3 第3章 勾股定理-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（苏科版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第3章 勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于 . 数学式子:∠C=90°⇒a2+b2=c2. 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c 满足a2+ b2=c2,那么这个三角形是 . 数学式子:a2+b2=c2⇒∠C=90°. 满足a2+b2=c2 的三个正整数a、b、c 称为勾股数. 例1 一直角三角形的两边长分别为3 和4,则第三边的长为 ( ) A.5 B.7 C.5 D.5或 7 解析:利用分类讨论思想进行分类讨论, 当4为直角边或斜边时,然后利用勾股定理 即可求解. 解:(1)当两边均为直角边时,由勾股定 理得,第三边为 32+42=5; (2)当4为斜边时,由勾股定理得,第三 边为 42-32= 7;∴直角三角形的第三边 应该为5或 7.故选D. 点评:在直角三角形中给出两边的长度, 确定第三边时,要用到勾股定理,同时要注意 分类讨论思想的运用. 例2 在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC= 9,BC=12,则点C 到AB 的距离是 ( ) A. 36 5 B. 12 25 C. 9 4 D. 33 4 解析:根据题意,画出图形,然后通过勾 股定理和等积法即可计算. 解:如图,∵AC=9,BC=12,由勾股定理 可得AB=15,再由等积法可得9×12=15· CD,∴CD= 36 5. 故选A. 点评:解决直角三角形中边的问题,往往 都需要用到勾股定理和等积法. 1.在Rt△ABC 中,∠C=90°. (1)如果a=3,b=4,则c= ; (2)如果b=6,c=10,则a= ; (3)如果a=5,c=13,则b= . 2.如果△ABC 的三边分别为a,b,c,满 足a2+b2=c2,则这个三角形是 三 角形. 3.直角三角形两直角边长分别为5cm 和12cm,则斜边上的高为 . 4.在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=12cm, S△ABC=30cm2,则AB= . 5.有一个三角形,其中两边长分别为4 和5,要使这个三角形为直角三角形,则第三 边的平方为 . 6.把直角三角形两直角边同时扩大到 81 第 一 部 分 夯 实 基 础 原来的2倍,则其斜边扩大到原来的 ( ) A.2倍 B.4倍 C.2倍 D.3倍 7.一架25分米长的梯子,斜立在一竖直 的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.如果梯 子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动 ( ) A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米 8.一个直角三角形的斜边比一条直角 边大2cm,另一条直角边长为6cm,则斜边 长为 ( ) A.4cm B.8cm C.10cm D.12cm 9.等腰三角形底边上的高为4cm,周长 为16cm,则此三角形面积为 ( ) A.14cm2 B.12cm2 C.10cm2 D.8cm2 10.一根高9米的旗杆在离地4米高处 折断,折断处仍相连,此时在3.9米远处玩耍 的身高为1米的小明是否有危险 ( ) A.没有危险 B.有危险 C.可能有危险 D.无法判断 11.如图,已知四边形ABCD 中,∠B= 90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四 边形ABCD 的面积. 12.我们在学习勾股定理时构造了右下 图 的 模 型:△ABC 是 直 角 三 角 形,其 中 ∠ACB 是直角,分别以Rt△ABC 的三边为 边向外作3个正方形,面积由小到大分别用 S1,S2,S3 表示,那么S1,S2,S3 三者的关系 是 . 你能构造一个模型,即以 Rt△ABC 的 三边为边向外作3个图形,使3个图形的面 积有上述关系吗? 请试一试,并说明理由. 1.在△ABC 中,a∶b∶c=40∶41∶9, 则△ABC 是 三角形. 2.一个正方形的面积增为原来的3倍, 它的边长增为原来的 倍. 3.如图,有一圆柱体,它的高为20cm, 底面半径为7cm.在圆柱的下底面A 点处有 一个蜘蛛,它想吃到上底面上与A 点相对的 B 点处的苍蝇,需要爬行的最短路径是 cm(结果用带根号和π的式子表示). 4.如图,∠A=60°,∠B=∠D=90°,若 BC=4,CD=6,则AB= . 5.一艘轮船以16海里/时的速度离开 A 港向东南方向航行,另一艘轮船同时以 12海里/时的速度离开 A 港向西南方向航 行,经过1.5h后它们相距 海里. 91 第 一 部 分 夯 实 基 础 6.如图是一株美丽的勾股树,其中所有 的四边形都是正方形,所有的三角形都是直 角三角形.若正方形A,B,C,D 的面积分别 是3,5,2,3,则最大正方形E 的面积是 . 7.已知三角形内角有以下关系:∠A= 1 2∠B= 1 3∠C ,它的最长边为10,则此三角 形的最短边长是 ( ) A.5 B.53 C.52 D.以上都不对 8.如果△ABC 的三边长为a,b,c,且满 足(a+2b-60)2+|b-18|+|c-30|=0, 则△ABC 为 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 9.下列各组数中不能构成直角三角形 的一组是 ( ) A.0.3,0.4,0.5 B.10,24,26 C.m2-n2,2mn,m2+n2(m,n 为自然 数,m>n) D.4m,5m,6m(m 为正数) 10.如图,正方形网格中的每个小正方 形边长都是1,每个小格的顶点叫作格点,以 格点为顶点分别按下列要求画三角形(涂上 阴影). (1)在图1中,画一个三角形,使它的三 边长都是有理数; (2)在图2、图3中,分别画两个不全等 的直角三角形,使它的三边长都是无理数. 11.如图,南北向 MN 为我国领域,即 MN 以西为我国领海,以东为公海.上午9时 50分,我国反走私A 艇发现正东方向有一走 私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海 开来,便立即通知正在 MN 线上巡逻的我国 反走私艇B.已知A,C 两艇的距离是13海 里,A,B 两艇的距离是5海里;反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的 速度不变,最早会在什么时间进入我国领海? 1.(淮安中考题)如图,在边长为1个单 位长度的小正方形组成的网格中,点 A,B 都是格点,则线段AB 的长度为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.25 02 第 一 部 分 夯 实 基 础 2.(随州中考题)勾股定理是人类最伟 大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕 达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就 有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代 数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅 “弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流 传至今. (1)①请叙述勾股定理; ②勾股定理的证明,人们已经找到了 400多种方法,请从下列几种常见的证明方 法中任选一种来证明该定理;(以下图形均满 足证明勾股定理所需的条件) 图1 图2 图3 (2)①如图4、5、6,以直角三角形的三边为 边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三 角形,这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3 的有 个; 图4 图5 图6 图7 ②如图7所示,分别以直角三角形三边 为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴 影部分)的面积分别为S1,S2,直角三角形面 积为S3,请判断S1,S2,S3的关系并证明; (3)如果以正方形一边为斜边向外作直 角三角形,再以该直角三角形的两直角边分 别向外作正方形,重复这一过程就可以得到 如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾 股树”的某部分图形中,设大正方形 M 的边 长为定值m,四个小正方形A,B,C,D 的边 长分别为a,b,c,d,已知∠1=∠2=∠3= ∠α,则当∠α 变化时,回答下列问题:(结果 可用含m 的式子表示) 图8 图9 ①a2+b2+c2+d2= ; ②b与c的关系为 ,a 与d 的 关系为 . 12 第3章 勾股定理 【要点回顾】 1.斜边的平方 2.直角三角形 【基础过关】 1.(1)5 (2)8 (3)12 2.直角 3. 60 13cm 4.13cm 5.9 或41 6.A 7.D 8.C 9.B 10.B 11.解:连接AC,在Rt△ABC 中,AC2=AB2+BC2=32+42=25,∴AC=5.在△ACD 中,∵AC2+CD2 =25+122=169,而AD2=132=169,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°.故S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= 1 2AB ·BC+ 1 2AC ·CD= 1 2×3×4+ 1 2×5×12=6+30=36. 12.S3=S2+S1,构造略. 【综合提升】 1.直角 2.3 3. 400+49π2 4. 163 3 5.30 6.13 7.A 8.B 9.D 10. 略 11.解:设 MN 交AC 于E,则∠BEC=90°.又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2,∴△ABC 是直角 三角形,∠ABC=90°.又∵MN⊥CE,∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE,则CE2+BE2=144,(13- CE)2+BE2=25,得26CE=288,∴CE= 144 13. 144 13÷13= 144 169≈0.85 (小时),0.85×60=51(分).9时50分+51 分=10时41分.答:走私艇最早在10时41分进入我国领海. 【中考热身】 1.A 2.(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.(或者:在直角三角形中, 两条直角边的平方和等于斜边的平方.) ②证明:在图1中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的 面积与中间小正方形面积的和.即c2= 1 2ab×4+ (b-a)2,化简得:a2+b2=c2.在图2中,大正方形的面积等 于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.即(a+b)2=c2+ 1 2ab×4 ,化简得:a2+b2=c2. 在图3中,梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.即 1 2 (a+b)(a+b)= 1 2ab×2+ 1 2c 2,化简得:a2+ b2=c2. (2)①3 解析:三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有3个. ②结论:S1+S2=S3.∵S1+S2 = 1 2π( a 2 ) 2 + 1 2π( b 2 ) 2 +S3- 1 2π( c 2 ) 2 ,∴S1+S2= 1 8π (a2+b2-c2)+S3,∴a2+b2=c2.∴S1+S2= S3. (3)①a2+b2+c2+d2=m2; ②m2 b=c.a+d=m 解析:b与c的关系为b=c,a 与d 的关系为a +d=m. 第4章 实 数 【要点回顾】 1.平方 3.相反数 没有 开平方 5.立方根 6.正数 0 开立方 7.无理数 实数 【基础过关】 1.4.2×108 2.1 3.8 4.x≤ 1 3 5.B 6.A 7.A 8.33-2 9. (1)> (2)> 10.x=4 y= 6-2 x-1= 3 【综合提升】 1.0 ±2 ± 5 4 2.± 1 2 ± 1 2 3.2 4.①②④ 5.A 6.A 7.D 8.A 9.±3 10.23.4cm ·4·