主题4 第10章 第5节 条件概率与全概率公式(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第5节　条件概率与全概率公式 1．结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．掌握条件概率的性质并能解决复杂的条件概率． 3．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 4．了解贝叶斯公式并会简单应用． 一、条件概率 1．定义：设A，B是两个事件，且P(A)>0，则称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率． 2．一个结论：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)． 3．条件概率的性质：设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1，0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，那么P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 二、全概率公式 一般地，设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1, 2, …， n)，则对任意一个事件A，有P(A)＝P(Bi)P(A|Bi) . 　　 1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)不是一回事. P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率． 2．利用全概率公式解题 通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因．如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中． (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生． (2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和． (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) (3)P(B|A)≠P(AB).(　　) (4)全概率公式解决由因索果问题．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ ◆[小题查验] 1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：A　[P(B|A)＝＝＝.] 2．已知事件A与B独立，当P(A)＞0时，若P(B|A)＝0.68，则P()＝(　　) A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 解析：C　[因事件A与B独立，且P(A)＞0，则P(B|A)＝＝＝P(B)，即P(B)＝0.68， 由对立事件概率公式得P()＝1－P(B)＝0.32.] 3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：C　 [设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，则P(AB)＝×，P(A)＝，所以P(B|A)＝＝.] 4．(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛，有A、B、C 3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是________． 解析：由题意知，A，B，C题库的比例为：5∶4∶3, 各占比分别为，，， 则根据全概率公式知所求正确率p＝×0.92＋×0.86＋×0.72＝0.85. 答案：0.85 5．(全概率公式应用致误)在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是________． 解析：由全概率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为：6%×＋5%×＋4%×＝. 答案： 　　　求条件概率 1．(2025·天津模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A＝“有4名航天员在天和核心舱”，事件B＝“甲乙二人在天和核心舱”，则P＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：B　[由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为P＝＝＝＝＝.故选B.] 2．(2023·全国甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(　　) A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1 解析：A　[根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P(A)＝＝， 由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50＋60－70＝40(人)，则P(AB)＝＝， 则P(B|A)＝＝＝0.8.] 3．(2025·黑龙江哈尔滨三中模拟)哈三中理学会组建甲、乙两个数学解题小组，两个小组独立开展解题工作，已知某道竞赛题甲小组解题成功的概率为，乙小组解题成功的概率为.在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为_____． 解析：设事件A为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小组解题成功， 其概率为P(A)＝1－·＝， 事件B为“乙小组解题失败”，则P(AB)＝×＝， 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为P(B|A)＝＝＝. 答案： 4．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于2”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于6”为事件B，则P(|A)＝________． 解析：同时抛掷两颗骰子共有6×6＝36种结果； 其中“红骰子向上的点数大于2”共有4×6＝24种结果，∴P(A)＝＝； “红骰子向上的点数大于2”且“两颗骰子的点数之和等于6”有(3，3)，(4，2)，(5，1)，共3种结果，则P(A)＝＝，∴P(|A)＝＝＝. 答案： 　　 求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝. 　　　条件概率公式及性质的应用 [典例]　(1)(2025·福州质检)已知P＝P＝，P＝，则P＝(　　) A． B． C． D． [解析]　∵P＝，P＝，且P＝P＝， ∴P＝P. 又P＝，∴P＝1－P＝， ∴P＝.故选B. [答案]　B (2)(2025·全国模拟)已知事件A和B是互斥事件，P(C)＝，P(B∩C)＝，P((A∪B)|C)＝，则P(A|C)＝______． [解析]　由题意知，P((A∪B)|C)＝P(A|C)＋P(B|C)＝，P(B|C)＝＝＝， 则P(A|C)＝P((A∪B)|C)－P(B|C)＝－＝. [答案]　 　　 在条件概率的运算中，要注意以下性质的应用 (1)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). (2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A). (3)如果P(A)＞0，A与B独立，则P(B|A)＝＝＝P(B)成立． 1．(多选)(2025·湖北调研)已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)＞0，P(B)＞0，则下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＋P(|A)＝1 B．P(B|A)＋P(B|)＝1 C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A) D．若A，B互斥，则P(B|A)＝P(A|B) 解析：ACD　[A中，P(B|A)＋P(|A)＝＝，故A正确； B中，设A，B独立，则P(B|A)＋P(B|) ＝2P(B)，而P(B)显然不一定为，故B错误； C中，A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)， 则P(A|B)＝＝P(A)，故C正确； D中，A，B互斥，P(AB)＝0，则根据条件概率公式P(B|A)＝P(A|B)＝0，故D正确．] 2．(2025·重庆南开中学模拟)记为事件A的对立事件，且P(A)＝，P(|B)＝，P(B)＝，则P(A∪B)＝________． 解析：因为P(|B)＝，P(B)＝，∴P(B)＝P(|B)P(B)＝×＝， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案： 　　　全概率公式的运用 [典例]　(1)深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8.当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为(　　) A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64 [解析]　设事件A1表示“乙球员担当前锋”，事件A2表示“乙球员担当中锋”，事件A3表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”． 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)， ＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.3×0.8＝0.42， 所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为1－0.42＝0.58. [答案]　C (2)(2025·湖南师大附中模拟)甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛．比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题．在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分．已知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响．设定甲、乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分．已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为. (1)求p，q的值； (2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率． [解]　(1)设A0，A2，A3，A5分别表示在一次比赛中甲得分的事件，B0，B2，B3，B5分别表示在一次比赛中乙得分的事件． 因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为， 所以即p－＝， 解得p＝，q＝. (2)由已知得P(A0)＝P(B0)＝×＝， P(A2)＝P(B2)＝， P(A3)＝P(B3)＝×＝， P(A5)＝P(B5)＝， 设C为“星队在一次比赛中的总得分为5分”， 则C＝(A0B5)∪(A2B3)∪(A3B2)∪(A5B0)， 则P(C)＝P(A0B5)＋P(A2B3)＋P(A3B2)＋P(A5B0) ＝P(A0)P(B5)＋P(A2)P(B3)＋P(A3)P(B2)＋P(A5)P(B0) ＝×＋×＋×＋×＝， 所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是. 　　 1．利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算． 2．全概率公式P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 1．“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：A　[设事件A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝×＋×＋×＝＝.] 2．(2025·全国模拟)有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出2个零件． (1)求先取出的零件是一等品的概率； (2)求两次取出的零件均为一等品的概率(结果保留两位小数). 解：(1)记事件Ai表示“任取的一箱为第i箱零件”，则i＝1，2，3； 记事件Bj表示“第j次取到的是一等品”，则j＝1，2； 由题意得P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝， P(B1|A1)＝＝0.4， P(B1|A2)＝＝0.4，P(B1|A3)＝＝0.6， 由全概率公式得P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＋P(A3)P(B1|A3)＝×(0.4＋0.4＋0.6)＝. 所以，先取出的零件是一等品的概率为. (2)P(B1B2|A1)＝＝，P(B1B2|A2)＝＝，P(B1B2|A3)＝＝， 由全概率公式得： P(B1B2)＝P(A1)·P(B1B2|A1)＋P(A2)·P(B1B2|A2)＋P(A3)·P(B1B2|A3)＝×＝≈0.22. 所以两次取出的零件均为一等品的概率均为0.22. 学科网（北京）股份有限公司 $$