5 第9章 中心对称图形—平行四边形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（苏科版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第9章 中心对称图形———平行四边形 1.图形的旋转 在平面内,将一个图形绕着一个 旋转一定的 ,这样的图形运动叫图 形的旋转. 2.图形旋转的性质 (1)旋转前、后的图形 ; (2)对应点到旋转中心的距离 ; (3)每一对对应点与旋转中心的连线所 成的 彼此相等. 3.中心对称 把一个图形绕着某一点旋转 , 如果它能够与另一个图形 ,那么称 这两个图形关于这点对称,也称这两个图形 成中心对称.这个点叫 . 4.中心对称图形 把一个平面图形绕着某一点旋转 , 如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重 合,那么这个图形叫作 图形. 5.中心对称的性质 成中心对称的两个图形中,对应点的连 线经过 ,且被对称中心 . 6.平行四边形 (1)定义:两组对边分别 的四边 形叫作平行四边形; (2)性质:①平行四边形对边 ; ②平行四边形对角 ;③平行四边形 对角线 ; (3)判定:①一组对边 的四边形 是平行四边形;②两组对边分别 的 四边形是平行四边形;③两条对角线 的四边形是平行四边形. 7.矩形 (1)定义:有一个角是直角的 四 边形叫作矩形; (2)性质:①具有平行四边形所有性质; ②矩形对角线 ,四个角都是 ; (3)判定:①有三个角是 的四边 形是矩形;②对角线 的平行四边形 是矩形. 8.菱形 (1)定义:有一组 相等的平行四 边形叫作菱形; (2)性质:①具有平行四边形所有性质; ②菱形的四条边都 ;③菱形的对角 线 ,并且每一条对角线平分一组 . (3)判定:① 都相等的四边形是 菱形;②对角线 的平行四边形是 菱形. 9.正方形 (1)定义:有一组邻边 且有一个 角是 的平行四边形叫作正方形; (2)性质:具备平行四边形、矩形、菱形的 所有性质; (3)判定:①一个角是直角的 是 正方形;②一组邻边相等的 是正方 形;③对角线互相垂直的 是正方形; ④对角线相等的 是正方形. 10.三角形中位线 (1)三角形中位线的定义:连接三角形两 边 的线段叫作三角形的中位线. (2)三角形中位线定理:三角形的中位线 64 第 一 部 分 夯 实 基 础 平行于第三边,并且等于它的 . 例1 四边形 ABCD 中,对角线 AC, BD 相交于点O,给出下列四个条件:①AD ∥BC,②AD=BC,③OA=OC,④OB= OD,从中任选两个条件,能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有 ( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 解析:从一组对边平行且相等,对角线互 相平分,以及结合条件组合,通过论述三角形 全等,推出四边形的对角线是否互相平分等 进行辨析. 解:一组对边平行且相等的四边形为平 行四边形,因此①AD∥BC,②AD=BC 两 者组合正确;对角线互相平分的四边形是平 行四边形,因此③OA=OC,④OB=OD 组 合正确.同理①③,①④组合也正确.综上所 述,选法有4种,答案选择B. 点评:忽视从其中两个条件出发,通过论 述三角形全等找到判断四边形为平行四边形 的两种情况,漏解或者是辨析两个三角形全 等时,错误运用两组边以及其中一组边的对 角对应相等,两个三角形全等,得出多于正确 答案的另外两种错误答案. 例2 如图,在矩形 ABCD 中,AB< BC,AC,BD 相交于点O,则图中等腰三角 形的个数是 ( ) A.8 B.6 C.4 D.2 解析:由矩形的性质得 OA=OB=OC = OD,易 得 △AOB,△COB,△COD, △AOD 都是等腰三角形. 解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴OA= OB=OC=OD,又∵AB<BC,∴△AOB, △COB,△COD,△AOD 都是等腰三角形. 故选C. 点评:本题考查了矩形的性质和等腰三 角形的判定,解答本题的关键是找到BD 与 AC 之间的关系. 1.如图,在直角△OAB 中,∠AOB=30°, 将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转100°得到 △OA1B1,则∠A1OB 的度数为 . 2.在方格纸中,选择标有序号①②③④ 中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构 成中心对称图形,该小正方形的序号是 . 3.一 个 菱 形 的 两 条 对 角 线 长 分 别 为 6cm、8cm,则这个菱形的面积S 为 . 4.若矩形的一个角的平分线分一边为 4cm和3cm的两部分,则矩形的周长为 . 5.其主视图不是中心对称图形的是 ( ) 74 第 一 部 分 夯 实 基 础 6.如图,在矩形ABCD 中,AB=1,AD = 3,AF 平分∠DAB,过C 点作CE⊥BD 于E,延长AF,EC 交于点H,下列结论中: ①AF=FH;②BO=BF;③CA =CH; ④BE=3ED,正确的有 ( ) A.②③ B.③④ C.①②④ D.②③④ 7.如图,正方形ABCD 中,AB=3,点E 在边CD 上,且CD=3DE.将△ADE 沿AE 对折至△AFE,延长EF 交边BC 于点G,连 接AG,CF.下列结论:①点G 是BC 的中点; ②FG=FC;③S△FGC= 9 10. 其中正确的是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8.如图,分别以Rt△ABC 的直角边AC 及 斜 边 AB 向 外 作 等 边 △ACD、等 边 △ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为 F,连接DF. (1)试证明AC=EF; (2)求证:四边形ADFE 是平行四边形. 1.如图,一个平行四边形的活动框架, 对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则 ∠α也随之变化,两条对角线长度也在发生 改变.当∠α是 度时,两条对角线长 度相等. 2.矩形ABCD 中,AB=4,AD=3,P, Q 是对角线BD 上不重合的两点,点P 关于 直线AD,AB 的对称点分别是点E,F,点Q 关于直线BC,CD 的对称点分别是G,H.若 由点E,F,G,H 构成的四边形恰好为菱形, 则PQ 的长为 . 3.如 图,四 边 形 ABCD,EFGH, NHMC 都是正方形,边长分别为a,b,c;A, B,N,E,F 五点在同一直线上,则c= (用含有a,b的代数式表示). 4.菱形的周长为20cm,两邻角的比为 1∶3,则菱形的面积为 ( ) A.25cm2 B.16cm2 C. 25 2 2cm 2 D.162cm2 5.平行四边形ABCD 的周长为2a,两条 对角线相交于O,△AOB 的周长比△BOC 的 周长大b,则AB 的长为 ( ) A. a-b 2 B. a+b 2 C. 2a+b 2 D. a+2b 2 6.如图,四边形ABCD 是边长为a 的正 84 第 一 部 分 夯 实 基 础 方形,点 G,E 分别是边AB,BC 的中点, ∠AEF=90°,且EF 交正方形外角的平分线 CF 于点F. (1)求证:∠BAE=∠FEC; (2)求证:△AGE≌△ECF; (3)求△AEF 的面积. 1.(南昌中考题)如图,△ABC 中,AB= 4,BC=6,∠B=60°,将△ABC 沿射线BC 的方向平移,得到△A'B'C',再将△A'B'C' 绕点A'逆时针旋转一定角度,点B'恰好与 点C 重合,则平移的距离和旋转角的度数分 别为 ( ) A.4,30° B.2,60° C.1,30° D.3,60° 2.(柳州中考题)下列四个图案中,是中 心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 3.(十堰中考题)如图,在△ABC 中,点 D 是BC 的中点,点E,F 分别在线段AD 及 其延长线上,且 DE=DF,给出下列条件: ①BE⊥EC;②BF∥EC;③AB=AC;从中 选择一个条件使四边形BECF 是菱形,你认 为这个条件是 (只填写序号). 4.(安顺中考题)如图,在△ABC 中,AB =AC,AD ⊥BC,垂 足 为 点 D,AN 是 △ABC 的 外 角 ∠CAM 的 平 分 线,CE ⊥ AN,垂足为点E. (1)求证:四边形ADCE 为矩形; (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADCE 是正方形? 并给出证明. 94 【综合提升】 1.⑤ ②③ ①④ 2. 1 3 3. 1 8 4.D 5.A 6.A 7. (1)随机事件 (2)必然事件 (3)必然事件 (4)随机事件 (5)随机事件 (6)随机事件 (7)随机事件 【中考热身】 1.D 2.A 3.B 4.2.4 5.15 6.解:(1)“直播”教学方式学生的参与度更高:理由:“直播”参与度在0.6以上的人数为28人,“录播”参 与度在0.6以上的人数为20人,参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数,所以“直播”教学方式学 生的参与度更高. (2)12÷40=0.3=30%,答:估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%. (3)“录 播”总学生数为800× 1 1+3=200 (人),“直播”总学生数为800× 3 1+3=600 (人),所以“录播”参与度在0.4以 下的学生数为200× 4 40=20 (人),“直播”参与度在0.4以下的学生数为600× 2 40=30 (人),所以参与度在0.4 以下的学生共有20+30=50(人). 第9章 中心对称图形———平行四边形 【要点回顾】 1.定点 角度 2.(1)全等 (2)相等 (3)角 3.180° 重合 对称中心 4.180° 中心对称 5.对称 中心 平分 6.(1)平行 (2)①平行且相等 ②相等 ③互相平分 (3)①平行且相等 ②相等 ③互相 平分 7.(1)平行四边形 (2)②相等 直角 (3)①直角 ②相等 8.(1)邻边 (2)②相等 ③互相垂直 对角 (3)①四条边 ②互相垂直 9.(1)相等 直角 (3)①菱形 ②长方形 ③长方形 ④菱形 10.(1)中点 (2)一半 【基础过关】 1.70° 2.② 3.24cm2 4.22cm或20cm 5.B 6.D 7.B 8.(1)证明:∵△ACD 和△ABE 都是等边三角形,∴∠EAB=∠DAC=60°,AB=AE,AC=AD.∵EF ⊥AB,∴∠EFA=∠ACB=90°,∠AEF=30°.∵∠BAC=30°,∴∠BAC=∠AEF,∴△ABC≌△EAF (AAS),∴AC=EF. (2)证明:∵∠DAC+∠CAB=90°,∴DA⊥AB.∵EF⊥AB,∴AD∥EF.∵AC=EF, AC=AD,∴AD=EF,∴四边形ADFE 是平行四边形. 【综合提升】 1.90 2.2.8 3. a2+b2 4.C 5.B 6.(1)证明:∵∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°.在Rt△ABE 中,∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BAE =∠FEC. (2)证明:∵G,E 分别是正方形ABCD 的边AB,BC 的中点,∴AG=GB=BE=EC,且∠AGE= 180°-45°=135°.又 ∵CF 是 ∠DCH 的 平 分 线,∠ECF =90°+45°=135°.在 △AGE 和 △ECF 中, AG=EC, ∠AGE=∠ECF=135°, ∠GAE=∠FEC{ ∴△AGE≌△ECF. (3)解:由△AGE≌△ECF,得AE=EF.又∵∠AEF=90°, ∴△AEF 是等腰直角三角形.由AB=a,BE= 1 2a ,知AE= 5 2a ,∴S△AEF= 5 8a 2. 【中考热身】 1.B 2.D 3.③ 4.(1)证明:在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平 分线,∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 1 2 ×180°=90°. 又∵AD⊥BC,CE⊥AN, ∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四边形ADCE 为矩形. (2)例如,当∠BAC=90°时,四边形ADCE 是正方形.证 明:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC 于D,∴∠ACD=∠DAC=45°,∴DC=AD.由(1)知四边形ADCE 为矩形,∴矩形ADCE 是正方形. ·8·