专项训练5 判斯与说理-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（苏科版）

第 二 部 分 整 合 提 升 专项训练五 判断与说理 1.如 图,在 △ABC 中,已 知 ∠ABC, ∠ACB 的平分线相交于点D,过点D 作EF ∥BC,交AB 于E,交AC 于F,试判断EF 与BE,CF 的关系. 2.如图所示,已知∠1=∠2,请你添加 一个条件,证明:AB=AC. (1)你添加的条件是 ; (2)请写出证明过程. 3.如图,点 E,F 在BC 上,BE=CF, ∠A=∠D,∠B=∠C.求证:AB=DC. 4.如图,已知:△ABC 中,AB=AC,M 是BC 的中点,D,E 分别是AB,AC 边上的 点,且BD=CE,求证:MD=ME. 5.直线 MN 经过线段AC 的端点A,点 B,D 分别在∠NAC 和∠MAC 的平分线 AE,AF 上,且BD∥MN,AC 交BD 于O. 试说明当O 在AC 上的什么位置时,四边形 ABCD 是矩形? 并说明理由. 6.在△ABC 中,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD,垂足为D,过D 作DE∥AC,交AB 于E,若AB=5,求线段DE 的长. 07 第 二 部 分 整 合 提 升 7.如图,在矩形ABCD 中,对角线BD 的垂直平分线 MN 与AD 相交于点 M,与 BD 相交于点O,与 BC 相交于点N,连接 BM,DN. (1)求证:四边形BMDN 为菱形; (2)若AB=4,AD=8,求 MD 的长. 8.如图,在△ABC 中,点D,E,F 分别 是AB,BC,CA 的 中 点,AH 是 边BC 上 的高. (1)求证:四边形ADEF 是平行四边形; (2)求证:∠DHF=∠DEF. 9.(1)问题发现 如图1,△ACB 和△DCE 均为等边三 角形,点A,D,E 在同一直线上,连接BE. 填空:①∠AEB 的度数为 ; ②线段AD,BE 之间的数量关系为 . (2)拓展探究 如图2,△ACB 和△DCE 均为等腰直 角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D, E 在同一直线上,CM 为△DCE 中DE 边上 的高,连接BE.请判断∠AEB 的度数及线段 CM,AE,BE 之间的数量关系,并说明理由. (3)解决问题 如图3,在正方形ABCD 中,CD= 2.若 点P 满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写 出点A 到BP 的距离. 17 图1 图2 (2)如图2,分别作过点 M,N,C 作ME 的垂线MP,NQ,CG(G 为垂足),则∠PMC=60°,∠CNQ=45°, ∴∠GMC=90°-60°=30°,∠CNG=90°-45°=45°.设CG=xkm,则 NG=xkm,MG= 3xkm,∴MN= (3+1)xkm.∵MN=2(3+1)km,∴(3+1)x=2(3+1).解得x=2.即点C 到公路ME 的距离为2km. 专项训练五 判断与说理 1.EF=BE+CF.∵BD,CD 平分∠ABC,∠ACB,∴ ∠CBD=∠ABD,∠ACD=∠BCD.∵EF∥BC, ∴ ∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB.∴ ∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠DCF.∴ED=BE,DF=CF,∴EF =BE+CF. 2.(1)根据AD=AD,∠1=∠2这两个已知条件,然后根据 “ASA”或 “AAS”写出第三个条件即可.∴添 加的条件是∠C=∠B 或∠ADB=∠ADC. (2)选∠C=∠B 为条件,理由如下:在△ABD 和△ADC 中, ∵ ∠1=∠2 ∠C=∠B AD=AD{ ,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AC=AB. 3.证明:∵BE=FC,∴BE+EF=FC+EF,即 BF=CE,在△ABF 和△DCE 中, ∠A=∠D ∠B=∠C BF=CE{ , ∴△ABF≌△DCE,∴AB=DC. 4.证 明:∵AB=AC,∴ ∠B= ∠C.∵M 是 BC 的 中 点,∴BM =CM.在 △BDM 和 △CEM 中, BD=CE ∠B=∠C BM=CM{ ,∴△BDM≌△CEM(SAS).∴MD=ME. 5.解:O 在 AC 中 点 时,四 边 形 ABCD 是 矩 形.理 由 如 下:∵ AF 平 分∠MAC,AE 平 分∠CAN, ∴ ∠MAF=∠FAC,∠CAE=∠EAN.∵BD∥MN,∴ ∠ODA=∠DAM,∠OBA=∠EAN,∴ ∠ODA= ∠DAO,∠OBA=∠OAB,∴OD=OA,OB=OA,∴OD=OB.∵AO=OC,∴ 四边形ABCD 是平行四边 形,∵ ∠MAC+∠NAC=180°,∴ ∠FAE=90°.∴平行四边形ABCD 是矩形. 6.解:∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE.∴∠BAD=∠ADE. ∴AE=DE.∵BD⊥AD,∴∠ADB=90°.∴∠BAD+∠ABD=∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°.∴∠ABD =∠BDE.∴DE=BE.∴DE= 1 2AB= 1 2×5=2.5. 7.解:(1)证明:∵MN 是BD 的垂直平分线,∴MB=MD,OB=OD,∠BON=∠DOM.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∴∠OBN=∠ODM,∴△BON≌△DOM,∴BN=MD.∴四边形BMDN 是平行四边 形.∵MN⊥BD,∴平行四边形BMDN 是菱形. (2)设 MD=x,则AM=8-x,BM=x.在Rt△ABM 中, BM2=AB2+AM2,∴x2=42+(8-x)2,解得x=5,∴MD=5. 8.证明:(1)∵点D,E 是AB,BC 的中点,∴DE∥AC;同理:EF∥AB,∴四边形ADEF 是平行四边形. (2)∵四边形ADEF 是平行四边形,∴∠DAF=∠DEF.∵在Rt△AHB 中,D 是AB 中点,∴DH= 1 2AB =AD,∴∠DAH=∠DHA,同理:∠FAH=∠FHA,∴∠DAF=∠DHF,∴∠DHF=∠DEF. 9.解:(1)①如题图1,∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE= 60°.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD 和△BCE 中, AC=BC, ∠ACD=∠BCE, CD=CE.{ ∴△ACD≌△BCE.∴∠ADC=∠BEC. ·31· ∵△DCE 为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°.∵点A,D,E 在同一直线上,∴∠ADC=120°.∴∠BEC =120°.∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.故答案为:60°. ②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE.故答案为:AD =BE. (2)∠AEB=90°;AE=2CM+BE.理由:∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB= ∠DCE=90°,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.∴△ACD≌ △BCE.∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.在等腰直角三角 形DCE 中,CM 为斜边DE 上的高,∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.∴AE=DE+AD=2CM+BE. (3) 3-1 2 或 3+1 2 . 专项训练六 数学与生活 1.(1) (2)若以 BA 方向为y 轴正方向,BC 方向为x 轴正方向,则货运场的坐标为 O 32 ,2( ) . 2.A 3.7.5元 4.解:设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x 毫克,则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x-4)毫克. 依题意列方程得:1000 2x-4= 550 x ,解得x=22,经检验:x=22是方程的解.答:一片国槐树叶一年的平均滞尘量 为22毫克. 5.解:(1)本次活动共调查了:20÷ 36° 360°=200 名学生,B 区域的圆心角度是:360°× 200-120-20 200 =108° , 故答案为:200,108°. (2)调查结果为B 的学生有:200-120-20=60(人),补全的条形统计图如图所示; (3)2100× 60+20 200 =840 (人),即估算该校不是“了解很多”的学生有840人. 6.解:(1)设甲车t时到达C 地.由题意得,1.5 180t-7( )= 180 12-t ,解得t=10.经检验,t=10是原方程的解. ∴甲车10:00到达C 地. (2)当7≤t<10时,由图像过点(7,0)和(10,180)可得,y=60t-420,当10≤t≤12 时,由图像过点(10,180)和(12,360)可得,y=90t-720,∴甲车离开A 地的距离y 与时刻t的函数解析式为: y甲= 60t-420(7≤t<10) 90t-720(10≤t≤12){ . (3)当7.5≤t≤12时,由图像过点(7.5,0)和(12,360)可得,y=80t-600,∴乙 车离开A 地的距离y 与时刻t的函数解析式为:y乙=80t-600(7.5≤t≤12).若y甲≥y乙,则60t-420-(80t -600)=20,解得,t=8;若y甲<y乙,则80t-600-(60t-420)=20,解得,t=10;或80t-600-(90t-720) =20,解得,t=10.∴乙车出发后共有两次与甲车相距20km,第一次在8:00,第二次在10:00. 7.解:(1)y甲=50×10+(x-10)×10=10x+400,y乙=(10x+50×10)×0.9=9x+450. (2)由y甲= y乙 得10x+400=9x+450,解得x=50,由y甲<y乙 得10x+400<9x+450,解得x<50,由y甲>y乙,得 10x+400>9x+450,解得x>50,∴当10≤x<50时按甲活动方案购买,当x=50时,两种活动方案购买一 样,当x>50时按乙活动方案购买. (3)甲活动方案:y甲=10x+400=60×10+400=1000(元);乙活动方 案:y乙=9x+450=9×60+450=990(元);两种活动方案买:50×10+50×10×0.9=950(元),所以按甲活动 方案购买10副羽毛球拍,其余按乙活动方案购买,共花950元. ·41·