海南省部分中学2024-2025学年高二下学期第三次月考模拟考试数学试题

海南省部分中学2024-2025学年高二年级下学期 第三次月考模拟考试数学试题 与2025年海南高考真题模式完全一样 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是5，6，7，8的一个排列，定义随机变量X，Y满足，其中分别表示数据中的最小者和最大者，则（   ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布较集中 B．在做回归分析时，用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，17，19，21的第80百分位数为17 4．中国古代中的“礼､乐､射､御､书､数”合称“六艺”.某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一次，讲座次序要求“礼”不排在第一也不排在最后，且“射”和“御”相邻，则不同的次序共有（    ） A．288种 B．196种 C．96种 D．144种 5．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左､向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（    ） A． B． C． D． 6．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（    ） （附，其中．） A． B． C． D． 7．下列命题错误的是（     ） A．若数据的标准差为，则数据的标准差为 B．若，则 C．若，则 D．若为取有限个值的离散型随机变量，则 8．下列说法中，正确的个数是（   ） ①若随机变量X服从正态分布，且，则； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强. ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． ⑤决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．若，则（   ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．测量重力加速度大小实验中所测的值服从正态分布，则越大时，测得的在间的概率越低 C．某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为3 D．已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1 11．DeepSeek的火爆源于其突破性AI技术的高效应用，充分展现了人工智能在驱动创新解决方案和满足广泛市场需求中的核心作用．某高中的数学社团以16至40岁人群使用DeepSeek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法错误的是（   ） A．甲小组开展了DeepSeek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B．乙小组利用最小二乘法得到DeepSeek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次可能为17次 C．丙小组研究性别因素是否影响DeepSeek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次没有差异 D．丁小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知变量和的统计数据如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 若和线性相关，则关于的经验回归方程为 . （附：经验回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为） 13．某中学举办诗词大会选拔赛，选手需要从7道选择题，3道填空题中任选2题作答，每次随机抽取一道题，抽出的题不再放回，甲同学在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到填空题的概率是 . 14．某中学2025年度青年教师讲题比赛分为文科、理科两个组别进行．文科组和理科组分别有4位和5位教师参赛．根据比赛规则，要求共评出一等奖4名，一等奖中的最高分设为特等奖，其余均为二等奖，且每个组至少有1名一等奖（包含一等奖中的特等奖）．则最终的可能比赛结果共有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49. (1)求实数n和a的值； (2)求的展开式中的系数. 16．为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名． (1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； (2)设表示选出的3人中外科医生的人数，求的分布列，均值，方差． 17．2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为． 看现场直播 未看现场直播 男同学 女同学 150 250 (1)求的值； (2)是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？ (3)为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及． 参考公式：． 参考数据： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18．已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 19．随着 2025 年春节档电影《哪吒》与《封神榜》的播出，中学生中掀起了一股对 “中国神话故事”的讨论热潮.某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “中国神话故事”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各 50 名作为样本，设事件 “喜欢中国神话故事”， “学生为女生”，据统计 . (1)现采用分层抽样从 50 名女生样本中选出 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，求 的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. （i）求该校任意一名学生喜欢中国神话故事的概率； （ii）现从全校的学生中随机抽取 名学生，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，且当 时， 取得最大值，求从全校学生中抽取的人数 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 1．D 【分析】根据题干条件得出，结合，可求得的值. 【详解】因为展开式中第、、项的二项式系数依次成等差数列，即， 即，整理得，即， 又因为，，故的值为. 故选：D. 2．A 【分析】利用已知求得所有排列数，再求得符合条件的排列数，进而利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】依题意5，6，7，8的所有排列种数为， 当或时，；当或时，； 当或时，， 所以满足的排列有；；；；；；；，共8种， 所以． 故选：A． 3．D 【分析】分别根据正态分布的性质、决定系数的意义、平均数的性质以及百分位数的计算方法来判断每个选项的正误. 【详解】对于A选项，对于正态分布，为标准差，越小，数据越集中在均值附近，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布较集中，所以A选项正确. 对于B选项，在回归分析中，决定系数用于刻画模型的回归效果，越接近，表示模型对数据的拟合效果越好，即越大，说明模型拟合的效果越好，所以B选项正确. 对于C选项，已知样本数据的平均数为. 根据平均数的性质：若（），则. 对于，这里，，所以其平均数为，所以C选项正确. 对于D选项，对于数据6，7，7，8，10，12，14，17，19，21，则，所以第80百分位数是第项与第项数据的平均值，即，而不是17，所以D选项错误.   故选：D. 4．D 【分析】根据给定条件，“射”和“御”相邻用捆绑法，求出“礼”不排在第一也不排在最后的不同次序数，即可计算作答. 【详解】依题意，“礼”不排在第一也不排在最后，且“射”和“御”相邻的不同次序数为. 故选：D 5．C 【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互对立，最终落入⑤号球槽4次向右，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解. 【详解】小球从起始点到最终落入球槽，需要经过5次与小木块的碰撞，每次碰撞时向左或向右的概率均为. 我们可以把小球向左下落看作一次“左操作”，向右下落看作一次“右操作”. 要落入从左往右数第5号球槽，从组合的角度看，经过5次碰撞，相当于在5次操作中，向右的次数比向左的次数多3次. 设向右为正方向，向左为负方向，那么向右的次数x与向左的次数y满足方程组，解得. 也就是在5次碰撞过程中，需要有4次向右，1次向左. 由独立重复试验概率公式，这里， 所以. 故选：C. 6．B 【分析】根据题意先列出列联表计算值，再根据计算出的最小值. 【详解】根据题意，列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 ； ∵有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即， ，，又， 则的最小值为. 故选：B. 7．D 【分析】A选项利用标准差的性质即可判断；B选项利用二项分布的方差公式可得到，再代入概率公式即可求解；C选项利用正态分布概率的对称性即可求解；D选项利用离散型随机变量的方差的非负性即可求解. 【详解】对于A选项，根据标准差的性质可知，数据的标准差为， 则数据的标准差为，故A正确； 对于B选项，，，， ，故B正确； 对于C选项，，， ， ，故C正确； 对于D选项，若为取有限个值的离散型随机变量，则 ，即，故D错误. 故选：D. 8．B 【分析】根据正态分布对称性的应用可判断命题①；根据相关系数的定义判断命题②；根据残差图的性质判断命题③；根据独立性检验的知识判断命题④，根据决定系数性质判断命题⑤. 【详解】对于①. 已知随机变量服从正态分布，， 则，所以，故①错误； 对于②，线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，故②错误； 对于③，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高， 则回归方程的预报精确度越高，故③正确； 对于④，据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05， 故④正确. 对于⑤，因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好，命题⑤错误； 故选：B. 9．AD 【分析】利用赋值法求系数和，可判断ACD，利用指定项求系数可判断B. 【详解】令，得，A正确． ，B错误． 令，得，则，C错误． 令，得， 则，D正确． 故选：AD. 10．BD 【分析】根据二项分布，正态分布，离散型随机变量的均值和方差，分别判断各选项正误. 【详解】已知，则，可知，所以A错误. 对于正态分布，则越大时，密度曲线越分散，更加矮胖，在间的概率越低，所以B正确. 小黄同学做对题数服从二项分布，设作对题数为，服从，则，所以C错误. 设10个数据为，原来平均值为7，加一个数据7后，均值不变，原来方差为，则加入一个数据7后，方差为，所以D正确. 故选：BD. 11．AC 【分析】由相关系数，回归方程，决定系数，卡方的检验逐项判断即可. 【详解】对于A，由的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误，故A错误； 对于B，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B正确； 对于C，，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次有差异，故C错误， 对于D，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故D正确； 故选：AC. 12． 【分析】根据条件，利用回归直线方程系数的计算公式，直接求出、，即可求解. 【详解】由题意得，， 因为，， 所以，， 故回归直线方程为. 故答案为：. 13． 【分析】设第1次抽到选择题为事件A，第2次抽到填空题为事件B，由题意及条件概率公式可得答案. 【详解】设第1次抽到选择题为事件A，第2次抽到填空题为事件B， 则，，从而所求概率为：. 故答案为： 14．480 【分析】根据文科组和理科组的参赛人数以及每个组至少有名一等奖的条件，分情况计算一、二等奖的可能结果数.确定特等奖的可能结果数，根据分步乘法计数原理可得结果. 【详解】本题要算最终比赛结果数，分三步： ①因为共评出一等奖4名，且每个组至少有1名一等奖，分三种情况. 情况一：文科组1名一等奖、理科组3名一等奖.这种情况有种结果. 情况二：文科组2名一等奖、理科组2名一等奖.这种情况有种结果. 情况三：文科组3名一等奖、理科组1名一等奖.这种情况有种结果. 三种情况相加，共有种结果.   ②计算特等奖可能结果数：一等奖名，选特等奖有种结果. ③计算最终结果数：根据分步乘法计数原理，最终的可能比赛结果共有种. 故答案为：480. 15．(1)， (2)24 【分析】（1）根据二项式系数和的性质求出n，再由展开式的前3项系数之和求出a； （2）利用的展开式的通项公式可得答案. 【详解】（1）由题意得，，故， 因为的展开式中前3项的系数之和为49， 所以，整理得， 解得或， 又，所以. （2）的展开式的通项为，， 令，可得，不合题意，所以中不存在含的项， 令，可得，所以， 令，可得，所以， 所以的展开式中的项为， 所以的展开式中项的系数为. 16．(1) (2)分布列见解析，1， 【分析】（1）由古典概型概率计算公式结合互斥事件和事件概率公式求解即可； （2）确定可能取值，求得对应概率，进而可求解. 【详解】（1）推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数为， 这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名， 设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，故有两种情况： 恰好选出1名外科医生和2名眼科医生和恰好选出2名外科医生， 用表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”， 且，互斥， 因为，， 所以选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为． （2）由题知可为0，1，2，故，， ， 0 1 2 0.2 0.6 0.2 所以， ． 17．(1)200 (2)是，具体见解析 (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据抽到看现场直播的女同学的概率为这一条件即可求得的值. （2）首先完善列联表，然后根据公式计算卡方值，并确定把握的百分比. （3）首先确定分层抽样的男同学、女同学人数，然后确定的可能取值，并计算每个取值对应的概率，从而得到分布列，最后根据期望公式求出. 【详解】（1）由于从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为， 所以，化简得，解得. （2）由（1）知，那么看现场直播的男同学有300人，未看现场直播的男同学有200人. . 因为，所以有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关. （3）因为看现场直播的男同学有300人，女同学有150人，抽样比例为. 所以如果抽取6人，则男同学有4人，女同学有2人. 根据题意，可能取的值是0，1，2. 则；；. 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）令可求的值； （2）分别令和求各项系数和，两式相加计算即可； （3）通过二项式的通项公式分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，，可得出，即可得解. 【详解】（1）令，则，所以； （2）令，得①. 令，得②， 由①②，得， 所以. （3）的展开式通项为， 则，其中且， 当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 ，由（2）知，， 所以． 19．(1)分布列见解析， (2)（i） ；（ii） 或 40 【分析】（1）的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）（i）由条件概率公式即可求解；（ii）由二项分布概率最大可列不等式求解. 【详解】（1），所以 5 个女生中喜欢神话故事和不喜欢神话故事的人数分别为 3 人和 2 人，故的取值范围是 ， ， 的分布列为 1 2 3 P 故 的期望为 ； （2）（i） 因为已知 ，女生有 50 人，所以喜欢神话故事的女生人数为 30 人， 又因为 ，所以喜欢神话故事的人数为 45 人，可得 . （ii） 随机变量 ， 令 ， 解得 ， 因为 ，所以 或 40. $$