专题3 三角形-2025年四升五数学暑假专项提升（人教版）

专题3 三角形-2025年四升五数学暑假专项提升 【要点一】三角形的特征 (1)三角形是由3条线段围成的图形(每相邻两条线段的端顶点点相连）。 (2)三角形有 条边， 个角， 个顶点。 【要点二】三角形的底和高 (1)从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的 ，这条对边叫作三角形的底。 (2)三角形有 条高，底和高是一一对应的。 (3)锐角三角形3条高都在三角形内部；直角三角形斜边上的高在三角形内部，两条直角边分别是两条高；钝角三角形最长边上的高在三角形内部，另外两条高在三角形外部。如下图所示： 【要点三】三角形的特性 (1)三角形县有 ，与之对应的是四边形的易变性(不稳定性)。 (2)三角形的稳定性应用非常广泛，如自行车的三角车架、电线杆上的三角支架..... 【要点四】两点间的距离 两点间所有连线中 最短，这条线段的长度叫作两点间的距离。 【要点五】三角形的三边关系 三角形的任意 。三角形任意两边之差小于第三边。 【要点六】三角形的分类 (1)按角分： (3个角都是锐角)、 (有1个角是直角)、 (有1个角是钝角)。 (2) 按边分： (3条边都不相等)、 (有2条边相等),其中3条边都相等的三角形叫作 ，也叫正三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 【要点七】特殊的三角形 (1)等腰三角形的两条 相等，两个 相等。 (2)等边三角形的三条边都相等，三个角都是60° 【要点八】三角形的内角和 三角形的内角和是 。 【易错点一】对三角形高的认识错误 (1)误认为直角三角形和钝角三角形只有一条高。实际上所有的三角形都有三条高，直角三角形的两条直角边是它的两条高，钝角三角形有两条高在三角形的外部。 (2)底和高是一一对应的，某条边上的高一定与这条边垂直。 【易错点二】对三角形的三边关系的应用错误 能够围成三角形的三条线段一定满足任意两边之和大于第三边。不能只根据两条线段的长度和与第三条线段的关系来判断三条线段能否围成三角形。例如，5cm、10cm、5cm三条线段，不能仅凭5十10>5就认为这三条线段能围成三角形。实际上5十5=10,这三条线段无法围成三角形。 【易错点三】对三角形内角和理解不正确 (1)误认为三角形可以有两个直角。如果三角形有两个直角，则三个内角的和就会大于180°,显然是错误的。 (2)误认为把一个三角形分成两个三角形后，每个三角形的内角和就变小了。实际上三角形的内角和与三角形的大小无关，任何三角形的内角和都是180°。 拓展：5类实际问题 第一类：判断三条线段能否围成三角形 判断时，通常将较短的两条线段求和，再与第三条线段比较。如果大于第三条线段，则能够围成三角形：反之，则不能围成三角形。 第二类：已知三角形的两条边，求第三条边的取值范围(取整数) 两条边的差<第三条边<两条边的和 第三类：已知三角形的两个角，求第三个角 (1)根据三角形的内角和是180°,可知第三个角等于180°减另外两个角的度数和。 (2)如果三角形是等腰三角形，已知其中一个角的度数即可求出另外两个角的度数。有两种情况： ①已知角是顶角，底角=(180°一顶角)÷2。 ②已知角是底角，顶角=180°一底角×2。 第四类：已知等腰三角形的周长和其中一条边，求另外两条边 有两种情况： ①已知边是腰，则底边=周长一腰长×2。 ②已知边是底，则腰长=(周长一底边)+2。 注意：求出另外两条边后，要根据三角形的三边关系判断能否围成三角形，不能围成三角形的情况要舍去。 第五类：求多边形的内角和 (1) 把多边形分成若干个三角形，然后求内角和。 (2)四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,六边形的内角和是720°.....，多边形的内角和=180°×(边数一2)。 一、填空题 1．如下图，一张三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角是( )°，原来这张纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 2．一个等腰三角形的一个底角是36°，顶角的度数是( )；一个等腰三角形的顶角是36°。一个底角的度数是( )。 3．一个等腰三角形两条边的长度分别是3、7，这个三角形的周长是( )。 4．一个多边形的内角和是360°，这个图形是( )边形；五边形的内角和是( )。 5．芳芳想用三根长度都是整厘米数的小棒围三角形，其中两根小棒的长度分别是和，第三根小棒最长是( )，最短是( )。 6．丽丽从家去超市走( )号路最近。①号与②号比较时，依据是两点间所有连线中( )最短；②号与③号比较时，依据是三角形任意两边的和( )第三边。 二、判断题 7．等边三角形一定是锐角三角形。( ) 8．有两个角是锐角的三角形一定是锐角三角形。( ) 9．一个三角形中最小的角是46度，它一定是一个锐角三角形。( ) 10．三角形的内角和与三角形的大小无关。( ) 三、选择题 11．在三角形ABC中，，那么这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 12．如图，将两个三角形各截去∠1，剩下甲、乙两部分，下面选项正确的是（    ）。 A．甲图形的内角和＜乙图形的内角和 B．甲图形的内角和＝乙图形的内角和 C．甲图形的内角和＞乙图形的内角和 13．一个三角形的三个内角中，最小的一个角是50°，这个三角形是（　　）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上三种都有可能 14．下面各图表示的关系正确的是（    ）。 A．B． C． 15．下面三角形的高，画法正确的是（    ）。 A． B． C． 16．下面每组数是三根小棒的长度，用它们不能首尾相接拼成一个三角形的是（    ）。 A．6、6、l B．5、7、2 C．5、6、9 D．5、6、5 17．把一根长20厘米的铁丝剪成3段后围成一个三角形，第一剪的位置距离铁丝的一端不能是（    ）厘米。 A．2 B．6 C．10 D．16 四、计算题 18．求下面各未知角的度数。 五、解答题 19．一块等腰三角形的菜地，它的周长是240米，底边长50米，一条腰长多少米？ 20．李爷爷有一块三角形蔬菜地，蔬菜地的最大角是，是最小角的4倍，这块三角形蔬菜地其他两个角各是多少度？按边分，这是一块什么三角形蔬菜地？ 21．画一画，填一填。 （1）先将下表中的多边形分成三角形，再填一填。 图形 边数 3 （    ） （    ） （    ） 内角和 （    ） （    ） （    ） 我发现：多边形（边数）的内角和＝_____________。 （2）一个多边形的内角和是，它是一个（    ）边形。 22．仔细观察下图，说一说图中一共有几个三角形？ （ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 参考答案 【要点梳理】 【要点一】3 3 3 【要点二】高 3 【要点三】稳定性 【要点四】线段 【要点五】两边之和大于第三边 【要点六】锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 【要点七】腰 底角 【要点八】180° 【温故知新】 1． 67 锐角 等腰 【分析】三角形的内角和是180°，因此用180°减另外两个角的度数之和即可求出撕去的这个角是多少；然后根据三角形分类的标准填空，两腰相等，两个底角相等的三角形是等腰三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【详解】（1） 所以撕去的这个角是67°； （2）三角形三个角都小于90°，所以原来这张纸片的形状是锐角三角形； （3），所以原来这张纸片的形状也是等腰三角形。 2． 108°/108度 72°/72度 【分析】等腰三角形的两个底角相等；则用三角形的内角和连续减去两个底角的度数，即可求出顶角的度数；用三角形的内角和减去顶角的度数，再除以2，即可求出一个底角的度数；据此代入数据，计算出结果即可解答。 【详解】180°－36°－36° ＝144°－36° ＝108° （180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° 即一个等腰三角形的一个底角是36°，顶角的度数是108°；一个等腰三角形的顶角是36°。一个底角的度数是72°。 3．17 【分析】3＋3＝6＜7，根据三角形的三边关系可知3cm是等腰三角形的底，等腰三角形的周长＝腰×2＋底，据此计算即可。 【详解】7×2＋3＝14＋3＝17（cm） 所以这个三角形的周长是17cm。 4． 四 540° 【分析】从同一顶点出发画出多边形这个顶点上所有对角线，将多边形分成若干个三角形，结合三角形内角和是180°，计算多边形的内角和即可。 四边形：同一顶点可画一条对角线，四边形被分为2个三角形，所以其内角和是2×180°＝360°。 五边形：同一顶点可画两条对角线，五边形被分为3个三角形，所以其内角和是3×180°＝540°。 多边形通过该方式分出三角形的个数等于多边形，边的条数减2，假设多边形的边数是n，则多边形的内角和是（n－2）×180°；据此已知多边形内角和，多边形的边数＝内角和÷180°＋2。 【详解】360°÷180°＋2＝2＋2＝4，所以内角和是360°，这个图形是四边形。 （5－2）×180°＝3×180°＝540°，所以五边形的内角和是540°。 5． 19 5 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此即可解答。 【详解】12＋8＝20（cm） 12－8＝4（cm） 20cm＞第三根小棒＞4cm，又由于小棒长度是整厘米数，所以第三根小棒最长是19cm，最短是5cm。 【点睛】本题主要考查学生对三角形三边关系的掌握和灵活运用。 6． ② 线段 大于 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短，据此判断①号与②号哪条路更短；根据三角形三边关系，两边之和大于第三边据此判断②号与③号哪条路更短，据此填空即可。 【详解】丽丽从家去超市走②号路最近。①号与②号比较时，依据是两点间所有连线中线段最短；②号与③号比较时，依据是三角形任意两边的和大于第三边。 7．√ 【分析】根据三角形的内角和是180度，等边三角形三个角相等，180÷3＝60（度），大于0度小于90度的角，叫做锐角。锐角三角形的三个角都是锐角，而等边三角行的三个角是60度，都小于90度，所以是锐角三角形。 【详解】等边三角形的三个角都是60度，都小于90度都是锐角，所以等边三角形一定是锐角三角形，这句话是对的。 故答案为：√ 8．× 【分析】根据三角形的内角和为180°可知，锐角三角形中三个角都是锐角；直角三角形中，一个角是直角，其余两个角的度数和为90°，即这两个角均为锐角。钝角三角形中，一个角是钝角，其余两个角的度数和小于90°，即这两个角均为锐角。则一个三角形中至少有两个锐角。据此判断即可。 【详解】一个三角形中至少有两个锐角，则有两个角是锐角的三角形不一定是锐角三角形，还有可能是直角三角形或者钝角三角形。 故答案为：×。 【点睛】本题考查三角形的内角和以及三角形的分类。三角形中，至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角。 9．√ 【分析】根据三角形的内角和为180°可知，最小的角是46°，其余两个角的度数和是180°－46°＝134°。其中一个角应大于46°，最小是47°。则另一个角最大是134°－47°＝87°。这三个角都是锐角，这个三角形是一个锐角三角形。 【详解】180°－46°＝134° 134°－（46°＋1°） ＝134°－47° ＝87° 则最小的角是46度，其余两个角最小是47度，最大是87°。三个角都是锐角，三角形是锐角三角形。 故答案为：√。 【点睛】本题考查三角形的内角和与三角形的分类，根据三角形的内角和判断其余两个角的度数取值范围，再进行判断。 10．√ 【详解】三角形内角和是180°，是不变的，故三角形的内角和与三角形的大小无关，所以判断正确。 11．B 【分析】根据三角形内角和是180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，再和题中的已知条件∠A－∠C＝∠B结合，可求出∠A的度数，进而确定这个三角形的类型。 【详解】由分析可知，∠A＋∠B＋∠C＝180°，把∠B＝∠A－∠C代入∠A＋∠B＋∠C＝180°中可得： ∠A＋（∠A－∠C）＋∠C＝180° ∠A＋∠A－∠C＋∠C＝180° 2∠A＝180° ∠A＝180°÷2 ∠A＝90° 即三角形ABC的三个角中，有一个是直角，所以三角形ABC是一个直角三角形。 故答案为：B 【点睛】通过题中的已知条件，确定出∠A的度数是解答此题的关键。 12．B 【分析】三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，观察上图可知，甲、乙两个图形都是四边形，它们的内角和都等于360°，所以甲、乙两个图形的内角和相等，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，甲、乙两个图形都是四边形，它们的内角和都等于360°。 故答案为：B 13．A 【分析】因为在一个三角形中，至少有2个锐角，再据“一个三角形中最小的一个内角是50°”可知，另一个锐角的度数一定大于50°，则这两个锐角的和一定大于90°，又因三角形的内角和是180°，从而可以得出第三个内角必定小于90°，于是就可以判定这个三角形的类别。 【详解】根据分析可知，这个三角形中，一个内角是50°另一个内角是锐角，且大于50°，第三个内角小于90°，则三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 故答案为：A。 14．A 【分析】根据三角形、等腰三角形和等边三角形的含义可知：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形是特殊的三角形；由此解答即可。 【详解】 A．三角形按边可以分为：不等边的三角形和等腰三角形，而等边三角形是特殊的等腰三角形，即等腰三角形包含了等边三角形，故包含关系正确； B．等边三角形是三条边相等的三角形，等腰三角形是两条腰相等的三角形，所以等腰三角形的范围大于等边三角形的范围，等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形是特殊的三角形，故包含关系错误； C．等腰三角形和等边三角形都属于三角形，但两者不是独立的，等边三角形是特殊的等腰三角形，故包含关系错误。 故答案为：A 【点睛】本题考查了三角形的分类，找清楚分类的标准，以及弄清楚它们之间的包含关系是解决本题的关键。 15．B 【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线。据此判断即可。 【详解】A．虚线不是从边的对角顶点画的，不正确； B．符合三角形高的意义； C．所画的虚线与底不垂直，不正确。 故答案为：B 16．B 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行分析即可。 【详解】A．因为6＋1＞6，所以能围成一个三角形； B．因为5＋2＝7，所以不能围成一个三角形； C．因为6＋5＞9，所以能围成一个三角形； D．因为5＋5＞6，所以能围成一个三角形； 故答案为：B 【点睛】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。 17．C 【分析】根据三角形三边的关系可知，三角形任意两边之和大于第三条边，所以第一剪的位置距离铁丝的一端小于铁丝长度的一半。据此解答。 【详解】20÷2＝10（厘米） 10＝10 则三条线段不能围成三角形。 第一剪的位置距离铁丝的一端不能是10厘米。 故答案为：C 18．；；； 【分析】（1）三角形的内角和是，已知三角形其中两个角的度数，求的度数，用减去已知的两个角的度数即可。 （2）从题图中可知，与构成了一个平角，所以。而可根据三角形内角和是求出。 （3）本题根据四边形的内角和是和平角是进行求解。 【详解】（1） （2） （3）     19．95米 【分析】在等腰三角形中，两腰相等，它的周长等于两腰之和再加上底边长。所以一条腰的长度＝（周长－底边长）÷2。 【详解】（240－50）÷2 ＝190÷2 ＝95（米） 答：一条腰长95米。 20．其他两个角都是；等腰三角形 【分析】最大角度数除以4等于最小角度数，再用180°减去最大角和最小角度数，就可求出第三个角的度数，再根据三角形的分类知识可知这块菜地是个什么三角形。 【详解】120°÷4＝30° 180°－120°－30° ＝60°－30° ＝30° 由于三角形有两个角都是30°，所以这个菜地是个等腰三角形。 答：这块三角形蔬菜地其他两个角都是30度，是一个等腰三角形蔬菜地。 【点睛】本题主要考查学生对三角形内角和、三角形分类知识的掌握和灵活运用。 21．（1）填表见详解；（边数－2）；（2）七 【分析】（1）根据“把多边形的一个顶点分别和与它不相邻的顶点连接起来，这时多边形分成了几个三角形，它的内角和就是乘几”可知，多边形（边数）的内角和＝（边数－2）。 （2）根据“多边形的内角和＝（边数－2）”可知，当一个多边形的内角和是时，它可以分成 （个）三角形，它的边数就是，所以它是一个七边形。 【详解】（1） 图形 边数 3 4 5 6 内角和 我发现：多边形（边数）的内角和＝（边数－2） （2） （个） （条） 则一个多边形的内角和是，它是一个七边形。 【点睛】本题考查的是多边形的内角和。三角形的内角和是180°，多边形可以分成了几个三角形，它的内角和就是乘几。 【暑期培优】 1．15个 20 19 20 【分析】（1）一个三角形地数有5个，两个三角形组成一个三角形有4个，三个三角形组成一个三角形有3个，四个三角形组成一个三角形有2个，五个三角形组成一个三角形有1个。 （2）我们可以先去掉中间的线段，数出较大三角形有（4＋3＋2＋1）个，再添上这条线，新增的三角形都与这条线有关，如下图： 新增较小的三角形也是（4＋3＋2＋1）个，再加上原有三角形即可；据此解答。 （3）如图所示，将整个图形分成三个区域。 按照顺序先数单独的小三角形，再数由两个小三角形组成的三角形，再数由三个小三角形组成的三角形，再数由四个小三角形组成的三角形，依次类推，分别数清三个区域的三角形个数，再将三者相加即可求得整个图形中的三角形个数。 （4）图中的三角形都是等边三角形，可以假设最小的等边三角形的边长是1，然后分类枚举出每一类的数量，最后相加得到总数。 【详解】（1）5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（个） 答：图中一共有15个三角形。 （2）根据分析：去掉中间的线段，数出较大的三角形有：4＋3＋2＋1＝10（个），新增较小的三角形有：4＋3＋2＋1＝10（个），一共：10＋10＝20（个），所以图中有20个三角形。 （3） 3＋2＋1＝6（个） 1＋1＋1＝3（个） 4＋3＋2＋1＝10（个） 6＋3＋10＝19（个） 所以整个图形中一共有19个三角形。 （4）分类枚举： 边长是个单位长度的有个三角形； 边长是个单位长度的有个三角形； 边长是个单位长度的有个三角形； 共有（个） 【点睛】（1）和（2）注意数三角形个数时，应按照顺序数，才能做到不重复、不遗漏。 （3）图形较为复杂，需先将图形分解为三个区域，化繁为简，再分别利用“打枪法”逐个数清。 （4）考查的是几何计数问题，求解几何计数问题最常用的方法是分类枚举。 6 学科网（北京）股份有限公司 $$