5 第10章 分式-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（苏科版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第10章 分 式 1.分式的基本概念 若式子 中,A,B 都是整式,且B 中含有 ,那么代数式 A B 叫作分式.当 B≠0时,分式有意义;当B=0时,分式无意 义;当A 0,B 0时,分式的值 为零. 2.分式的基本性质 分式的分子或分母都乘(或除以)同一个 不等于0的整式,分式的值 ,用式子 表示就是A B= A·M B·M = A÷M B÷M (其中 M 是不 等于0的整式). 3.分式的通分和约分 把一个分式的分子和分母分别除以它们 的公因式叫作分式的 . 根据分式的基本性质,把几个不同分母 的分式化成同分母的分式叫作分式的 . 4.最简分式与最简公分母 一个分式的分子与分母没有公因式时叫 作 .异分母的分式通分时,取各分母 系数的 和所有因式的 作为 公分母,这样的公分母叫作最简公分母. 5.分式的运算 (1)分式的加减:①同分母分式相加减, 分母不变,把 相加减.②异分母分式 相加减,先把它们 ,再按同分母分式 相加减; (2)分式的乘除:①分式乘分式,把 的积做积的分子, 的积做积的 分母.②两个分式相除,把除式的 颠 倒位置后,再与被除式相乘. 注意:进行分式运算时,结果必须为最简 分式. 6.分式方程 (1)定 义: 中 含 有 未 知 数 的 方程; (2)解分式方程的指导思想:通过去分 母,把分式方程化为 方程; (3)解分式方程的步骤:①方程两边同乘 各分母的最简公分母,把分式方程化为整式 方程;②解这个整式方程,求出未知数的值; ③验根; (4)应用:按列方程解决问题的一般思路 求解即可,只是要注意检验时,既要检验结果 使实际问题有意义,又要验证是否为原方程 的根. 例1 若分式 x-3 x+4 的值为0,则x 的值 是 . 解析:分式x-3 x+4 的值为0的条件是分子 x-3=0,分母x+4≠0. 解:∵分式 x-3 x+4 的值为0,∴x-3=0,x +4≠0,∴x=3. 点评:本题考查分式值为0的条件,解题 的关键是灵活应用分式值为0的条件. 例2 若关于x 的方程 x-1 x-5= m 10-2x 无解,则m= . 05 第 一 部 分 夯 实 基 础 解析:先把分式方程转化为整式方程,然 后用含m 的代数式表示这个解,因为方程无 解,所以表示的这个解为增根,从而得到关于 m 的一元一次方程,最后求得m 的值. 解:原方程可化为x-1 x-5= m -2(x-5) ,方 程两边都乘-2(x-5)得,-2(x-1)=m, 解得x=- m-2 2 .∵ 方程无解,∴-2(x-5) =0,∴x=5,∴- m-2 2 =5 ,解得m=-8. 点评:分式方程无解的情况就是出现了 增根,而这个增根产生的原因就是在从分式 方程转化为整式方程时方程两边都乘了个 0,据此我们可以得出增根的值,从而可以求 得未知字母的取值. 1.(1)当x= 时,分式 x2-1 x+1 的 值为零. (2)x= 时,分式 x 3x+1 无意义. 2.使分式 x+1 2x-1 的值为零的条件是x= . 3.已知关于x 的方程 3x+n 2x+1=2 的解是 负数,则n 的取值范围为 . 4.化 简 1- 1 m+1 æ è ç ö ø ÷(m +1)的 结 果 为 . 5.一列数a1,a2,a3,…,其中a1= 1 2 ,an = 1 1-an-1 (n 为不小于2的整数),则a100= ( ) A. 1 2 B.2 C.-1 D.-2 6.下列分式中,最简分式是 ( ) A. 1-x 2(x+1) B. x-2y x2-4y2 C. x+1 2x2+4x+2 D. x+3x2 x2 7.一水池有甲、乙两个进水管,若单独 开甲、乙管各需要a 小时、b 小时可注满空 池;现两管同时打开,那么注满空池的时间是 ( ) A. 1 a+ 1 b B. 1 ab C. 1 a+b D. ab a+b 8.化简求值: x-y x2-2xy+y2 - xy+y2 x2-y2 ,其中(x-2)2 +|y-3|=0. 9.某车队要把4000吨货物运到雅安地 震灾区(方案定后,每天的运量不变). (1)从运输开始,每天运输的货物吨数n (单位:吨)与运输时间t(单位:天)之间有怎 样的函数关系式? 15 第 一 部 分 夯 实 基 础 (2)因地震,到灾区的道路受阻,实际每 天比原计划少运20%,则推迟1天完成任 务,求原计划完成任务的天数. 1.若 3 1-x+ 2 x+1= -4 x2-1 有增根,则这 个方程的增根是 . 2. 已 知 1 x - 1 y = 3,则 分 式 2x+3xy-2y x-2xy-y 的值等于 . 3.若分式 x-3 x+4 的值为0,则x 的值是 ( ) A.3 B.0 C.-3 D.-4 4.若分式 2 x+1 的值为正整数,则整数x 的值为 ( ) A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1 5.校九(1)、九(2)两班的班长交流为四 川雅安地震灾区捐款的情况: (Ⅰ)九(1)班的班长说:“我们班捐款总 额为1200元,我们班人数比你们班多8人.” (Ⅱ)九(2)班的班长说:“我们班捐款总 额也为1200元,我们班人均捐款比你们班人 均捐款多20%.” 请根据两个班长的对话,求这两个班级 每班的人均捐款数. 1.(德州中考题)分式方程 x x-1-1= 3 (x-1)(x+2) 的解是 ( ) A.x=1 B.x=-1± 5 C.x=2 D.无解 2.(阜新中考题)在“建设美丽阜新”的 行动中,需要铺设一段全长为3000m 的污 水排放管道.为了尽量减少施工时对城市交 通所造成的影响,实际施工时每天的工效比 原计划增加25%,结果提前30天完成这一 任务.设实际每天铺x m管道,根据题意,所 列方程正确的是 ( ) 25 第 一 部 分 夯 实 基 础 A. 3000 x - 3000 (1+25%)x=30 B. 3000(1+25%) x - 3000 x =30 C. 3000 (1-25%)x- 3000 x =30 D. 3000 x - 3000(1+25%) x =30 3.(鞍山中考题)甲、乙两人加工某种机 器零件,已知每小时甲比乙少加工6个这种 零件,甲加工240个这种零件所用的时间与 乙加工300个这种零件所用的时间相等,设 甲每小时加工x 个零件,所列方程正确的是 ( ) A. 240 x = 300 x-6 B. 240 x = 300 x+6 C. 240 x-6= 300 x D. 240 x+6= 300 x 4.(西宁中考题)开学在即,由于新冠疫 情学校决定共用6000元分两次购进口罩 2200个免费发放给学生.若两次购买口罩的 费用相同,且第一次购买口罩的单价是第二 次购买口罩单价的1.2倍,则第二次购买口 罩的单价是 元. 5.(成都中考题)已知关于x 的分式方 程x+k x+1- k x-1=1 的解为负数,则k 的取值 范围是 . 6.(贵港中考题)在今年新冠肺炎防疫 工作中,某公司购买了A、B 两种不同型号 的口罩,已知A 型口罩的单价比B 型口罩的 单价多1.5元,且用8000元购买A 型口罩的 数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同. (1)A、B 两种型号口罩的单价各是多 少元? (2)根据疫情发展情况,该公司还需要增 加购买一些口罩,增加购买B 型口罩数量是 A 型口罩数量的2倍,若总费用不超过3800 元,则增加购买 A 型口罩的数量最多是多 少个? 35 第10章 分 式 【要点回顾】 1. A B 字母 = ≠ 2.不变 3.约分 通分 4.最简分式 最小公倍数 最高次幂的积 5.(1)①分子 ②通分 (2)①分子相乘 分母相乘 ②分子和分母 6.(1)分母 (2)整式 【基础过关】 1.(1)1 (2)- 1 3 2.-1 3.n<2 且n≠ 3 2 4.m 5.A 6.A 7.D 8. 1-y x-y 2 9.解:(1)由nt=4000得:n= 4000 t (t>0). (2)设原计划每天运x 吨,得 4000 x = 4000 (1-20%)x-1 ,解得x =1000,经检验,x=1000是原方程的解,∴x=1000是原方程的解,∴原计划完成任务的天数为 4000 1000=4 (天).答:原计划完成任务的天数是4天. 【综合提升】 1.x=-1 2. 3 5 3.A 4.C 5.解:设九(1)班的人均捐款数为x 元,则九(2)班的人均捐款数为(1+20%)x 元,根据题意,得: 1200 x - 1200 (1+20%)x=8 ,解得:x=25,经检验,x=25是原方程的解.所以(1+20%)x=30(元). 答:这两个班级每班 的人均捐款数分别为25元,30元. 【中考热身】 1.D 2.B 3.B 4.2.5 5.k> 1 2 且k≠1 6.解:(1)设A 型口罩的单价为x 元,则B 型口罩的单价为(x-1.5)元,根据题意,得: 8000 x = 5000 x-1.5. 解 方程,得:x=4.经检验:x=4是原方程的根,且符合题意.所以x-1.5=2.5.答:A 型口罩的单价为4元,则B 型口罩的单价为2.5元. (2)设增加购买A 型口罩的数量是m 个,根据题意,得:2.5×2m+4m≤3800.解不 等式,得:m≤422 2 9. 因为m 为正整数,所以正整数m 的最大值为422.答:增加购买A 型口罩的数量最多是 422个. 第11章 反比例函数 【要点回顾】 1.y= k x 2. 一、三 减小 k<0 增大 k 【基础过关】 1.-6 二、四 减小 2.-3 3.y= 1 x 4.2 5.6 6.B 7.A 8.D 9.解:∵直线y= 1 2x+ 1 2 ,∴ A(-1,0),∴OA=1.∵ OC=2OA,∴OC=2.令x=2,得:y= 3 2 , ∴B 2, 3 2( ),令双曲线的解析式为y= k x ,k=2× 3 2 ,∴k=3.∴双曲线的解析式为y= 3 x . 【综合提升】 1.y= 5 2x-3 2.2 或-2 3. 1 2<m<3 4.- 3 2 - 1 3 0 ,-1 5.C 6.A 7.解:(1)点A(1,2)在一次函数y=kx+1的图像上,∴k=1,∴一次函数的解析式为y=x+1;点A(1, ·9·