主题4 第10章 热点强化课10 概率统计与其他知识的交汇问题(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

1．概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力． 2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是概率统计与数列、不等式、函数、导数等内容相互渗透，背景新颖． 　　　概率统计与数列的交汇 [例1]　(2025·山东聊城一摸)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3.一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等． (1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域； (2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率； (3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率． [解]　(1)经过2秒机器人可能位于的区域为P，Q，Q1； 经过3秒机器人可能位于的区域A，B1，B2，C1，C2，C3. (2)由已知若经过2秒机器人位于区域Q，那么经过1秒机器人必位于区域B2，记M＝“经过1秒机器人位于区域B2”，N＝“从区域B2出发，经过1秒机器人到达区域Q”，所以MN＝“经过2秒机器人位于区域Q”． 则P(M)＝，P(N)＝. 所以P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝. 即经过2秒机器人位于区域Q的概率为. (3)机器人的运动路线为：P－A∪B1∪B2－P∪Q∪Q1－A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3－P∪Q∪Q1－A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3－…， 设经过n秒机器人位于区域Q的概率为an， 则当n为奇数时，an＝0， 则当n为偶数时，a2＝，经过n秒机器人位于区域Q1的概率也为an，经过n秒机器人位于区域P的概率为1－2an 当经过n秒机器人位于区域Q的条件下， 经过n＋2秒机器人位于区域Q的概率为：×＋×1＋×＝. 当经过n秒机器人位于区域Q1的条件下， 经过n＋2秒机器人位于区域Q的概率为：×＝. 当经过n秒机器人位于区域P的条件下， 经过n＋2秒机器人位于区域Q的概率为：×＝. 由全概率公式得an＋2＝an＋an＋(1－2an)＝＋an. 设n＝2k，k∈N*，则a2k＋2＝a2k＋. 于是a2k＋2－＝a2k－＝， 所以数列是等比数列，其首项为a2－＝－，公比为， 所以a2k－＝－，即an＝－. 综上，当n为奇数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为0； 当n为偶数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为－. ◆[通技法] 高考中常将概率统计与数列综合命题，解题时注意将概率的参数表达式与数列递推式相结合，可得数列的通项公式，使问题得解． 1．(2025·山东潍坊高三阶模拟)学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第m(1≤m≤28，m∈N)号同学得到球后传给m＋1号同学的概率为，传给m＋2号同学的概率为，直到传到第29号(投篮练习)或第30号(投篮练习)时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第n(2≤n≤30，n∈N)号的概率为Pn. (1)求P4的值； (2)证明：{Pn＋1－Pn}(2≤n≤28)是等比数列； (3)比较29号和30号投篮命中的概率大小． 解：(1)依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为××＝； 1号传2号传4号其概率为×＝；1号传3号传4号其概率为×＝， 因此P4＝＋＋＝. (2)证明：依题意篮球传到第n－2号，再传给n号其概率为Pn－2； 篮球传到第n－1号，再传给n号其概率为Pn－1，因此有Pn＝Pn－1＋Pn－2， 可得Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，且P3－P2＝－＝， 所以{Pn＋1－Pn}是首项为，公比为－的等比数列． (3)P2＝，P3＝，Pn＋1－Pn＝， Pn－Pn－1＝(n≥2)， P4－P3＝，P3－P2＝， 由累加法，可得Pn＝P2＋ ＝＋× ＝＋×， 所以P29＝＋×， P30＝P28·＝， 所以29号投篮命中的概率为 ×， 30号投篮命中的概率为××＜×， 因为×＞0＞×， 所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率． 　　　概率统计与不等式的综合 [例2]　(2025·全国模拟)北京某高校有20名志愿者报名参加冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生．若从中随机抽取n(n∈N＋，n≤20)名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数． (1)若n＝2，求X的分布列与数学期望； (2)当n为何值时，X＝1的概率取得最大值？最大值是多少？ [解]　(1)当n＝2时，X的所有可能取值为0，1，2，则 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P EX＝0×＋1×＋2×＝. (2)X＝1的概率为P(X＝1)＝＝，1≤n≤20，且n∈N＋. 因为n(20－n)≤＝100，当且仅当n＝20－n，即n＝10时等号成立， 所以当n＝10时，X＝1的概率P(X＝1)取最大值，最大值是. ◆[通技法] 高考中常将概率统计与不等式综合命题，解题时注意将概率的参数表达式与不等式相结合，可得变量范围和最值，使问题得解． 2．(2025·潍坊模拟)第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ的分布列和数学期望；　 (3)转化为百分制后，规定成绩在[90，100]的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为η，记B等级的人数为k的概率为P(η＝k)，写出P(η＝k)的表达式，并求出当k为何值时，P(η＝k)最大？ 解：(1)由题意得：(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1， 解得m＝0.012， 因为(0.004＋0.022)×10＝0.26＜0.5，(0.004＋0.022＋0.030)×10＝0.56＞0.5， 所以中位数在[60，70)内，设中位数为x, 则(0.004＋0.022)×10＋(x－60)×0.03＝0.5，解得x＝68， 所以这50名学生成绩的中位数为68. (2)[70，80)，[80，90)，[90，100]三组数据频率比为0.28∶0.12∶0.04＝7∶3∶1， 所以从[70，80)，[80，90)，[90，100]三组中分别抽取7人，3人，1人， 则ξ可取0，1，2，3， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， 则ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 期望 Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)B等级的概率为(0.028＋0.012)×10＝0.4，则B等级有40人， 所以P(η＝k)＝C0.4k0.6100-k，k＝0，1，2，…，40，所以 即 解得39.4≤k≤40.5， 所以当k＝40时，P(η＝k)有最大值． 　　　概率统计与函数综合 [例3]　《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响．若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”．已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为P1，P2. (1)若P1＝，P2＝，则在第一轮竞赛中，求该组获“优秀小组”的概率； (2)当P1＋P2＝时，求该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值． [解]　(1)记他们获得“优秀小组”的事件为事件A，则事件A包含三种情况： 甲答对两题，乙答对一题的事件B；甲答对一题，乙答对两题的事件C，甲、乙都答对两题的事件D， 事件B、C、D互斥，又因为甲乙两人答题相互独立， P(A)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝×2××＋2×××＋×＝， 所以该组获“优秀小组”的概率. (2)由(1)知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为： P＝P·2P2(1－P2)＋2P1(1－P1)P＋PP＝P1P2[2P1(1－P2)＋2(1－P1)P2＋P1P2]， ＝P1P2[2(P1＋P2)－3P1P2] 又P1＋P2＝，则P1P2≤＝， 当且仅当P1＝P2＝时，等号成立， 而0≤P1≤1，0≤P2≤1，于是有≤P1≤1 ， 因此P1P2＝P1∈， 令t＝P1P2∈， 则P＝－3t2＋t＝ －3＋≤，当且仅当t＝时等号成立， 所以该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值为. ◆[通技法] 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式的有关性质去实现． 3．(2025·河南省天一大联考)某社区100名居民参加2022年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，40)、[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示． (1)求a的值，并求该社区参加2022年国庆活动的居民的平均年龄(每个分组取中间值作代表)； (2)现从年龄在[50，60)、[70，80]的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在[70，80]的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k名市民的年龄在[30，50)的概率为Pk(k＝0，1，2，…，20)，当Pk最大时，求k的值． 解：(1)由频率分布直方图知(0.005＋0.010＋a＋0.030＋0.035)×10＝1，解得a＝0.02，所以该社区参加2022年国庆活动的居民的平均年龄为(0.005×35＋0.035×45＋0.030×55＋0.020×65＋0.010×75)×10＝54.5. (2)年龄在[50，60)的人数为0.030×10×100＝30，年龄在[70，80]的人数为0.010×10×100＝10. 根据分层抽样，可知年龄在[50，60)的抽取6人、年龄在[70，80]的抽取2人． 所以X的可能取值为0，1，2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＝. (3)由题可知年龄在[30，50)内的频率为(0.005＋0.035)×10＝0.4. 设年龄在[30，50)的人数为Y，所以Y～B(20，0.4). Pk＝P(Y＝k)＝C·0.4k·(1－0.4)20-k(k＝0，1，2，…，20). 设t＝＝ ＝(k＝1，2，…，20)， 由t＞1得k＜8.4，此时Pk－1＜Pk；由t＜1得k＞8.4，此时Pk－1＞Pk. 所以当k＝8时，Pk最大． 　　　概率统计与导数综合 [例4]　葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、钼、锌、铅等51种矿种，采矿业历史悠久，是葫芦岛市重要产业之一．某选矿场要对即将交付客户的一批200袋钼矿进行品位(即纯度)检验，如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验，设每袋钼矿品位不达标的概率都为p(0＜p＜1)，且每袋钼矿品位是否达标相互独立． (1)若20袋钼矿中恰有2袋不达标的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0； (2)已知每袋钼矿的检验成本为10元，若品位不达标钼矿不慎出场，对于每袋不达标钼矿要赔付客户110元．现对这批钼矿检验了20袋，结果恰有两袋品位不达标． ①若剩余钼矿不再做检验，以(1)中确定的p0作为p的值．这批钼矿的检验成本与赔偿费用的和记作ξ，求Eξ； ②以①中检验成本与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对余下的所有钼矿进行检验？ [解]　(1)20袋钼矿中恰有2件不达标的概率为f(p)＝Cp2(1－p)18. 因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)， 令f′(p)＝0；得p＝0.1，当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0，f(p)单调递增，p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0，f(p)单调递减， 所以f(p)的最大值点p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令η表示余下的180袋钼矿中不达标的袋数，依据题意可知η～B(180，0.1)，故Eη＝18， 又ξ＝20×10＋110η，即ξ＝200＋100η， 所以Eξ＝E(200＋110η)＝200＋110Eη＝200＋110×18＝2 180. ②若对余下的钼矿进行检验，则所有检验成本为2 000元．由于Eξ＝2 180＞2 000.应该对余下的钼矿都进行检验． ◆[通技法] 概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)的方案作为最佳方案，需要求概率表达式的最值，这往往借助于导数去实现． 4．(2025·全国模拟)某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N＋)份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其k(k∈N＋)且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0＜p＜1). (1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； (2)现取其中k(k∈N＋且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2. ①记Eξ为随机变量ξ的数学期望．若Eξ1＝Eξ2运用概率统计的知识，求出p关于k的函数关系式p＝f(k)，并写出定义域； ②若p＝1－e－，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值． 参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 5≈1.609 4. 解：(1)记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件， 则P(A)＝＝. (2)①根据题意，可知Eξ1＝k，ξ2的可能值为1，k＋1， 则P(ξ2＝1)＝(1－p)k，P(ξ2＝k＋1)＝1－(1－p)k， 所以Eξ2＝(1－p)k＋(k＋1)(1－(1－p)k) ＝k＋1－k(1－p)k， 由Eξ1＝Eξ2，得k＝k＋1－k(1－p)k， 所以p＝1－(k∈N*且k≥2). ②由于p＝1－e－，则Eξ2＝k＋1－ke－， 所以k＋1－ke－＜k，即ln k－＞0， 设f(x)＝ln x－，f′(x)＝－＝，x＞0， 当x∈(0，4)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，4)上单调递增， 当x∈(4，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(4，＋∞)上单调递减， f(8)＝ln 8－2＝3ln 2－2＞0， f(9)＝ln 9－＝2ln 3－＜0， 所以k的最大值为8. 由全概率公式，得P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)＝＋C×a＋· a(1－p)＝＋＋(1－p). 又p＝，a＝，所以P(B)＝. (2)由＋a＋a(1－p)＋a(1－p)2＝1，得＝p2－3p＋＋3. 假设存在p，使E(X)＝＋2a＋3a(1－p)＝. 将上述两式相乘，得＋5－3p＝－5p＋＋5.化简得：5p3－6p2＋2＝0. 设h(p)＝5p3－6p2＋2，则h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4). 由h′(p)＜0，得0＜p＜，由h′(p)>0，得<p<1. 则h(p)在上单递减，在上单调递增，所h(p)的最小值为h＝>0， 所以不存在p0使得h(p0)＝0，即不存在p值，使得E(X)＝. (3)证明：由题知P(N|M)>P(N|)，所以>＝， 所以P(NM)>P(N)P(M)， 所以P(NM)－P(N)P(NM)>P(N)P(M)－P(N)P(NM)， 即P(NM)·P()>P(N)·P(M)，所以>，即P(M|N)>P(M|). 学科网（北京）股份有限公司 $$