专题3 比例-2025年小升初数学暑假专项提升（人教版）

专题3 比和比例-2025年小升初数学暑假专项提升 【要点梳理】 【要点一】比例 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做 。 2.比例各部分名称： 组成比例的四个数叫作比例的 。 在比例里，两端的两项叫作比例的 ，中间的两项叫作比例的 。 写比例时，组成比例的两个比既可以写成带比号的形式，也可以写成分数形式，但读法不同。 3.判断两个比是否组成比例的方法： ①用求比值的方法判断： ②用化简比的方法判断 4.比例的基本性质： (解比例的依据)。若a:b=cd或共G6,dd均不为0),那么ad=be。 5.比和比例的区别： 【要点二】解比例 1.解比例的意义 根据比例的基本性质，如果已知比例的任何三项，就可以求出比例的另外一个未知项。求比例中的未知项的过程，叫做 。 在比例4:10=14:x中，x是未知的，求x的值的过程就叫作解比例。 2.解比例的方法 根据比例的基本性质，先把比例改写成外项的积与内项的积相等的形式，即方程，外项×外项=内项×内项。再根据等式的性质解方程，求出未知数的值。 【要点三】比例尺 1.比例尺的意义 一幅图的 和 的比，叫做这幅图的比例尺 图上距离：实际距离=比例尺 2.求图上距离或实际距离 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离+比例尺 3.使用比例尺过程中的注意事项 (1)比例尺中无论哪项是1,其意义并没有改变，都是图上距离为前项，实际距离为后项，不要记错。 (2)比例尺反映的是长度之间的关系，不是面积之间的关系。 4.比例尺的分类 (1)按表现形式： ①数值比例尺。如：1:600000表示图上距离与实际距离的比是1:60000。 ②线段比例尺。如：表示图上距离1厘米相当于实际距离5千米。5平米 (2)按前.后项的大小关系； ①放大比例尺。如：30:1表示图上30厘米相当于实际距离1厘米，(把实际距离扩大30倍，画在图纸上) ②缩小比例尺。如：1:600000表示图上1厘米相当于实际距离60000厘米。(把实际距离缩小的,画在图纸上) 【要点四】图形的放大与缩小 1.平面图形的放大与缩小 一看：看原图形每边各占几格； 二算：计算按给出的比将原图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格； 三画：按计算出的各边长画出原图形的放大图或缩小图。 2.把一个图形放大或缩小后所得到的的图形与原图形相比:形状相同，大小不同。 【要点五】正比例 1.正比例的意义：两种量相关联，一种量扩大(或缩小),另一种量也扩大(或缩小),相对应的两个数的 一定，这两种量成正比例。 2.正比例关系式 3.正比例的图像是一条直线。 【要点六】反比例 1.反比例的意义：两种量相关联，一种量扩大(或缩小),另一种量反而缩小(或扩大),相对应的两个数的 一定，这两种量成反比例。 2.反比例关系式：xy=k(k一定) 3.反比例的图像是一条曲线。 【要点六】正反比例关系的判断 1. 找变量：分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 2. 看定量：分析两种相关联的量，看它们之间的关系是商一定还是积一定。 3. 作判断：如果商一定就成正比例关系；如果积一定就成反比例关系；如果商和积都不是定值，就不成比例。 【易错点拨】 【易错点一】对比例的概念理解不清晰 常见错误：混淆比、比值和比例的概念。 规避策略： 比：由两个数组成，表示两个数相除； 比例：由四个数组成，表示两个比相等的式子。 【易错点二】“交叉相乘积相等”与分数乘法混淆 规避策略：当比例是分数形式时，根据比例的基本性质，“交叉相乘积相等”得到乘积式，不能用分子乘分子，分母乘分母。 【易错点三】正比例和反比例的判断 规避策略：“相关联”+“正商反积” ①找变量→两个量是否相关联，也就是看这两个量是否都是变量，且一个量随着另一个量的变化； ②找定量→分析相关联的两个量，看它们之间的关系是比值一定、乘积一定，还是都不一定，而变化； ③判断→比值(商)一定成正比例；乘积一定成反比例；比值和乘积都不一定，不成比例。 【易错点四】分不清是放大图形，还是缩小图形 规避策略：关联放大比例尺和缩小比例尺。 ①都是和原图形比，比原图形大，就是放大图形；比原图形小，就是缩小图形； ②变化后图形边长：原图形边长，即比的前项表示变化后图形边长，比的后项表示原图形边长。 ③描述图形放大，一般用后项是1的比表示，即n:1(前项>后项，比值>1); 描述图形缩小，一般用前项是1的比表示，即1:n(前项<后项，比值<1); 【注意】n:1与1:n表示的意义不同。 3:1→图形按3:1放大，也就是图形的每条边放大到原来的3倍； 1:3→图形按1:3缩小，也就是图形的每条边缩小到原来的 拓展：3类实际问题 第一类：正比例应用——归一问题 归一问题中必有一种不变的量，如商品的单价不变、汽车的速度不变、拖拉机每小时耕地的公顷数不变等。题中常用“照这样计算”、“用同样的…”等词语来表达不变的量，要抓准题中数量的对应关系。 第二类：反比例应用——面积问题 解题关键是抓住面积不变。此类题目注意单位统一。 铺地面积一定，方砖面积×块数=铺地面积(一定),乘积一定，方砖面积和块数成反比例 【温故知新】 一、填空题 1．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是( )；16的因数有( )个，选取其中的四个组成比例是( )。 2．图上30厘米的距离表示实际距离60千米，这幅地图的数值比例尺是( )。 3．将一个正方体的每条棱的长度都按的比例缩小，那么，它的表面积会缩小到原来的( )，体积会缩小到原来的( )。（填上合适的分数） 4．下面的表格被明明弄脏了，如果x和y成正比例，那么弄脏处的数是( )；如果x和y成反比例，那么弄脏处的数是( )。 x 6 y 12 24 5．有两个水杯，甲水杯容积的正好等于乙水杯容积的。甲、乙两个水杯容积的比是 。 6．圆的周长与它的直径成( )比例关系。圆柱的体积一定，它的底面积与高成( )比例关系。 二、判断题 7．在比例里，两个内项互为倒数，那么两个外项一定互为倒数。( ) 8．如果，则与成反比例。( ) 9．如果3a＝4b，那么a∶b＝3∶4。( ) 10．一幅地图的比例尺是，改写成数值比例尺是1∶240。( ) 11．某产品的合格率一定，产品的合格数量与产品总数成正比例。( ) 三、选择题 12．在下面各比中，能与组成比例的是（    ）。 A．3∶6 B．6∶3 C． 13．已知：a÷b＝，那么下面说法正确的是（    ）。 A．a和b成正比例 B．a和b成反比例 C．3a＝4b D．b是a的 14．下列说法中正确的是（    ）。 A．圆的面积与半径成正比例关系 B．长方形的周长一定，长与宽成反比例关系 C．y＝5x，x与y成反比例关系 D．圆柱的体积一定，底面积与高成反比例关系 15．某手表上螺丝直径1.5毫米，在图纸上的长度是7.5厘米。这幅图纸的比例尺是（    ）。 A．5∶1 B．50∶1 C．1∶5 D．1∶50 16．如果甲、乙是成反比例的量（甲、乙均不为0），那么当甲减少20%时，乙会（    ）。 A．减少20% B．增加20% C．减少25% D．增加25% 四、计算题 17．直接写得数。                            ∶（    ）＝0.5                         0.04∶1＝（    ） ∶50 18．解方程或解比例。           五、解答题 19．学校要对会议室的地板重新装修，用边长为2分米的方砖需要900块，如果选用边长为3分米的方砖，需要多少块？（用比例知识解决） 20．修一条公路，总长12千米，开工6天修了1.8千米，修完这条公路还需要多少天？（用比例解） 21．“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点，在一幅比例尺为1∶7000000的地图上约长92厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？ 22．在比例尺是1∶1000的学校平面图上，量得长方形操场的长是10厘米，宽是5厘米。这个操场的实际面积是多少平方米？ 23．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间与乙车间人数之比为3∶5，如果从甲车间调150人到乙车间，则甲车间与乙车间人数之比为3∶7，那么原来甲、乙两个车间各有多少人？ 【暑期培优】 1.a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 2．有一些黑白混合的棋子，黑子数与白子数的比为2∶1，如果每次取出4黑子3白子，问取多少次后，白子余下1个，而黑子还有18个？ 3．某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他;每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆? 参考答案 【要点梳理】 【要点一】比例 项 外项 内项 两个外项的积等于两个内项的积 【要点二】解比例 【要点三】图上距离 实际距离 【要点五】比值 =k(k一定) 【要点六】积 xy=k(k一定) 【温故知新】 1． /0.4 5 2∶1＝16∶8 【分析】已知一个比例的两个内项的积是最小的质数即2，根据比例的基本性质，那么这个比例的两个外项的积也是2；用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。 先列举出16所有的因数，并数出个数；再根据比例的意义，从中找出两组比值相等的数，即可组成比例。 【详解】另一个外项是：2÷5＝ 16的因数：1，2，4，8，16；有5个。 2∶1＝2÷1＝2，16∶8＝16÷8＝2，比值相等，可以组成比例2∶1＝16∶8。 填空如下： 在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是（）；16的因数有（5）个，选取其中的四个组成比例是（2∶1＝16∶8）。 （比例不唯一） 2．1∶200000/ 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离解答即可。 【详解】60千米＝6000000厘米 30厘米∶6000000厘米 ＝（30÷30）∶（6000000÷30） ＝1∶200000 所以这幅地图的数值比例尺是1∶200000。 【点睛】本题考查了比例尺的意义，注意求比例尺时先统一单位。 3． 【分析】把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。假设正方体的棱长是9厘米，计算出按缩小后的棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别计算出缩小前后的表面积和体积，将原来的表面积和体积看作单位“1”，缩小后的表面积÷原来的表面积＝它的表面积会缩小到原来的几分之几，缩小后的体积÷原来的体积＝体积会缩小到原来的几分之几。 【详解】假设正方体的棱长是9厘米。 9×＝3（厘米） （3×3×6）÷（9×9×6） ＝54÷486 ＝ ＝ （3×3×3）÷（9×9×9） ＝27÷729 ＝ ＝ 它的表面积会缩小到原来的，体积会缩小到原来的。 4． 12 3 【分析】如果x和y成正比例，那么x与y的比值一定，据此列式解答即可；如果x和y成反比例，那么x和y的乘积一定，据此列式解答。 【详解】解：设弄脏处的数是a。 如果x和y成正比例，则： 6∶12＝a∶24 12a＝144 12a÷12＝144÷12 a＝12 如果x和y成反比例，则： 6×12＝24a 24a＝72 24a÷24＝72÷24 a＝3 【点睛】明确x和y成正比例，那么x与y的比值一定，如果x和y成反比例，那么x和y的乘积一定是解题的关键。 5．3∶2 【分析】设甲水杯容积的、乙水杯容积的都等于1，根据分数除法的意义分别求出甲乙两个水杯的容积、然后再作比、化简即可。 【详解】设甲水杯容积的、乙水杯容积的都等于1，则： 甲水杯的容积：1÷＝ 乙水杯的容积：1÷＝ 甲水杯的容积：乙水杯的容积＝∶＝3∶2； 则甲、乙两个水杯容积的比是3∶2。 【点睛】解决本题也可以这样求解：甲水杯容积×＝乙水杯容积×，根据比例的基本性质可得：甲水杯的容积∶乙水杯的容积＝∶，化简即可。 6． 正 反 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】由分析可得：圆的周长÷它的直径＝（一定），正比例关系；圆柱的底面积×高＝圆柱的体积（一定），反比例关系。 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 7．√ 【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，例如：如果a、b不为0，a×b＝1，则a是b的倒数，b是a的倒数。据此解答。 【详解】根据分析可知，在比例里，两个内项互为倒数，那么两个外项一定互为倒数。 例如：4∶5＝0.2∶0.25 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了比例的基本性质和倒数的认识。 8．√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果，即，是乘积一定，则与成反比例； 故答案为：√ 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 9．× 【分析】根据比例的基本性质可知，内项之积等于外项之积，以此解答。 【详解】根据分析可知，3a＝4b可以写成a∶b＝4∶3。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查学生对比例的基本性质的理解与应用。 10．× 【分析】线段比例尺上1厘米代表实际距离240千米，把240千米化成24000000厘米，即图上1厘米代表实际距离24000000厘米，改写成数值比例尺是1∶24000000。 【详解】1厘米∶240千米 ＝1厘米∶24000000厘米 ＝1∶24000000 原题说法错误。 故答案为：× 11．√ 【分析】合格率＝产品的合格数量÷产品总数×100%；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】产品的合格数量÷产品总数×100%＝产品的合格率（一定），商一定，所以产品的合格数量与产品总数成正比例。 所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 12．B 【分析】两个比的比值相等，则这两个比可组成比例。据此解答即可。 【详解】＝＝2 A．3∶6＝3÷6＝ B．6∶3＝6÷3＝2 C．＝＝ 故答案为：B 【点睛】本题考查比例的意义，明确比值相等的两个比可组成比例是解题的关键。 13．A 【分析】A．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 B．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 C．先根据除法与比的关系，把a÷b＝改写成比例式，再根据比例的基本性质把它改写成两数相乘的形式。 D．根据除法中各部分的关系“除数＝被除数÷商”，得出b与a的关系。 【详解】A．a÷b＝，商一定，则a和b成正比例，原选项说法正确； B．由上一个选项可知，a和b成正比例，原选项说法错误； C．a÷b＝，即a∶b＝3∶4，根据比例的基本性质可得：4a＝3b，原选项说法错误； D．a÷b＝，则b＝a÷＝a×＝a，即b是a的，原选项说法错误。 故答案为：A 14．D 【分析】两种相关联的量，若两个相关量的比值一定，这两个量成正比例；若两个相关量的乘积一定，这两个量成反比例，据此解答即可。 【详解】A．圆的面积＝πr2，圆的面积与半径的平方成正比例关系，所以原题说法错误； B．长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的周长一定，长与宽不成比例关系，所以原题说法错误； C．y＝5x，即＝5，比值一定，x与y成正比例关系，所以原题说法错误； D．圆柱的体积＝底面积×高，乘积一定，所以圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系，所以原题说法正确。 故答案为：D 15．B 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。 【详解】7.5厘米＝75毫米 75∶1.5 ＝750∶15 ＝（750÷15）∶（15÷15） ＝50∶1 所以，这幅图纸的比例尺是50∶1 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。 16．D 【分析】两个成反比例的量，则乘积一定；假设甲数是5，乙数是4，即甲数×乙数＝5×4＝20；当甲减少20%，则甲数是：5×（1－20%），据此求出减少后的甲数；由于甲数×乙数的积不变，据此求出增加后的乙数，再用增加后的乙数与原来的乙数差，除以原来乙数，再乘100%，即可解答。 【详解】假设甲数是5，乙数是4。 5×4＝20 5×（1－20%） ＝5×80% ＝4 20÷4＝5 （5－4）÷4×100% ＝1÷4×100% ＝0.25×100% ＝25% 如果甲、乙是成反比例的量（甲、乙均不为0），那么当甲减少20%时，乙会增加25%。 故答案为：D 17．5；1；；；4；1；；2 【详解】略 18．；； 【分析】（1）根据比例的基本性质，先把比例化为方程。再根据等式的性质，两边再同时除以； （2）根据比例的基本性质，先把比例化为方程。再根据等式的性质，两边再同时除以1.8； （3）先把方程左边化简为0.25x，再根据等式的性质，两边再同时乘4。 【详解】 解： 解： 解： 19．400块 【分析】由题意可知，每块方砖的面积×块数＝会议室地板的面积，会议室地面的面积是一定的，则方砖的面积与方砖的块数成反比例，据此设如果选用边长为3分米的方砖，需要x块，列方程为3×3×x＝2×2×900，然后解出方程即可。 【详解】设如果选用边长3分米的方砖，需要x块。 3×3×x＝2×2×900 9x＝3600 x＝3600÷9 x＝400 答：如果改用边长为3分米的方砖，需要400块。 【点睛】解答此题的主要依据是：若两个相关联量的乘积一定，则这两个量成反比例，从而可以列比例求解。 20．34天 【分析】修了1.8千米，还剩（12－1.8）千米，设修完这条公路还需要x天，根据修的长度∶天数＝每天修的长度（一定），列出正比例算式解答即可。 【详解】解：设修完这条公路还需要x天。 （12－1.8）∶x＝1.8∶6 10.2∶x＝1.8∶6 1.8x＝10.2×6 1.8x÷1.8＝61.2÷1.8 x＝34 答：修完这条公路还需要34天。 【点睛】关键是理解正比例的意义，比值一定是正比例关系。 21．6440千米 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用92÷即可求出传统的丝绸之路的实际距离，再把结果换算成千米作单位，据此解答。 【详解】92÷ ＝92×7000000 ＝644000000（厘米） 644000000厘米＝6440千米 答：传统的丝绸之路实际全长约为6440千米。 22．5000平方米 【分析】根据关系式：实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求得长和宽的实际距离各是多少，再根据长方形的面积＝长×宽，即可求解。 【详解】10÷ ＝10×1000 ＝10000（厘米） 5÷ ＝5×1000 ＝5000（厘米） 10000厘米＝100米 5000厘米＝50米 100×50＝5000（平方米） 答：这个操场的实际面积是5000平方米。 【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。 23．甲车间原有750人，乙车间原有1250人。 【分析】已知两车间的人数比，和调走人数的人数比，可根据两车间的人数比求其中一个车间人数与总人数的比，再用调走人数除以这个车间增加或减少的人数比就等于总人数，用总人数乘车间人数与总人数的比即可求出乙个车间的人数，用总人数减一个车间的人数就等于另一个车间的人数，据此解答。 【详解】总人数： 150÷（－） ＝150÷（－） ＝150÷ ＝150× ＝2000（人） 甲车间： 2000× ＝2000× ＝750（人） 乙车间： 2000－750＝1250（人） 答：原来甲、乙两个车间分别有750人和1250人。 【暑期培优】 1．3∶10； 【分析】b是c的，即b＝c，又a与b的比是3∶4，将b用c进行等量代换，所以a∶c＝3∶4，化简即可得a∶c的值；求a比c少几分之几，先求出（c－a），再除以c即可。 【详解】因为b＝c，a∶b＝3∶4，所以 a∶c＝3∶4 c＝4a a∶c＝3∶10 a为3份，c为10份 则a比c少几分之几列式为： （10－3）÷10 ＝7÷10 ＝ 【点睛】本题属于求多个数的连比和一个数比另一个数少几分之几的问题，要掌握等量代换的方法。 2．8次 【分析】假设一共取了x次，黑子一共取出4x个，白子一共取出3x个，黑子的总数量是（4x＋18）个，白子的总数量是（3x＋1）个，已知黑子数与白子数的比为2∶1，根据比的意义和性质，可知（4x＋18）∶（3x＋1）＝2∶1，据此解出这个方程即可。 【详解】解：设取了x次。 （4x＋18）∶（3x＋1）＝2∶1 （4x＋18）×1＝（3x＋1）×2 4x＋18＝6x＋2 18＝6x＋2－4x 18＝2x＋2 2x＋2＝18 2x＝18－2 2x＝16 x＝16÷2 x＝8 答：取了8次。 【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系以及掌握解比例的方法是解答本题的关键。 3．12分钟 【详解】解：设公共汽车每隔x分钟发车一次． 15：（15﹣x）=10：（x﹣10）． 15（x﹣10）=10（15﹣x） 15x﹣150=150﹣10x 25x=300 x=12， 答：公共汽车每12分钟发一次。 7 学科网（北京）股份有限公司 $$