22-23八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D．． ★【变式3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）用换元法解方程时，可设，则原方程化为关于y的整式方程为 ． 【题型四】根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★【例题4】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． ★【变式1】（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边和对角线的长，且矩形的另一边长为3，求k的值． ★【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求的取值范围． 【题型五】根据一元二次方程根的情况求参数 ★【例题5】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若是方程的一个实数根，且满足，求的值． ★【变式1】（2025·广东广州·二模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实根， （1）求的值． （2）求代数式的值． ★【变式2】（2025·北京·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为方程的一个根，求代数式的值． 【拓展延伸】 【题型六】选择合适的方法解一元二次方程 ★★【例题6】（2023九年级上·全国·专题练习）阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　； （2）将代数式分解因式． ★★【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： （1） （2） （3） （4）； ★★【变式2】（22-23九年级上·江苏·期中）阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． （1）已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； （2）仿照上述方法，解方程：． 【题型七】利用根的判别式进行证明与求参数取值范围 ★★【例题7】（24-25九年级上·江西·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）． （1）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 变式拓展 （2）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案 并说明理由． ★★【变式1】（24-25九年级上·福建三明·期中）阅读下列材料： 若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：， ∵， ∴． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）请用上面方法分解二次三项式； （2）如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围； （3）若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）． ★★【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； （2）已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． （3）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【题型八】解一元二次方程与几何综合 ★★【例题8】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，过点A作，垂足为D，，，则的长度（   ） A． B． C． D． ★★【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，菱形的四个顶点分别在矩形的四条边上，其中E在上，且，当菱形的面积为120时，的长为 ． ★★【变式2】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，点、分别在正方形的边，上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．若，，则正方形的边长为 ． 【题型九】解一元二次方程与函数综合 ★★【例题9】（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为 ． ★★【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、． （1）点A坐标为________，线段__________． （2）当矩形的面积为时，求P点的坐标． （3）平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标． ★★【变式2】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2． （1）求B点的坐标和k，b的值； （2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形的面积为2？ （3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$