主题4 第10章 第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第6节　离散型随机变量的分布列及均值与方差 1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念． 3．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 一、随机变量的概念与表示 1．随机变量概念：取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示． 2．离散型随机变量：取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量． 二、离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X 取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)，该式也可以列成表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 上式称为离散型随机变量X的分布列，简称X的分布列. 2．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi＞0(i＝1，2，…，n，…)； (2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1． 三、两点分布 若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验． 如果随机变量X的分布列如表： X 1 0 P p q 其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0—1分布或伯努利分布). 四、离散型随机变量X的均值与方差 1．均值：定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望). 2．方差：若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－EX)2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX＝E(X－EX)2 ＝ (xi－EX)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX. 3．均值与方差的性质：(1)E(aX＋b)＝aEX＋b． (2)D(X＋b)＝DX，D(aX)＝a2DX，D(aX＋b)＝a2DX． 五、离散型随机变量X的均值与方差的意义 1．均值的意义：均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征． 2．方差的意义：随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散． 　　 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个．(　　) (2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．(　　) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ ◆[小题查验] 1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　) A．ξ＝4　　B．ξ＝5　　C．ξ＝6　　D．ξ≤5 解析：C　[“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. ] 2．(多选)设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　) A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4 C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.2 解析：ACD　[因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，DX＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以EY＝2EX＋1＝5，DY＝4 DX＝7.2，故D正确．] 3．(变量取值不全致误)一人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子里，每个盒子里放一个小球，球的编号与盒子的编号相同叫做放对了，否则叫做放错了，设放对的个数为X，则X的期望为(　　) A． B． C．2 D．1 解析：D　[由题可知，X可能取0，1，2，4，则 P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝0)＝1－－－＝， 则EX＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.] 4．(BSD选择性必修第一册P210实例分析改编)从10件产品(其中次品3件)中，一件一件不放回地任意取出4件，则4件中恰有1件次品的概率为________． 解析：一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有C种可能的结果，设事件A为“4件中恰有1件次品”，则事件A含有C×C种结果，所以P(A)＝＝. 答案： 5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为4，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为______． 解析：由题设，DX＝42＝16，故D(2X－1)＝4DX＝64， 所以新数据的标准差为8. 答案：8 　　　 离散型随机变量的分布列的性质 1．(2025·辽宁沈阳期中)随机变量X的分布列如下(k为常数)： X 0 1 2 P k 6k 0.3 则P＝(　　) A．0.6　　　B．0.7　　　C．0.9　　　D．1.2 解析：C　[依题意，k＋6k＋0.3＝1，解得k＝0.1， 所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.6＋0.3＝0.9.故选C.] 2．(多选)(2025·吉林长春市模拟)设随机变量ξ的分布列为P＝ak，(k＝1，2，3，4，5)，则(　　) A.15a＝1 B．P(0.4＜ξ＜0.8)＝0.2 C．P(0.1＜ξ＜0.6)＝0.2 D．P(ξ＝1)＝0.3 解析：ABC　[选项A，由已知可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，即15a＝1，故该选项正确；选项B，P(0.4＜ξ＜0.8)＝P(ξ＝0.6)＝3a＝＝0.2，故该选项正确；选项C，P(0.1＜ξ＜0.6)＝P(ξ＝0.2)＋P(ξ＝0.4)＝P＋P＝＋＝0.2，故该选项正确；选项D，P(ξ＝1)＝×5＝≠0.3，故该选项错误．] 3．(2025·曲靖模拟)随机变量X的分布列为 X x1 x2 x3 P p1 p2 p3 若p1，p2，p3成等差数列，则公差d的取值范围是________． 解析：由题意知p2＝p1＋d，p3＝p1＋2d， ∴p1＋p2＋p3＝3p1＋3d＝1，∴p1＝－d. 又0≤p1≤1，∴0≤－d≤1，∴－≤d≤. 同理，由0≤p3≤1，p3＝d＋，∴－≤d≤， ∴－≤d≤， 即公差d的取值范围是. 答案： 离散型随机变量的分布列的性质的应用 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 　　　离散型随机变量的分布列 [典例1]　(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． [解]　(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2 ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6. (2)依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，所以P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44， P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34， P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06. 即X的分布列为： X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 期望EX＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13. [典例2]　(2025·河南联考)在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率； (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列． [解]　(1)由题意可得共有CC＝100(种)不同的抽法， 抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有CCC， 标号为2，3的种数有C，抽到1，2，3的种数有C， 合计CCC＋C＋C＝34(种)不同的抽法， 所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为＝. (2)由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列． 提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． (2025·广东深圳市高级中学模拟)某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4的四批疫苗，供全市所辖的A，B，C三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种． (1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率； (2)记A，B，C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求X的分布列． 解：(1)设“三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同”为事件A， 则P(A)＝＝. 故所求的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝4)＝＝＝， 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 P 　　　离散型随机变量的期望与方差 ►[命题点1]　期望、方差的计算 [典例1]　(2025·全国模拟)某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t. (1)求X的分布列，并求X的均值和方差； (2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3 km时，收费5元，行驶路程超过3 km时，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差． [解]　(1)由题意，得0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋t＋2t＝1.∴t＝0.1. ∴X的分布列为： X 20 22 24 26 28 30 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 ∴EX＝20×0.1＋22×0.2＋24×0.3＋26×0.1＋28×0.1＋30×0.2＝25， DX＝(－5)2×0.1＋(－3)2×0.2＋(－1)2×0.3＋12×0.1＋32×0.1＋52×0.2＝10.6. (2)设此人一天中出车一次的收入为Y元，则Y＝3(X－3)＋5＝3X－4(X＞3，X∈N)， ∴EY＝E(3X－4)＋5＝3EX－4＝3×25－4＝71，DY＝D(3X－4)＝32·DX＝95.4. 故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4. [典例2]　(2025·广东广州市玉岩中学模拟)已知随机变量ξ的分布列如下， ξ 0 1 2 P b－a b a (1)求a，b的取值范围； (2)当a为何值时，Dξ取最大值？并求出Dξ的最大值． [解]　(1)依题意，(b－a)＋b＋a＝1，解得b＝，又解得0≤a≤， 所以0≤a≤，b＝. (2)由(1)知，Eξ＝b＋2a＝＋2a，Dξ＝E(ξ2)－(Eξ)2＝＋4a－＝－4＋，所以当a＝时，Dξ取得最大值. 期望、方差的计算应熟练掌握期望、方差的计算公式并掌握期望、方差的如下性质： 1．(1)E(aX＋b)＝aEX＋b. (2)D(aX＋b)＝a2DX. 2．一个结论：DX＝ (xi－EX)2pi＝xpi－(EX)2. 1．(2025·全国模拟)已知随机变量X的分布列如表所示，且EX＝. X 0 1 x P p (1)求DX的值； (2)若Y＝X＋4，求DY的值； (3)若Z＝2－3X，求DZ的值． 解：(1)由题意可知＋＋p＝1，解得p＝， 又∵EX＝0×＋1×＋x×＝，解得x＝2. ∴DX＝×＋×＋×＝. (2)∵Y＝X＋4，∴DY＝DX＝. (3)∵Z＝2－3X，∴DZ＝D(2－3X)＝9DX＝9×＝5. ►[命题点2]　决策问题 [典例3]　(2025·河北张家口模拟)已知投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.经统计分析，X1和X2的分布列分别为 表1： X1 0.3 0.18 0.1 P 0.2 0.5 0.3 表2： X2 0.25 0.15 P 0.2 0.8 (1)若在甲、乙两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资甲、乙两项目所获得的利润，求Y1和Y2的数学期望和方差，并由此分析投资甲、乙两项目的利弊； (2)若在甲、乙两个项目总共投资100万元，求在甲、乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率＝. [解]　(1)由题意，得 EX1＝0.3×0.2＋0.18×0.5＋0.1×0.3＝0.18， DX1＝(0.3－0.18)2×0.2＋(0.18－0.18)2×0.5＋(0.1－0.18)2×0.3＝0.004 8， EX2＝0.25×0.2＋0.15×0.8＝0.17， DX2＝(0.25－0.17)2×0.2＋(0.15－0.17)2×0.8＝0.001 6， 由E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX， 又Y1＝100X1，Y2＝100X2，得EY1＝100×0.18＝18，DY1＝1002×0.004 8＝48， EY2＝100×0.17＝17，DY2＝1002×0.001 6＝16， 因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定．若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙． (2)设x万元投资甲，则(100－x)万元投资了乙， 则投资甲的利润Z1＝xX1，投资乙的利润Z2＝(100－x)X2， 设f(x)为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和， 则f(x)＝DZ1＋DZ2＝x2DX1＋(100－x)DX2＝0.004 8x2＋0.001 6(100－x)2 ＝0.001 6(4x2－200x＋10 000)， 当x＝－＝25时，f(x)的值最小． 故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小． 　　 1．求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求Eξ； (5)由方差的定义求Dξ. 2．均值反映了离散型随机变量X取值的平均水平，随机变量的方差DX反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差越大，则随机变量的取值越分散． 2．(2025·内蒙古赤峰模拟)为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛．比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束．“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分． 已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记X为博文同学的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由． 解：(1)由题意得，X的可能取值为0，4，10， 所以P＝1－0.8＝0.2，P＝0.8×＝0.24，P＝0.8×0.7＝0.56，所以X的分布列为： X 0 4 10 P 0.2 0.24 0.56 (2)由(1)可得E＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56. 若甲同学先进行“机器人操作”，记Y为甲同学的累计得分，Y的可能取值为0，6，10， 所以P＝1－0.7＝0.3，P＝0.7×＝0.14，P＝0.7×0.8＝0.56， 所以E＝0×0.3＋6×0.14＋10×5.6＝6.44， 因为E>E，所以甲同学应该选择先进行“无人机表演”比赛． 学科网（北京）股份有限公司 $$