专题4 图形与实践-2025年四升五数学暑假专项提升（人教版）

专题4 图形与实践-2025年四升五数学暑假专项提升 【要点一】从不同位置观察物体 从哪一面观察物体，就从哪一面数出小正方形的数量，并确定摆出的图形。 【要点二】同一位置观察不同的物体 从同一位置观察几个用小正方体拼摆的物体，看到的图形可能 ，也可能不同 。 【要点三】轴对称 1.轴对称图形概念的几种表述： (1)把一个图形沿着某一条直线对折，如果直线两边的图形能完全重合，那么这个图形就叫 。这条直线叫 。 (2)一个图形可以用一条直线平分成两半，并且这两半完全相同，这个图形就是轴对称图形。 (3)对折后能完全重合的图形就是轴对称图形。 2.特征：对折后左右两边完全重合的图形是 。 注意：物体的对称性与轴对称图形这两个概念是不同的。“对称性”是某些物体的特征，“轴对称”是部分平面图形的特征。 【要点四】根据对称轴补全轴对称图形 一“找”,找出已知图形上每条线段的端点。 二“定”,根据对称轴确定每个端点的对称点。 三“连”,按已知图形的形状依次连接这些对称点，得到轴对称图形的另一半。 【要点五】平移 1.定义：在同一平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为 。 2.特点:平移不改变图形的 ，只改变图形的 。 【要点六】在方格纸上画出平移后的图形 1.选点，在原图形上选择几个能决定图形形状和大小的点。 2.移点，按要求把选择的点向规定的方向平移规定的格数。 3.连点成形。 【要点七】平均数的意义 平均数是描述一组数据集中趋势的统计量。注意：平均数并不是一组数据中某一个具体的数据，而是一个“虚拟”的数，是假设每份的数量都一样多。 【要点八】平均数的求法 方法一：移多补少法。从多的数量中拿出一部分给少的数量，使它们的数量相等。 方法二：公式法。平均数= 。 【要点九】复式条形统计图的特点 1.在同一个条形统计图中，用两种(或两种以上)不同的直条描述两组(或多组)数据，这样的统计图叫作 。 2.复式条形统计图不仅能看出各数量的多少，而且便于对比两组或多组数据，发现更多信息。注意：横向复式条形统计图与纵向复式条形统计图只是形式上的不同，本质是相同的。 【易错点一】对观察物体的认识不准确 1.误认为从同一位置观察形状不同的物体，看到的图形一定不同。实际上可能是相同的。 2.误认为从不同位置观察同一个物体，看到的图形一定不同，实际上可能是相同的。 【易错点二】对平均数的认识不清楚 1.误认为平均数是一个具体的数。实际上平均数只是个“虚拟”的数。这组的所有数都大。 2.混淆了一组数的平均数与最大数，误认为一个数比这组数的平均数大，这个数就比这组的所有数都大。举个典型的例子：期中考试四(8)班的数学成绩平均分是89分，小明的数学成绩是90分。小明不一定比四(8)班的同学考的都好。 【易错点三】复式条形统计图绘制不规范 1.没有标明图例。 2.没有区分不同的直条。复式条形统计图中，要用样式不同的直条分别表示每组数据，可以用不同的颜色区分，也可以用不同的底纹区分。 拓展：4类实际问题 类型一：辨认物体从某一位置看到的图形 辨认时，要想象自己正视物体的某一面，数出从这一位置能看到的小正方形的数量，并确定小正方形的相对位置。方便的情况下，可以借助学具摆一摆、看一看。 类型二：数出一个几何体中小正方体的数量 数小正方体的数量时，可以把几何体拆分，一层一层地数，或一排一排地数，尤其要注意几何体中被挡住的部分，想象出几何体的实际构造，避免重复或遗漏。 类型三:利用图形的平移求不规则图形的面积 在计算一些不规则图形的面积时，可以根据图形的基本关系，运用分割、平移等方法，把不规则图形转化成规则图形，再计算面积，如下图： 注意：转化前后图形的大小不能发生变化。 类型四：解决有关平均数的问题 1.当几组数据的个数不同时，通常比较平均数更公平。 2.求一组数据的平均数：平均数=总数量+总份数。的总数，再减去已知的数量。 例如，已知70,90和另一个数的平均数是85,求另一个数。另一个数=85×3-70-90=95。 类型五：根据数据绘制复式条形统计图，并解决问题 1.数据来源通常是复式统计表或几个单式的统计表、统计图。 2.确定横轴和纵轴。 3.在统计图右上方标明图例。 4.根据数据和处理画出对应的纸直条。 5.写上总标题、名称、数量单位等 一、填空题 1．如图中的三个物体。从 面、 面看到的图形完全相同，从 面看到的图形不同。 2．一个立体图形，从正面看是，从左面看是，搭成这个立体图形至少要用( )个小正方体，最多用( )个小正方体。 3．下面图形中，( )有一条对称轴，( )有两条对称轴，( )有三条对称轴，( )有四条对称轴，( )有无数条对称轴。 4．图①中的涂色部分占整个图形的；图②中涂色部分的面积是（    ）平方厘米。 5．四个数的平均数是45，去掉一个数，剩下的三个数的平均数43，去掉这个数是( )。 6．上学期期末，小阳语文和数学两科的平均成绩是90分，英语考了96分，他这三科的平均成绩是( )分。 7．在数学某一单元测试中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均分是90分。甲同学发现自己的分数少了8分。加回8分后，现在甲、乙、丙、丁四位同学的平均分是( )分。 8．五一期间，某旅行团有39人去园博苑游玩。他们租了观光双人自行车和三人自行车共15辆，正好坐满。双人自行车租了( )辆，三人自行车租了( )辆。 二、判断题 9．观察一个物体，同时看到的最多三面。( ) 10．沿着平行四边形的任何一条对角线剪开，可以得到两个完全相同的三角形，所以平行四边形对角线所在的直线是它的对称轴。( ) 11．周一早上学校升国旗时国旗的运动是平移现象。( ) 12．李强所在的篮球队，队员的平均身高是160厘米，所以李强的身高一定是160厘米。( ) 13．清河平均水深1.1米，严禁下河游泳。小亮身高1.5米，他下河游泳没有危险。( ) 三、选择题 14．观察下面四个物体，从左面看到的图形与其他三个不同的是（    ）。 A． B． C． D． 15．如下图所示，通过移动□的位置，变化如下： 问：变化前后的图形的面积（      ），周长（    ）。 A．变大；变小 B．变小；不变 C．不变；变小 16．下面图形的涂色部分用分数表示是（    ）。 A． B． C． 17．为了统计五年级各班男、女生的人数情况，选择（    ）统计图能够帮助我们更好地分析和判断。 A．条形 B．折线   C．复式条形    D．复式折线 18．把一张正方形纸对折两次，并在中心点打一个圆孔，如下图所示。再把它展开，展开后的图形是（    ）。 A． B． C． D． 四、作图题 19．小芳用5个小立方块搭出了立体图形。请分别画出从上面、正面和左面看到的形状。 20．想一想，画一画。 （1）根据对称轴，画出上面轴对称图形的另一半。 （2）画出这个轴对称图形向左平移6格后的图形。 （3）画出三角形的一条边上的高。 21．根据统计表完成下面的统计图。 新星小学中高年级学生参加兴趣小组情况如下表。 五、解答题 22．如果把下图继续补搭成一个大正方体，那么至少要添上多少个同样的小正方体？ 23．松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。那么这几天中雨天有几天？ 24． 随州市某小学举行奥运知识竞赛，共30道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的。每答对一题得4分，答错或者不答每题扣2分。张丽同学最后得分是84分，她答对了多少道题？ 25．如图，这是从边长为50厘米的正方形材料中裁下来的一部分。已知BC，CD为正方形的边，FG＝8厘米。求从正方形材料中裁下来的这部分的周长。 26．甲、乙、丙三个数，甲与乙的平均数是84，乙与丙的平均数是92，乙数是85。求甲、乙、丙三个数的平均数。 27．四年级共有52位同学参加植树，男生每人种3棵，女生每人种2棵，已知男生比女生多种36棵，求：有多少名男生？ 参考答案 【要点梳理】 【要点一】3 3 3 【要点二】相同 相同 【要点三】轴对称图形 对称轴 轴对称图形 【要点五】平移 形状、大小 位置 【要点八】总数量÷总份数 【要点九】复式条形统计图 【温故知新】 1． 前 左或右 上 【分析】观察这3个几何体可知，这3个几何体从前面看到的都是，从左面或右面看到的都是；这3个几何体从上面看到的形状不同，第一几何体从上面看到的是，第2个几何体从上面看到的是，第3个几何体从上面看到的是。 【详解】根据分析可知， 如图中的三个物体。从前面、左（或右）面看到的图形完全相同，从上面看到的图形不同。 【点睛】本题主要考查学生对立体图形的观察能力。 2． 4 6 【分析】从正面看，这个立体图形有3个小正方体，要形成左面看到的图形，这个立体图形在三个立方体的后面还要至少摆一个，所以至少需要4个小正方体，最多摆3个，所以最多有6个小正方体，据此解答即可。 【详解】 一个立体图形，从正面看是，从左面看是，搭成这个立体图形至少要用4个小正方体，最多用6个小正方体。 3． C I BF/FB A D 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；判断一个图形是否是轴对称图形，关键是找它的对称轴，要想象沿着这条线翻折能不能重叠，据此分别找一找各图形的对称轴条数。 【详解】下面图形中，C有一条对称轴，I有两条对称轴，BF有三条对称轴，A有四条对称轴，D有无数条对称轴。 【点睛】本题考查轴对称图形的意义及其对称轴条数的确定方法。 4．；15 【详解】考查分数的意义和应用，以及考查学生的看图解决问题的能力。 （1）通过观察图形可知，下一行中间正方形中阴影的面积向上平移一个，再向左平移一格，正好和左上角正方形中的阴影部分组成一个正方形，根据分数的意义，把大长方形平均分成6份，阴影部分的面积占1份，用分数表示是。 （2）通过观察图形可知，把阴影部分分成两个部分，从下往上数第一行和第二行的阴影部分为其中的一部分，把这部分阴影向上平移3格，与上边的阴影部分正好组成一个长方形。已知小正方形的边长是1厘米，根据正方形的面积计算公式：正方形的面积＝边长×边长，先求出小正方形的面积，再数出阴影部分长方形一共由15个小正方形组成，用乘法计算，即可求出这个阴影图形的面积。 【解答】根据上面的分析可知： （1）通过平移，阴影部分正好占整个图形①的6份中的1份，根据分数的意义，图①中的涂色部分占整个图形的； （2）图②中图形通过割补平移，正好是一个长方形方形，求得这个图形的面积是： 1×1×15 ＝1×15 ＝15（平方厘米） 图②中涂色部分的面积是15平方厘米。 5．51 【分析】先根据“平均数×数的个数＝总数”分别求出四个数的总数和三个数的总数，进而根据“四个数的总数－三个数的总数＝去掉的数”解答即可。 【详解】45×4－43×3 ＝180－129 ＝51 所以，去掉的数是51。 【点睛】解答此题应明确：四个数的总数－三个数的总数＝去掉的数。 6．92 【分析】根据求平均数的方法，先求出语文、数学、英语的总成绩，已知语文和数学两科的平均成绩是90分，用就是语文和数学的总成绩，再加上英语的成绩，就是三科的总成绩，最后用总成绩除以3即可得到三科的平均成绩，据此解答。 【详解】 （分） 上学期期末，小阳语文和数学两科的平均成绩是90分，英语考了96分，他这三科的平均成绩是（92）分。 【点睛】此题考查的目的是理解平均数的意义，掌握求平均数的方法及应用。 7．92 【分析】根据题意，原四位同学的总分为：平均分×人数＝90×4＝360（分）。甲加回8分后，新总分为360＋8＝368（分）。新的平均分为：总分÷人数＝368÷4＝92（分）；也可以先计算8分平均分给4人，每人多8÷4＝2（分），新平均分＝90＋2＝92（分）。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 方法一： （90×4＋8）÷4 ＝（360＋8）÷4 ＝368÷4 ＝92（分） 方法二： 8÷4＋90 ＝2＋90 ＝92（分） 所以在数学某一单元测试中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均分是90分。甲同学发现自己的分数少了8分。加回8分后，现在甲、乙、丙、丁四位同学的平均分是92分。 8． 6 9 【分析】先假设全是双人自行车，1辆双人自行车可以坐2人，那么15辆能坐的总人数是15与2的积是30人，再用39减30即可知道少算了9人，因为把三人自行车当双人自行车来计算，所以少算了9人，1辆三人自行车比1辆双人自行车多坐1人，9除以1即可求出三人自行车的数量，再用15减三人自行车的数量即可求出双人自行车的数量。 【详解】假设全部都是双人自行车 39－15×2 ＝39－30 ＝9（人） 9÷（3－2） ＝9÷1 ＝9（辆） 15－9＝6（辆） 双人自行车租了6辆，三人自行车租了9辆。 【点睛】此题可以用假设法来解答，可以假设全是三人自行车，也可以假设全是双人自行车。 9．√ 【分析】在观察物体时，由于视线会受到物体的遮挡，从一个地方看过去，并不能完全看到这个物体的各个面。观察一个长方体时，当眼睛在长方体的一个顶点时，能看到的面最多，最多只有3个面，所以我们观察物体时，要从多个角度去观察。据此解答。 【详解】 如上图所示，观察一个物体，同时看到的最多三面，题目说法是正确的。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查对物体的观察，属于基础知识，要熟练掌握。 10．× 【分析】判断一个图形是否是轴对称图形，需要严格依据定义，必须是沿着某一直线对折，直线两边的部分完全重合。完全重合的两部分必然完全相同，但反之不一定成立。平行四边形沿着对角线折叠之后，两边不能重合，故不是轴对称图形。 【详解】平行四边形沿着对角线折叠之后，两边不能重合，故不是轴对称图形。 原题说法不正确。 故答案为：× 【点睛】本题的关键掌握轴对称图形的判定方法。 11．√ 【分析】平移是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，据此解答。 【详解】分析可知，升国旗时国旗沿着旗杆上下平行移动，所以学校升国旗时国旗的运动是平移现象。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查平移的认识，掌握平移图形的特征是解答题目的关键。 12．× 【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它介于一组数据的最大值和最小值之间；篮球队员平均身高160厘米，队员的身高可能大于160厘米，也可能等于160厘米，还可能小于160厘米，据此即可解答。 【详解】由分析可知，李强所在的篮球队，队员的平均身高是160厘米，队员的身高可能大于160厘米，也可能等于160厘米，还可能小于160厘米，所以李强的身高一定是160厘米；说法是错误的。 故答案为：× 13．× 【分析】平均数是表示一组数据的平均值，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；其特点是比最大数小，比最小数大；依此判断。 【详解】清河平均水深1.1米，严禁下河游泳。小亮身高1.5米，他下河游泳可能会有危险。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握平均数的意义，是解答此题的关键。 14．B 【分析】把这几个物体从左边看到的视图画出来，再找出与其他三个不同的选项即可。 【详解】A．从左边可以看到2层，上层有1个正方形，靠左，下层有2个正方形，看到的是： B．从左边看到的是2层，上层有1个正方形，靠右，下层有2个正方形，看到的是： C．从左边看到的是2层，上层有1个正方形，靠左，下层有2个正方形，看到的是： D．从左边看到的是2层，上层有1个正方形，靠左，下层有2个正方形，看到的是： 从左面看到的图形与其他三个不同的是 故答案为：B 【点睛】本题主要考查从不同方向观察物体以及将立体图形转化为二维图形的能力，可以用小方块摆一摆、看一看，加深对立体图形的认识。 15．C 【分析】假设图中的每个小正方形的边长是1厘米，那么每个小正方形的面积为1平方厘米。可以分别求出变化前后的图形的周长和面积，然后直接对比即可。 【详解】平移前的图形最外围一共有14个小正方形的边长，周长是14厘米。它是由6个小正方形组成，面积是6平方厘米。 平移后的图形最外围一共有10个小正方形的边长，周长10厘米。它还是由6个小正方形组成，面积是6平方厘米。 故变化前后的图形的面积不变，周长变小。 故答案为：C 16．A 【分析】把一个图形、一个整体、一些物体等平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示平均分的份数，分子表示其中的几份。将最右边的黑色三角形平移，可以得到，把这个图形平均分成2份，涂色部分是其中的1份。 【详解】图形的涂色部分用分数表示是。 故答案为：A 17．C 【分析】首先要清楚每一种统计图的特点：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；据此判断即可。 【详解】为了统计五年级各班男、女生的人数情况，选择复式条形统计图能够帮助我们更好地分析和判断。 故答案为：C 【点睛】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。 18．D 【分析】将一张正方形纸对折再对折，就是将这张正方形纸平均分成4份，如图：。再在中心点打一个圆孔，如图：，观察对折后的纸，圆在对折后的正方形纸的中间，那么展开后的图形应该是轴对称图形，有4个圆，且圆在正方形平均分成4份的每一份的中间。 【详解】 A．是轴对称图形，圆在正方形的对角线上。 B．是轴对称图形，圆在折痕上。 C．，是轴对称图形，圆在同一条直线上。   D．是轴对称图形，圆位于正方形平均分成4份的每一份的中间。 把一张正方形纸对折两次，并在中心点打一个圆孔，如下图所示。再把它展开，展开后的图形是。 故答案为：D 【点睛】此题考查了轴对称图形的意义及在实际中的应用，具体操作一下会更简捷。 19．见详解 【分析】观察图形可知，从正面看到的是两层：下层2个正方形，上层1个正方形，左齐； 从上面看到的是三行：后面一行2个正方形，中间一行1个，前面一行1个，左齐； 从左面看到的是两层：下层3个正方形，上层1个正方形，左齐；据此即可画图。 【详解】 【点睛】此题考查了从不同方向观察物体和几何体，以及画简单图形的三视图的方法。 20．（1）、（2）、（3）均见详解 【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴（虚线）的下边画出上半图的关键对称点，依次连接即可。 （2）找出构成图形的关键点，确定平移方向（向左）和平移距离（6格） ，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，依次连接各对应点。 （3）把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符合即可。 【详解】（1）、（2）、（3）画图如下： 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握补全轴对称图形的方法，作平移后的图形的方法，以及三角形的高的画法。 21．见详解 【分析】在竖轴上预留出的位置，根据数据画出长短不同的直条，并注明数量即可 【详解】 【点睛】条形统计图用直条的长短表示数量的多少，从图中直观地看出数量的多少，便于比较。复式条形统计图可以表示多种量的多少。 22．34个 【分析】解决本题之前，先想一想题图搭成一个大正方体至少需要多少个同样的小正方体，题图有4层，最底层有16个小正方体且该层数量最多，所以每层至少有16个小正方体，那么一共需要16×4＝64（个）同样的小正方体。从上往下数，第一层有1个小正方体，第二层有4个小正方体，第三层有9个小正方体，第四层有16个小正方体，那么要添加的小正方体的个数为16×4－16－9－4－1＝34（个）。 【详解】16×4－16－9－4－1 ＝64－30 ＝34（个） 答：至少要添上34个同样的小正方体。 【点睛】本题主要考查学生的空间想象力和综合分析能力。 23．6天 【分析】因松鼠妈妈共采松果112个，平均每天采14个，所以实际用了112÷14＝8 （天）。假设这8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果20×8＝ 160 （个） ，比实际采的多了160－112＝48 （个），因雨天比晴天少采20－ 12＝8 （个），所以共有雨天48÷8＝6（天），据此解决。 【详解】根据题意可得，它一共采的天数是（天） 根据鸡兔同笼问题中的公式可知 雨天的天数： （天） 答：这几天当中有6天有雨。 【点睛】此题关键是根据已知条件计算一共采了多少天，再根据“鸡兔同笼”问题的解法计算。 24．24道 【分析】假设张丽全部答对，总得分30×4＝120（分），比实际得分多了120－84＝36（分），答对一道题得4分，答错或者不答每题扣2分，所以答对一道题和答错或不答题相差4＋2＝6（分），答错或不答的题目道数等于36÷6＝6（道），题目总数量减去答错或不答的题目数量即可得到答对了多少道题。 【详解】假设张丽全部答对，答错或不答的题目： （30×4－84）÷（4＋2） ＝（120－84）÷（4＋2） ＝36÷6 ＝6（道） 答对题目：30－6＝24（道） 答：她答对了24道题。 【暑期培优】 1．216厘米 【分析】这个图形为不规则图形，需要通过平移的方式将小段的线段组合成已知的线段。然后再利用周长的定义求解。 【详解】如图，这个图形竖着的小段线段有AB、GH和EF，将它们移动到右边，可组成一条和线段CD一样长的线段，也就是50厘米长。 同理，这个图形横着的小段线段有AH、ED和FG，如果直接平移会比线段BC长。所以在线段上取点I，使得EI＝FG。将小段线段AH、ID平移，可组成一条和线段BC一样长的线段，也就是50厘米长。同时，还剩下线段EI和线段FG，它们都是8厘米长。 故通过平移，可将不规则图形的周长转化为4条长为50厘米的线段和2条长为8厘米的线段。 50×4＝200（厘米） 8×2＝16（厘米） 200＋16＝216（厘米） 答：这部分的周长是216厘米。 【点睛】通过平移将未知的小段线段转化为已知的线段是解决本题的关键。 2．89 【分析】首先根据题意，用甲与乙的平均数乘2，求出甲与乙的和是多少；再用乙与丙的平均数乘2，求出乙与丙的和是多少；然后把甲与乙的和、乙与丙的和相加，再减去乙数，求出甲、乙、丙三个数的和是多少；最后根据平均数的求法，用甲、乙、丙三个数的和除以3即可。 【详解】（84×2＋92×2－85）÷3 ＝267÷3 ＝89； 答：甲、乙、丙三个数的平均数是89。 【点睛】此题主要考查了平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出甲、乙、丙三个数的和是多少。 3．28名 【分析】假设有一半是男生，那么男女生各有（52÷2＝26）人，26×3－26×2＝78－52＝26（棵）又：26＜36，说明男生的人数要比女生多，每增加1个男生，男生种的树多3棵，这时减少了一名女生，女生种的树反而少了2棵，所以男生人数每多1人，就多种（3＋2＝5）棵树，（36－26）÷5＝10÷5＝2（人），男生人数：26＋2＝28（人）。 【详解】假设有一半是男生，那么男女生各有52÷2＝26人， [36－（26×3－26×2）]÷（3＋2） ＝[36－（78－52）]÷5 ＝[36－26]÷5 ＝10÷5 ＝2（人） 则男生人数：26＋2＝28（人） 答：有28名男生。 【点睛】此题主要考查了鸡兔同笼问题的应用，可以列方程解答，设有x名男生，则女生有（52－x）人，依据男生人数×男生每人种的棵数－女生人数×女生每人种的棵数＝男生比女生多种的棵数，据此列方程解答。 6 学科网（北京）股份有限公司 $$