3 第2章 轴对称图形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（苏科版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第2章 轴对称图形 1.轴对称 如果把一个图形沿着 折叠后,能 够与另一个图形 ,那么这两个图形关 于这条直线成轴对称,这条直线叫作 , 两个图形中的对应点叫作 . 2.轴对称图形 如果 折叠,直线 两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫 作轴对称图形,这条直线叫作对称轴. 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别: (1)轴对称是指 个图形沿某直 线对折能够完全重合,而轴对称图形是指 个图形的两个部分沿某直线对折能 完全重合. (2)轴对称反映 个图形的特殊 位置、大小关系;轴对称图形反映 个图形的特性. 联系: (1)两部分都完全重合,都有对称轴,都 有对称点. (2)如果把成轴对称的两个图形看成是 一个整体,这个整体就是一个轴对称图形;如 果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个 图形,这两个部分图形就成轴对称. 4.线段的垂直平分线 ,叫作这条 线段的垂直平分线(也称线段的中垂线). 5.轴对称的性质 (1)成轴对称的两个图形 . (2)如果两个图形成轴对称,那么对称轴 是 的垂直平分线. 6.怎样画轴对称图形 画轴对称图形时,应先确定 ,再 找出对称点. 7.线段的轴对称性 (1)线段是轴对称图形,对称轴有两条; 一条是 ,另一条是 . (2)线段的垂直平分线上的点 相等. (3) 的点,在这 条线段的垂直平分线上. 8.角的轴对称性 (1)角是轴对称图形,对称轴是 的直线. (2)角平分线上的点到 距离 相等. (3)到角的两边距离相等的点,在 上. 9.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形是 图形, 所在直线是它的对称轴; (2)等腰三角形的 相等 (简称“ ”); (3)等腰三角形的 、 、 互相重合(简称“ ”). 10.等腰三角形的判定 (1)如果一个三角形有2个角相等,那么 也相等(简称“ ”); (2)直角三角形 等于斜 边上的一半. 31 第 一 部 分 夯 实 基 础 11.等边三角形 (1)等边三角形的定义: 的三角形叫作等边 三角形或正三角形. (2)等边三角形的性质: 等边三角形是轴对称图形,并且有 条对称轴;等边三角形的每个角都等于 . (3)等边三角形的判定: 的三角形是等边三角 形; 等于60°的三角形是等边三角 形;有一个角等于60°的 是等 边三角形. 例1 如图①是3×3正方形方格,将其 中两个方格涂黑,并且使得涂黑后的整个图 案是轴对称图形,约定绕正方形ABCD 的中 心旋转能重合的图案都视为同一种图案,例 如图②中的四幅图就视为同一种图案,则得 到的不同图案共有 ( ) A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 解析:先找出3×3正方形方格的对称 轴,再按成轴对称的图形是否在对称轴上进 行设计图案. 解:如图所示: 综上,一共有6种不同图案.所以选C. 点评:轴对称图形是指图形上沿某条直 线对折,两旁的部分能重合,利用轴对称图形 设计图案的关键是先确定对称轴. 例2 已知等腰三角形一边长为4,另一 边长为8,则这个等腰三角形的周长为 ( ) A.16 B.20或16 C.20 D.12 解析:由于题中没有指明哪边是底哪边 是腰,解答此题时注意分类讨论,此题分两种 情况:4为腰或8为腰的两种情况,再利用三 角形三边关系作出判断,不要漏解,也不能 多解. 证明:①当4为腰长时,4+4=8,故此种 情况不存在;②当8为腰长时,8+4>8,符合 题意.故此三角形的周长=8+8+4=20.故 选C. 点评:当已知等腰三角形的两边长时,若 没有明确边的类型,要分已知边是底边还是 腰两种情况进行讨论,再根据三角形三边关 系:三角形的任意两边之和大于第三边;三角 形的任意两边之差小于第三边,作出判断. 例3 若等腰三角形的一个内角为50°, 则它的顶角为 . 解析:①该50°的内角为顶角;②50°的内 角为底角,分成两种情况去说明. 解:50°或80°. 点评:题目中没有说明该内角是顶角还 41 第 一 部 分 夯 实 基 础 是底角,因而需要分类讨论. 例4 如图,点D,E 在△ABC 的边BC 上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE. 解析:本题可通过全等三角形来证线段 相等.在△ABD 和△ACE 中,已知了 AB= AC,BD=EC 且∠B=∠C,由此可证得两 三角形全等,即可得出AD=AE 的结论.也 可根据等腰三角形三线合一来证明. 证明:过点A 作AF⊥BC 于点F,∵AB =AC,∴BF=CF.∵BD=CE,∴DF= EF,∴AD=AE. 点评:本题考查了等腰三角形的性质三 线合一,根据等腰三角形的性质得出相等的 线段是解题关键. 1.线段是轴对称图形,它的对称轴是 . 2.等腰△ABC 中,若∠A=30°,则∠B = . 3.如图,在△ABC 中,AB=AD=DC, ∠BAD=32°,则∠BAC= °. 第3题 第4题 4.在2×2的正方形格纸中,有一个以格 点为顶点的△ABC,请你找出格纸中所有与 △ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角 形,这样的三角形共有 个. 5.下列图形中,轴对称图形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.小明在镜子中看到的钟表如图,则实 际时间为 ( ) A.2:15 B.2:45 C.3:15 D.3:45 7.下列命题中:①两个全等三角形合在 一起是一个轴对称图形;②等腰三角形的对 称轴是底边上的中线;③等边三角形一边上 的高就是这边的垂直平分线;④一条线段可 以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对 称图形.正确的说法有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图,六边形ABCDEF 是轴对称图 形,CF 所在的直线是它的对称轴,若∠AFC +∠BCF=150°,则∠AFE+∠BCD 的大 小是 ( ) A.150° B.300° C.210° D.330° 51 第 一 部 分 夯 实 基 础 9.等边△ABC 中,点 P 在△ABC 内, 点Q 在△ABC 外,且∠ABP=∠ACQ,BP =CQ,问:△APQ 是什么形状的三角形? 试 说明你的结论. 1.等腰三角形顶角是x°,则一腰上的高 与底边的夹角等于 . 2.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的高,点E、F 是AD 的三等分点, 若△ABC 的面积为12cm2,则图中阴影部分 的面积是 cm2. 3.如图,B、D、F 在AN 上,C、E 在AM 上,且AB=BC=CD,EC=ED=EF,∠A =20°,则∠FEM 的度数是 . 4.如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能 将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须 保证∠1的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 5.若△ABC 的边长为a,b,c,且满足a2 +b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC 的形状是 ( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 6.有下列图形:①平行四边形;②有一 个角是30°的直角三角形;③长方形;④等腰 三角形.其中是轴对称图形的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图,已知∠AOP=∠BOP=15°, PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD 等于 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知:如图,△ABC 中,∠ABC=45°, CD⊥AB 于D,BE 平分∠ABC,且 BE⊥ AC 于E,与CD 相交于点F.H 是BC 边的 中点,连接DH 与BE 相交于点G. (1)求证:BF=AC; (2)求证:CE= 1 2BF ; 61 第 一 部 分 夯 实 基 础 (3)CE 与BG 的大小关系如何? 试证明 你的结论. 1.(永州中考题)永州市教育部门高度重 视校园安全教育,要求各级各类学校从认识安 全警告标志入手开展安全教育.下列安全图标 不是轴对称的是 ( ) A. 注意安全 B. 水深危险 C. 必须戴安全帽 D. 注意通风 2.(绵 阳 中 考 题)在螳螂的示意图中, AB∥DE,△ABC 是等腰三角形,∠ABC= 124°,∠CDE=72°,则∠ACD= ( ) A.16° B.28° C.44° D.45° 3.(无锡中考题)已知△ABC 的三条边 长分别为3,4,6,在△ABC 所在平面内画一 条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其 中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多 可画 ( ) A.6条 B.7条 C.8条 D.9条 4.(云 南 中 考 题)如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC 于点D, 则∠CBD= . 5.(天津中考题)如图,在Rt△ABC 中, D,E 为斜边AB 上的两个点,且BD=BC, AE=AC,则∠DCE 的大小为 度. 6.(重 庆 中 考 题)如 图,△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是 D,AE 平 分 ∠BAD,交 BC 于 点 E.在 △ABC 外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC. (1)求证:BE=CF; (2)在AB 上取一点M,使BM=2DE, 连接 MC,交AD 于点N,连接 ME.求证:① ME⊥BC;②DE=DN. 71 5.证明:如图,过点 D 分别作AB,BC 的垂线,垂足分别为 E,F.因为∠BMD+ ∠BND=180°,∠BMD+∠EMD=180°,所以∠EMD=∠BND.又DM=DN,∠DEM= ∠DFN=90°,所以△DEM≌△DFN,所以DE=DF,所以BD 平分∠ABC. 第2章 轴对称图形 【要点回顾】 1.某一条直线 完全重合 对称轴 轴对称图形 2.一个平面图形沿一条直线 3.(1)两 一 (2)两 一 4.经过线段的中点并且垂直于这条线段 5.(1)是全等形 (2)对称点连线 6.对称轴 7.(1)这条 线段所在的直线 这条线段的中垂线 (2)到这条线段两个端点的距离 (3)到线段两端点距离相等 8.(1)角的平分线所在 (2)角两边的 (3)这个角的角平分线 9.(1)轴对称 底边的高 (2)两个底角 等边对等角 (3)顶角平分线 底边上的高 底边上的中线 三线合一 10.(1)这两个角所对的边 等角 对等边 (2)斜边上的中线 11.(1)三边相等 (2)3 60° (3)三个角都相等 有两个角 等腰三角形 【基础过关】 1.它的垂直平分线和本身所在的直线 2.30°或75°或120° 3.69 4.5 5.B 6.A 7.A 8.B 9.提示:△APQ 为等边三角形,先证△ABP≌△ACQ 得AP=AQ,再证∠PAQ=60°即可. 【综合提升】 1. x° 2 2.6 3.100° 4.C 5.D 6.B 7.C 8.解:(1)证明:∵CD⊥AB,∠ABC=45°,∴△BCD 是等腰直角三角形.∴BD= CD.在Rt△DFB 和Rt△DAC中,∵∠DBF=90°-∠BFD,∠DCA=90°-∠EFC, 且∠BFD=∠EFC,∴∠DBF=∠DCA.又∵∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD, ∴Rt△DFB≌Rt△DAC.∴BF=AC. (2)证明:在Rt△BEA 和Rt△BEC中,∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°,∴Rt△BEA ≌Rt△BEC.∴CE=AE= 1 2AC ,又由(1),知BF=AC,∴CE= 1 2AC= 1 2BF. (3) CE<BG.证明:连接CG,∵△BCD 是等腰直角三角形,∴BD=CD.又 H 是BC 边的中点,∴DH 垂直平分 BC.∴BG=CG.在Rt△CEG 中,∵CG 是斜边,CE 是直角边,∴CE<CG,∴CE<BG. 【中考热身】 1.D 2.C 3.B 4.18° 5.45 6.证明:如图.(1)∵∠BAC=90°,AF⊥AE,∴∠1+∠EAC=90°,∠2+∠EAC=90°,∴∠1=∠2.又 ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵FC⊥BC,∴∠FCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°,∴∠B=∠FCA, ∴△ABE≌△ACF(ASA),∴BE=CF. (2)①过E 作EG⊥AB 于点G,∵∠B=45°,∴△GBE 是等腰直角 三角形,∴BG=EG,∠3=45°.∵AD⊥BC,AE 平分∠BAD,∴EG=ED,∴BG=ED.∵BM=2ED,∴BM= 2BG,即G 是BM 的中点,∴GE 是BM 的垂直平分线,∴EB=EM,∴∠4=∠3=45°,∴∠MEB=∠4+∠3 =45°+45°=90°,即 ME⊥BC. ②∵AD⊥BC,∴ME∥AD,∴∠5=∠6.∵∠1=∠5,∴∠1=∠6,∴AM= EM.∵MC=MC,∴Rt△AMC≌Rt△EMC(HL),∴∠7=∠8.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=45°, ∠BAD=∠CAD=45°,∴∠5=∠7=22.5°,AD=CD,∵∠ADE=∠CDN =90°,∴△ADE≌△CDN (ASA),∴DE=DN. ·3·