第10讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象（3知识点+6大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第10讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象 （3知识点+6大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点02：二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点03：二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 【题型1 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与各项系数符号】 【例1-1】（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【例1-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海·期中）已知二次函数的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点A，与y轴的交点B在，之间（不含端点），下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论中， ①；②；③；④，正确的有 （填序号）． 【题型2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质】 【例2-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（   ） A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线 C．该函数图像在轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的 【例2-2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）抛物线的图像如图所示，它的顶点在轴上，那么下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若抛物线（，、、是常数）经过、、、四点，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 【例2-4】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且当时，有最大值16，则的值为 ． 【变式2-1】（2024九年级上·上海·专题练习）二次函数的图象如图所示，当时，随的增大而减小，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线经过原点，那么 ． 【变式2-3】（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若抛物线过、两点，那么 （填“”，“”或“”） 【变式2-4】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线．如图，已知抛物线，顶点为A，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果，（是锐角）则m的值是 ． 【题型3一次函数、二次函数图象综合判断】 【例3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23九年级上·上海·期中）如果函数的图像经过第一、二、四象限，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且） 的图像可能是（ ） A． B． C． D． x y x y x y x y 【变式3-3】已知直线与抛物线交于A，B两点，则抛物线的图象可能是（    ） A． B．C． D． 【变式3-4】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　） A．B．C． D． 【题型4二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移】 【例4-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）将抛物线向左平移4个单位后得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为 ． 【变式4-2】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、是常数，且），以原点为中心，旋转得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．当线段是线段、的比例中项时，的值为 ． 【变式4-3】（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【题型5二次函数的图象与几何图形的综合应用】 【例5】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，是边上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，如果设边的长为，矩形的面积为，那么关于的函数解析式是 ． 【变式5-1】在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ． 【变式5-2】如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知△中，°，，是上一动点，，交于，将四边形沿向上翻折，得四边形，与、分别交于点、．则梯形的面积的最大值是 ． 【变式5-4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象与轴有两个交点M、N，顶点为R，若恰好是等边三角形，则 ． 【题型6确定二次函数解析式】 【例6-1】（一般式）（23-24九年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【例6-2】（顶点式）（24-25九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标平面内，二次函数图像的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过点？并直接写出平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标． 【例6-3】（交点式）（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 【例6-4】（平移法确定解析式）（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)把抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线，记抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为，如果，求此时点D的坐标． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海·期末）我们将平面直角坐标系中的图形D和点 P给出如下定义：如果将图形D绕点 P顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形D关于点 P的“垂直图形”． 已知点A的坐标为，点B的坐标为，关于原点O的“垂直图形”记为，点A、B的对应点分别为点，． (1)请写出：点的坐标为 ；点的坐标为 ； (2)请求出经过点 A、B、的二次函数解析式： (3)请直接写出经过点 A、B、A'的抛物线的表达式为 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知抛物线经过点、、三点． (1)求，的值及二次函数的表达式； (2)将抛物线沿轴向左平移，所得抛物线经过点，点平移后的对应点为点，求平移后新抛物线的解析式和点的坐标． 【变式6-3】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线上，求的正弦值． 【变式6-4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： (1)新抛物线的表达式． (2)新抛物线与坐标轴交点的坐标． 【变式6-4】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知抛物线解析式． (1)如果这条抛物线经过点，求的值，并用配方法将该解析式化为的形式； (2)如果这条抛物线经过两点，且，求的值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·期中）将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）老师出示了小黑板上题后．小沁说：过点；小蓓说：过点；小卓说：；小茉说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有（    ） 已知抛物线与轴交于，试添加一个条件，使它的对称轴为直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线，与x轴交点是A、B，与y轴交与点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 6．（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为： ． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）将抛物线向左平移2个单位，得到一条新抛物线，其表达式是 ． 10．（24-25九年级上·上海普陀·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标为 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数图像的对称轴是直线，如果，那么 ． 13．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两条具有相同对称轴的抛物线与在y轴上交于同一个点，其中，并且，那么两条抛物线围成的图形很像一颗鸡蛋，我们称这两条抛物线互为“半壳线”．那么抛物线的“半壳线”解析式是 ． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 16．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，抛物线与轴的交点为，点、在此抛物线上，抛物线与轴正半轴交点为，轴，，． (1)求、、的坐标； (2)求抛物线的顶点坐标． 18．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），过点且平行于x轴的直线与直线交于点A，点B与点A关于直线对称，    (1)求点A和点B的坐标； (2)如果抛物线经过点B，求a的值； (3)如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 19．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，抛物线经过点，点 (1)求这条抛物线的表达式和它与轴的另一个交点； (2)点是线段上一点，连结交抛物线对称轴于点，如果，求点的坐标； (3)将抛物线沿轴向下平移个单位，所得新抛物线与轴交于点，过点作轴交新抛物线于点，射线交新抛物线于点，如果，求的值． 20．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象 （3知识点+6大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点02：二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点03：二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 【题型1 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与各项系数符号】 【例1-1】（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得 函数开口向下，则，故A错误； 顶点在y轴右侧，则，故B正确； 图象与y轴交点在y轴正半轴，则，故C错误； 当时，，则，故D错误； 故选：B． 【例1-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知抛物线上对称的两点求对称轴、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键 根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上， 故①错误； 抛物线的对称轴是直线， 故②正确； 当或时， ， 故m的值为0， 故③正确； ∵图象过原点，对称轴为直线， ∴图象不过第三象限， 故④正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的． 故⑤不正确． ∴正确的有②③④． 故选：C． 【例1-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质及其与一元二次方程的关系．由抛物线与轴有两个交点可判断①；由对称轴以及抛物线与轴的交点可判断②；关于的一元二次方程没有实数根，即关于的二次函数与直线没有交点，据此可判断③；由函数顶点坐标，得有最大值，进而得，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，则， ∴故①正确； 根据题意可得：，， ∵顶点坐标， ∴， ∴， ∴故②错误； 由关于的一元二次方程没有实数根，可知， ∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确； ∵顶点坐标， ∴当是，有最大值， ∵点是抛物线上任意一点， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海·期中）已知二次函数的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的图象的开口向下，得出，抛物线的对称轴在的负半轴，得，整理得，因为函数与轴的交点在正半轴，得，即可作答． 【详解】解：∵的图象的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在的负半轴， ∴对称轴， ∴， ∵， ∴， ∵函数与轴的交点在正半轴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点A，与y轴的交点B在，之间（不含端点），下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与轴的交点，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、根与系数的关系等知识，逐个判断即可，掌握二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴为直线，、同号， ， 与轴的交点在和之间， ， ， 故A不正确； 对称轴为直线， ， ， ， 故B不正确； 由图可得，当时，， 故C不正确； 由题意可得，方程的两个根为，， ，即， ， ， 因此， 故D正确； 故选：D． 【变式1-4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论中， ①；②；③；④，正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向以及与轴的交点可知， ，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④． 【详解】解：∵抛物线（，，为常数）关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵时，，对称轴为直线， ∴时，， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，即，故④错误； 故答案为：①②③． 【题型2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质】 【例2-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（   ） A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线 C．该函数图像在轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数，则顶点为， 该函数图象有最高点，故选项A错误， 该函数图像对称轴为直线，选项B错误； 该函数图象在轴下方，故选项C正确； 该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误； 故选：C． 【例2-2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）抛物线的图像如图所示，它的顶点在轴上，那么下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据顶点在轴上，可得对称轴为轴，据此可得，即可求解． 【详解】∵顶点在轴上，则对称轴为轴，抛物线的对称轴为直线， ∴ 故选：D． 【例2-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若抛物线（，、、是常数）经过、、、四点，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近． 根据题意先求出抛物线的对称轴为直线，可得抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】解：∵抛物线过、， ∴抛物线的对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， ， 故选：A． 【例2-4】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且当时，有最大值16，则的值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得到关于的方程是解题的关键．求出对称轴为直线，根据当时，随的增大而减小，即可得到开口向上，，由当时，有最大值，可知当时，，即可得到，解方程组即可求得的值． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 开口向上，， 当时，有最大值， 当时，， ， 解得或， ， 的值为． 故答案为：． 【变式2-1】（2024九年级上·上海·专题练习）二次函数的图象如图所示，当时，随的增大而减小，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质和图象可得到：抛物线开口向下，对称轴为直线，进而得出当时，随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴的取值范围是， 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线经过原点，那么 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线经过原点，从而得，进而求出可以得解． 【详解】解：由题意，抛物线经过原点， ． ． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若抛物线过、两点，那么 （填“”，“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 比较两个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 【详解】解：∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近，且在对称轴上，即顶点 ∴． 故答案为：． 【变式2-4】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线．如图，已知抛物线，顶点为A，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果，（是锐角）则m的值是 ． 【答案】或 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据成轴对称图形的特征进行求解、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、解直角三角形，由题意可得，再分两种情况：当直线在点的左侧时，当直线在点的右侧时，再结合轴对称的性质、解直角三角形，计算即可得解，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 当直线在点的左侧时， ∵该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B， ∴点的纵坐标为， 连接交轴于点，如图： ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当直线在点的右侧时，同理可得：， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【题型3一次函数、二次函数图象综合判断】 【例3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（22-23九年级上·上海·期中）如果函数的图像经过第一、二、四象限，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题可先由一次函数的图象得到字母系数的正负，判断二次函数的图象即可． 【详解】解：∵函数的图象经过一、二、四象限， ∴，， ∵时，抛物线开口向下，，在y轴上的截距为正， 只有选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．解决本题的关键是根据一次函数图象确定k、b的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置． 【变式3-2】在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且） 的图像可能是（ ） A． B． C． D． x y x y x y x y 【答案】D． 【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数经过第一、二、三象限；当时，抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，一次函数经过第二、三、四象限． 【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像及性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法． 【变式3-3】已知直线与抛物线交于A，B两点，则抛物线的图象可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先根据开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、抛物线与直线的交点位置判定系数的符合及，再利用字母的正负判定抛物线的图象． 【详解】∵抛物线开口向上，∴， ∵对称轴在轴的左侧，∴， ∵抛物线与轴交于正半轴，∴， 联立，得， 解得：，， ∴A点的横坐标为：， ∵A点在第三象限， ∴， 对于抛物线，∵，∴该抛物线的开口向下，选项A和B不符合题意； ∵对称轴为：，∴抛物线的对称轴在轴的左边，选项D不符合题意； 故选： C． 【变式3-4】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 【题型4二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移】 【例4-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）将抛物线向左平移4个单位后得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移特征“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移4个单位长度，所得直线解析式为：； 故选：D． 【例4-2】（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求角的正弦值、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点坐标为 令，则， ； （2）解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．先解方程得到，，则，所以，由于函数的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线，而C、D关于直线对称，所以，，然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵函数的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线， ∴，， ∴平移后抛物线的解析式为， 即． 故答案为：． 【变式4-2】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、是常数，且），以原点为中心，旋转得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．当线段是线段、的比例中项时，的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的变换，比例的性质，根据题意，求出四点的坐标，进而求出，，的长，根据比例中项的定义，得到，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为：， ∴当抛物线向左平移个单位长度后，新的抛物线与轴的交点坐标为：，即：， 抛物线的“中心对称抛物线”与轴的交点坐标为：， ∵向右也平移个单位长度， ∴平移后的抛物线与轴的交点坐标为：， ∴，，， ∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：. 【变式4-3】（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【答案】(1)，直线 (2)1或3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； （2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或1． 【题型5二次函数的图象与几何图形的综合应用】 【例5】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，是边上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，如果设边的长为，矩形的面积为，那么关于的函数解析式是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及根据实际问题列二次函数解析式．设边的长为，则，进而利用已知得出，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：设边的长为，则， ， ， ， ， 解得：， 矩形的面积为， 关于的函数解析式是：． 故答案为：． 【变式5-1】在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： y=4-(2-2x)²=-4x2+8x（0＜x＜1）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 【变式5-2】如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ． 【答案】2 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴，代入得： ∴抛物线的顶点坐标为 ∵当时，即， 解得：， ∴抛物线与x轴两个交点坐标为和 ∵的“特征三角形”是等腰直角三角形， ∴，即 解得：． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知△中，°，，是上一动点，，交于，将四边形沿向上翻折，得四边形，与、分别交于点、．则梯形的面积的最大值是 ． 【答案】8 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边证明边相等、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，二次函数的应用，解题关键是得出，由相似三角形性质得出三角形面积关系．设为，梯形的面积为y，根据平行线的性质可得，可得；进而可得，再证明，得，从而可得，转化为顶点式，由二次函数的最值得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 设为，梯形的面积为y，则的相似比为， ∴， ∵， ， ∵由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以． 同理，， ， ∴梯形的面积为． 配方得， 所以当时，y有最大值．最大值为8． 故答案为8． 【变式5-4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象与轴有两个交点M、N，顶点为R，若恰好是等边三角形，则 ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、等边三角形的性质、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，不妨假设，如图，作轴于H， 设M、N点坐标分别为，可得，而的长为，由恰好是等边三角形，可得，结合，再进一步解题即可． 【详解】解：不妨假设，如图，作轴于H， 设M、N点坐标分别为， ∴当时， ，， 则， 抛物线顶点坐标为， 则的长为， ∵恰好是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴； 当时，同理可得：， 综上：． 故答案为： 【题型6确定二次函数解析式】 【例6-1】（一般式）（23-24九年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【答案】(1) (2)，顶点 【知识点】求一次函数自变量或函数值、待定系数法求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解； （2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为： （2）解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴              解得 ∴.      故顶点坐标为 【例6-2】（顶点式）（24-25九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标平面内，二次函数图像的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过点？并直接写出平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1) (2)向右平移1个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标为或平移5个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标． 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图像的平移，掌握利用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的平移规律是解题关键． （1）根据题意可设顶点式，再将代入求解即可； （2）设该二次函数图像向右平移个单位，则可得出平移后的解析式为．再将代入，求出t的值，最后分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵该二次函数图像的顶点为， ∴可设该二次函数解析式为． ∵该二次函数图像过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数解析式为； （2）解：设该二次函数图像向右平移个单位， ∴平移后的二次函数解析式为． ∵平移后所得图像经过点， ∴， 解得：，． 当时，平移后的二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴此时平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标为； 当时，平移后的二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴此时平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标为． 综上可知该二次函数图像向右平移1个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标为或平移5个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标． 【例6-3】（交点式）（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 【答案】(1) (2)①    ②， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用相似三角形的性质求解、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可； （2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：①过点E作于H， ∵射线平分，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴；    ②∵， ∴， 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【例6-4】（平移法确定解析式）（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)把抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线，记抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为，如果，求此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点D的坐标为 【知识点】其他问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①利用抛物线的平移思想，待定系数法，点重合的意义，解答即可； ②利用分类思想，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，整理解方程解答即可． 【详解】（1）解：将，分别代入解析式，得： 解得：，． ∴抛物线的解析式为：． （2）①解：由题意，得， 抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线， 故抛物线的解析式可设为：． ∴，． 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵点P与点重合， ∴， ∴． ②解：记抛物线对称轴与x轴交于点H，那么，且轴． ∵， ∴． 当点P在点B左侧时， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 同理可证，当点P在点B右侧时，仍有成立， 有：； 解得：， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，三角形相似的判定和性质，解方程，分类思想，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海·期末）我们将平面直角坐标系中的图形D和点 P给出如下定义：如果将图形D绕点 P顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形D关于点 P的“垂直图形”． 已知点A的坐标为，点B的坐标为，关于原点O的“垂直图形”记为，点A、B的对应点分别为点，． (1)请写出：点的坐标为 ；点的坐标为 ； (2)请求出经过点 A、B、的二次函数解析式： (3)请直接写出经过点 A、B、A'的抛物线的表达式为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，即可得到答案； （2）根据待定系数法求解即可； （3）根据待定系数法求解即可； 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为， 由旋转可知， ， 故答案为：； （2）解：设抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得， ； （3）解：设抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得， ． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知抛物线经过点、、三点． (1)求，的值及二次函数的表达式； (2)将抛物线沿轴向左平移，所得抛物线经过点，点平移后的对应点为点，求平移后新抛物线的解析式和点的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线的平移，解题的关键是通过待定系数法求出解析式； （1）将、、代入，通过消元法求解； （2）设平移距离为，得出平移后的解析式，将点代入其中，结合（1）中得解析式求出的值即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点、、三点，将点、、分别代入， ， 解得：， ； （2）解：将抛物线沿轴向左平移，设平移距离为， 则平移后的抛物线方程为：， 抛物线经过点， 则， ， ， 整理得到：， 解得：（舍去）或， ， 点平移后的对应点为点， 故平移后新抛物线的解析式和点． 【变式6-3】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线上，求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求角的正弦值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理，推出为直角三角形 ，利用正弦的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点和 解得：， 抛物线的表达式为； （2）点在抛物线上                                                                     、、 ，，                     ， 为直角三角形 ，                               在直角三角形中，． 【变式6-4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： (1)新抛物线的表达式． (2)新抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为或 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键． （1）设平移后新抛物线的表达式为，把点代入，即可确定函数关系式， （2）将和代入函数关系式求解，即可． 【详解】（1）解：设平移后新抛物线的表达式为， ∵新抛物线经过点， ， 解得：， ， ， ∴新抛物线的表达式为； （2）解：将代入得：， ∴与轴的交点坐标为． 将代入得：或， ∴与轴的交点坐标为或． 【变式6-4】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知抛物线解析式． (1)如果这条抛物线经过点，求的值，并用配方法将该解析式化为的形式； (2)如果这条抛物线经过两点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）将点代入，求得，进而得出解析式，并化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数图象的对称性求得对称轴为直线，进而求得，将代入解析式，即可得出的值． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴ 解得：， ∴解析式为 （2）解：∵抛物线经过两点，且， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线为，对称轴为直线 ∴， ∴ ∴抛物线解析式为， 当时， 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·期中）将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查的是二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：把二次函数的图象向右平移5个单位， 得：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】A．抛物线开口向上， ，故本选项错误； B．抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ，故本选项正确； C．抛物线与y轴的交点在正半轴上， ，故本选项错误； D．抛物线与x轴的两个交点， ，故本选项错误； 故选：B． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）老师出示了小黑板上题后．小沁说：过点；小蓓说：过点；小卓说：；小茉说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有（    ） 已知抛物线与轴交于，试添加一个条件，使它的对称轴为直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】分析题目信息，要判断每个人的说法是否正确，不妨分别计算在四种说法下抛物线的对称轴，看其是否是直线；本题考查二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，对称轴，与轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：当添加的条件为小沁的说法时， ∵抛物线过点、， ∴根据对称性可知对称轴为，与题目中结论一致； 故小沁的说法正确； 当添加的条件为小蓓的说法时， ∵抛物线过、， ∴， 解得、， 此时函数解析式为， 因此对称轴为，与题目中结论一致； 故小蓓的说法正确； 当添加的条件为小卓的说法时，此时函数解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， 因此函数解析式为，此时对称轴为，与题目中结论一致； 故小卓的说法正确； 当添加的添加为小茉的说法时， ∵抛物线被轴截得的线段长为2，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为或，所以对称轴为轴或直线，与题目中的结论不符； 故小茉的说法错误． 因此前面三个人的说法正确，小茉的说法错误． 故选：C． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线，与x轴交点是A、B，与y轴交与点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题、等腰三角形的定义，勾股定理，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论． 【详解】解：， 当时，或，则，设，， 当时，，则， 由勾股定理可得：，，， ∵为等腰三角形 则当时，即， ∴，解得：， 当时，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，即， ∴，解得：； 当时，即， ∴，解得：； 综上，当或或时，是等腰三角形， 即：能使为等腰三角形的抛物线共有4条． 故选：B． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线，当时，随的增大而增大，从而可得到答案． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故D错误； ∵该抛物线的对称轴是：直线， ∴点和点是对称点，即点在抛物线上，故C正确； ∵由表格可知：当时，随的增大而增大， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，B错误； 故选：C． 6．（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解题的关键是数形结合．由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故①错误；根据抛物线与轴有两个交点，可得：，即，故②错误；根据，代入，故可以判断③；当（为实数）时，，故④正确． 【详解】解：由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知， 又对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 二次函数的图像与轴交于，两点， ， ，故②错误； 又， ， ，故③错误； 当为实数时， 当（为实数）时，，故④正确， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象的性质，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握若一点在函数图象上，则此点坐标满足函数图象解析式是解题的关键，需要注意解出的值要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出的值，再排除二次项系数不为的情况． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得：， 解得：或， ∵二次函数中二次项系数不为，得， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为： ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题的关键是掌握二次函数的对称性及增减性．根据函数解析式的特点，其对称轴为直线，图象开口向上，找出关于对称轴的对称点，利用当时，随的增大而减小，再根据，即可做出判断． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 由二次函数图象的对称性，可知与对称， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ， ； 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）将抛物线向左平移2个单位，得到一条新抛物线，其表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，根据二次函数图象平移的规律，即左加右减，上加下减求解即可，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向左平移2个单位，得到一条新抛物线，其表达式是，即， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海普陀·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标为 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，令，从而，故图象与轴的交点坐标为，进而可以得解． 【详解】解：由题意，令， ． 图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、判断坐标点的象限，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象开口方向、与轴交点的位置得出，，再结合对称轴的位置得出，即可得出答案． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， 由图象知，二次函数图象的对称轴， ， 点在第二象限． 故答案为：二． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数图像的对称轴是直线，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据，结合对称轴，判断出抛物线的开口方向，进而判断出二次函数的增减性，进一步比较二次函数的函数值大小即可． 【详解】解：∵二次函数图像的对称轴是直线，，且， ∴抛物线的开口方向向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两条具有相同对称轴的抛物线与在y轴上交于同一个点，其中，并且，那么两条抛物线围成的图形很像一颗鸡蛋，我们称这两条抛物线互为“半壳线”．那么抛物线的“半壳线”解析式是 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及对称轴、与y轴的交点和“半壳线”的定义，根据已知抛物线求得，，结合已知得条件求得，再次利用“半壳线”的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意得抛物线，且与y轴交于点， 那么，，， ∵， ∴， 由抛物线的“半壳线”解析式是且与y轴交于点， 则，解得， 那么，抛物线的“半壳线”解析式是， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、已知两点坐标求两点距离、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴公式可判断①，根据对称轴及，得抛物线与轴的另一个交点为，进而可判断②，设，根据勾股定理列方程进而可判断③， 【详解】解：由对称轴为直线，得，故①正确； ∵点，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，， 故是方程的一个根，故②正确； 设， ∵二次函数， ∴， 故， 则当时，，化简得：， ∵， ∴当时，符合条件的点C有两个．故③错误． 故答案为：①②． 三、解答题 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为； (2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 16．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—特殊三角形问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式可得，再结合抛物线开口向上，与y轴交于B点，即可得解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则，，再由勾股定理分情况计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，抛物线与轴的交点为，点、在此抛物线上，抛物线与轴正半轴交点为，轴，，． (1)求、、的坐标； (2)求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)，，； (2)顶点坐标． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）把代入求出的坐标，把代入求出的坐标，根据勾股定理和锐角三角函数求出，过点作轴，垂足为，根据，求出，根据勾股定理求出，得出的坐标； （2）把的坐标代入求出，化成顶点式即可求出答案． 【详解】（1）解：根据可得， ∵轴， ∴点的纵坐标为 6 ， ， ， ， ∴点的坐标为， ，， 过点作轴，垂足为， ，， ， ， 答：的坐标分别为． （2）解：∵点在此抛物线上， ， ， ∴抛物线为， ， ∴抛物线的顶点坐标为， 答：抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查对解一元一次方程，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，锐角三角函数的定义，二次函数的三种形式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 18．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），过点且平行于x轴的直线与直线交于点A，点B与点A关于直线对称，    (1)求点A和点B的坐标； (2)如果抛物线经过点B，求a的值； (3)如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是结合图象找出关于的一元一次不等式组． （1）由过点且平行于轴的直线解析式为，可求出点的坐标，由点关于直线的对称点为，可求出点的坐标； （2）由抛物线经过点，，利用待定系数法可求出函数的解析式，将解析式配方后可得出顶点的坐标； （3）结合图形，可得知两个根的范围，从而的出结论． 【详解】（1）解：过点且平行于轴的直线解析式为， 令，则有，解得：， 故点的坐标为． 点关于直线的对称点为， 点的坐标为． （2）解：抛物线经过点， ，解得； （3）解：依照题意画出题形如下． 当时，抛物线与线段无交点， ， 令，则有，解得：， 抛物线与线段恰有一个公共点， 有，解得：． 故的取值范围为．    19．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，抛物线经过点，点 (1)求这条抛物线的表达式和它与轴的另一个交点； (2)点是线段上一点，连结交抛物线对称轴于点，如果，求点的坐标； (3)将抛物线沿轴向下平移个单位，所得新抛物线与轴交于点，过点作轴交新抛物线于点，射线交新抛物线于点，如果，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)3或5 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式. （2）可求直线表达式，设，由，得到，则，求出，同理可求直线表达式为，当时，，则； （3）新抛物线的表达式为，由题意可得，过点F作轴，垂足为H，由得到，那么，则，然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴，解得, ∴抛物线解析式为， 当，， 解得：或， ∴； （2）解：由，得对称轴为直线， 设直线表达式， 代入得：， 解得： ∴直线表达式， 设， ∵， ∴， ∴ 解得：或（舍） ∴， 同理可求直线表达式为：， 当时，， ∴； （3）解：设新抛物线的表达式为 则， ∵对称轴为直线， ∴，， 过点F作轴，垂足为H， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， ∴将代入得： 当点D在轴正半轴上时，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 当点D在y轴的负半轴上，则， ∴, ∴， ∴， ∴综上所述m的值为3或5． 【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度较大，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，两点间距离公式，平移的性质等知识点． 20．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)的值为或 (3)或或 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与坐标轴交点问题，平移的性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）取，求得的值，即可求得点的坐标，求得抛物线的对称轴，则可以得到点的横坐标，得点的纵坐标为，即可求得点的坐标； （2）把二次函数整理为顶点式，可得二次函数本身的最大值为，那么分类探讨所给的取值范围都在对称轴的左侧或右侧时的最高点即可得到的值； （3）得出点和点的坐标，分类探讨抛物线的开口向上，顶点在线段上；抛物线的开口向上，点在抛物线的内部；抛物线的开口向下，点在抛物线的外部，三种情况下的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为； 由题意得：抛物线的对称轴为：直线， 抛物线的对称轴与轴交于点， 点的坐标为； （2）解：时，二次函数为：， 二次函数的开口方向向下，最大值为， ①时，对应的最高点为：， ， 解得：， 不合题意，舍去， ②时，对应的最高点为：， ， 解得： 不合题意，舍去，， 综上：的值为或； （3）解：直线经过点， 点的坐标为， 点的坐标为， ①抛物线的顶点在线段上，此时，抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线的顶点坐标为， ， ， 解得：； ②如图，抛物线的开口向上，点在抛物线的内部， 当时，， ， 解得：； ③如图，抛物线的开口向下，点在抛物线的外部， 当时，， ， 解得：． 综上：抛物线与线段只有一个公共点，则或或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$