主题4 第10章 第4节 古典概型与事件的独立性(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第4节　古典概型与事件的独立性 1．理解古典概型的定义及特点． 2．会应用古典概型的概率公式解决实际问题． 3．了解事件相互独立的含义． 4．会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率． 一、古典概型 1．定义：一般地，若试验E具有如下特征： (1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间； (2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等． 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型． 2．古典概型的计算公式 如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝． 二、相互独立事件 1．定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B)． 3．性质：如果事件A与事件B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立． 　　 1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键. 2．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B). ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　) (3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同.(　　) (4)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　　) (5)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同．(　　) (6)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)× ◆[小题查验] 1．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：A　[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.] 2．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现小于4的点”，B＝“第二枚出现大于3的点”，则A与B的关系为(　　) A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 解析：C　[对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，故A与B相互独立．故选C.] 3．(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：A　[甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6＝36(种)， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有30种， 则其概率为＝.] 4．(对事件的限制条件理解不正确致误)从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是______． 解析：总的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4个，所以所求概率P＝＝. 答案： 5．(BSD必修第一册P214习题7－4A组T4改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________． 解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. 答案：0.38 古典概型 1．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：D　[总事件数共C＝＝21， 取到的2个数互质的为 第一个数取2时，第二个数可以是3，5，7； 第一个数取3时，第二个数可以是4，5，7，8； 第一个数取4时，第二个数可以是5，7； 第一个数取5时，第二个数可以是6，7，8； 第一个数取6时，第二个数可以是7； 第一个数取7时，第二个数可以是8； 所以P＝＝＝.] 2．(2025·长郡中学模拟)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为________． 解析：由题意，在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠， 再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，共有CC＝24种， ①当在个、十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有CC＝2种； ②当在百位档中拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有C＝1种； 所以所拨数字大于300的概率为P＝1－＝＝. 答案： 3．(2024·全国甲卷)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为________． 解析：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A＝120种， 设前两个球的号码为a，b，第三个球的号码为c，则≤， 故≤3，故－3≤2c－(a＋b)≤3， 故a＋b－3≤2c≤a＋b＋3. 若c＝1，则a＋b≤5，则为：，，故有2种， 若c＝2，则1≤a＋b≤7，则为：，，，，，，，，，，故有10种， 当c＝3，则3≤a＋b≤9，则为： ，，，，，，，，，，，，，，，， 故有16种， 当c＝4，则5≤a＋b≤11，同理有16种， 当c＝5，则7≤a＋b≤13，同理有10种， 当c＝6，则9≤a＋b≤15，同理有2种， 共m与n的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为2＝56， 故所求概率为＝. 答案： 求古典概型概率的步骤 (1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意． (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件． (3)利用列举法或排列组合知识求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m. (4)计算事件A的概率P(A)＝. 　　　古典概型的交汇问题 ►[命题点1]　古典概型与平面向量相结合 [典例1]　(2025·兰州市模拟)如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点．在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量＝＋的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________． [解析]　基本事件的总数是4×4＝16，在＝＋中，当＝＋，＝＋，＝＋，＝＋时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－＝. [答案]　 　　 古典概型与平面向量交汇问题的处理方法 (1)根据平面向量的知识进行坐标运算，得出事件满足的约束条件； (2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合的结果； (3)利用古典概型概率计算公式求解概率． 1．(2025·武汉模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1(1，0).任取不同的两点Ai，Aj(i≠j，i，j∈{1，2，3，…，8})，点P满足＋＋＝0，则点P落在第一象限的概率是__________． 解析：因Ai，Aj是正八边形A1A2…A8的任意两个顶点，又＋＋＝0，即＝－(＋)， 则点P由Ai，Aj唯一确定， 从正八边形A1A2…A8的8个顶点中任取两点Ai，Aj的试验有C个基本事件，它们等可能， 点P落在第一象限的事件M，是取的两点分别为A5与A6，A5与A7，A6与A7，A4与A7，A5与A8确定的点P对应的事件，共5个，于是得P(M)＝＝， 所以点P落在第一象限的概率是. 答案： ►[命题点2]　古典概型与函数相结合 [典例2]　已知M＝{1，2，3，4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数的概率是(　　) A． B． C． D． [解析]　记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.当函数f(x)在R上为增函数时，f′(x)≥0在R上恒成立．又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥. 当b＝1时，有a≥，故a可取1，2，3，4，共4个数； 当b＝2时，有a≥，故a可取2，3，4，共3个数； 当b＝3时，有a≥3，故a可取3，4，共2个数； 当b＝4时，有a≥，故a无可取值． 综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9种． 又a，b∈{1，2，3，4}，所以所有的基本事件共有4×4＝16(种).故所求事件A的概率为P(A)＝. [答案]　A 　　 古典概型与函数交汇问题的处理方法 (1)首先根据函数的相关性质，确定相关系数应满足的条件； (2)再根据系数满足的条件进行分类考虑，求出所有符合条件的基本事件个数； (3)最后利用古典概型的概率计算公式求解概率. 2．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，则函数f(x)＝ax2＋bx＋1.在区间(－∞，－1]上是减函数的概率为________；从满足条件的所有函数f(x)中随机抽取两个，则它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率为________． 解析：函数f(x)共有4种可能，即(a，b)为(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3) . 由题意，f′(x)＝ax＋b, f′(－1)≤0，即b≤a时有3种：(2，1)，(4，1)，(4，3)， 所以函数f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率为. 而从满足条件的所有函数f(x)中随机抽取两个，共有C＝6种抽法． ∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b， ∴两个函数在(1，f(1))处的切线互相平行，即a与b之和应该相等， 此时只有(2，3)，(4，1)这两种，∴所求概率为. 答案：　 ►[命题点3]　古典概型与统计相结合 [典例3]　(2025·广西柳州质检)某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩(满分为100分)，按分数分为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求m的值，并求这100名学生成绩的中位数(保留一位小数)； (2)若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率． [解]　(1)依题意，(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋m＋0.005)×10＝1，解得m＝0.025. 前三组的频率为(0.005＋0.015＋0.020)×10＝0.4， 所以中位数为70＋×10≈73.3分． (2)的频率为0.25，的频率为0.05，两者的比例是5∶1， 所以抽取的6名学生中，中的有5人，记为1，2，3，4，5； 在中的有1人，记为6； 从中抽取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是：16，26，36，46，56，共5种，故所求概率为＝. 　　 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算． 3．(2025·全国模拟)某市于2024年举行第一届高中数学竞赛，竞赛结束后，为了了解该次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)请补全频率分布直方图并估计这1 000名学生的平均成绩； (2)采用分层随机抽样的方法从这1 000名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率． 解：(1)成绩落在[60，70)的频率为1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40，补全的频率分布直方图如图：这1 000名学生的平均成绩约为55×0.30＋65×0.40＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67(分). (2)抽取的40名学生中，成绩在[80，90)内的有1 000×0.1×＝4(人)，分别记为a1，a2，a3，a4，成绩在[90，100]内的有1 000×0.05×＝2(人)，分别记为b1，b2，从这6人中随机抽取2人的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)}．共有15个样本点，记事件A＝“至少有1名学生成绩不低于90分”，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)}，共有9个样本点．故所求概率为P(A)＝＝. 　　　相互独立事件的判定 [典例]　(1)如果A、B是独立事件，、分别是A、B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是(　　) A．P(A∩B)＝P(A)P(B) B．P(∩B)＝P()P(B) C．P(A∪B)＝P(A)＋P(B) D．P(∩)＝(1－P(A))(1－P(B)) [解析]　因为A、B是独立事件，、分别是A、B的对立事件，所以P(A∩B)＝P(A)P(B)，P(∩B)＝P()P(B)，P(∩)＝P()P()＝(1－P(A))(1－P(B))，即ABD一定成立． P(A∪B)＝P(AB)＋P(A)＋P(B)＝P(A)P(B)＋P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不一定成立． [答案]　C (2)设M，N为两个随机事件，给出以下命题：①若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝；②若P(M)＝，P(N)＝，P(M∩N)＝，则M，N为相互独立事件；③若P()＝，P(N)＝，P(M∩N)＝，则M，N为相互独立事件；④若P(M)＝，P()＝，P(M∩N)＝，则M，N为相互独立事件；⑤若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则M，N为相互独立事件．其中正确命题的个数为________． [解析]　若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝， 则P(M∪N)＝＋＝，故①正确； 若P(M)＝，P(N)＝，P(M∩N)＝， 则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故②正确； 若P()＝，P(N)＝，P(M∩N)＝，则P(M)＝1－P()＝，P(M∩N)＝P(M)·P(N)， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故③正确； 若P(M)＝，P()＝，P(M∩N)＝，当M，N为相互独立事件时，P(N)＝1－P()＝，P(M∩N)＝×＝，故④错误； 若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则P(M∩N)＝P(M)·P(N)＝，P()＝1－P(M∩N)， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故⑤正确． [答案]　4 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B). (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． (2025·江苏常州市第一中学模拟)袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出(　　) A．B与D相互独立 B．A与D相互独立 C．B与C相互独立 D．C与D相互独立 解析：C　[由题意可得：P(A)＝，P(B)＝， 有放回的随机取两次，每次取1个球，两次取出的球上数字之和是5的情况有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)共4种，所以P(C)＝＝；两次取出的球上数字之和是6的情况有(2，4)，(4，2)，(3，3)共3种，故P(D)＝＝，对于A，P(BD)＝＝，P(B)P(D)＝×＝ ，则P(BD)≠P(B)P(D)，故B与D不是相互独立事件，故A错误；对于B，P(AD)＝0，P(A)P(D)＝×＝，则P(AD)≠P(A)P(D)，故A与D不是相互独立事件，故B错误；对于C，P(BC)＝＝， P(B)P(C)＝×＝，则P(BC)＝P(B)P(C)，故B与C是相互独立事件，故C正确；对于D，P(CD)＝0，P(C)P(D)＝×＝ ，则P(CD)≠P(C)P(D)，故C与D不是相互独立事件，故D错误．] 　　　相互独立事件的概率的计算 [典例]　(2025·河北邢台期中)某档知识竞赛节目的规则如下：甲、乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜．已知甲、乙两人每次抢到题的概率都为，甲、乙两人每道题答对的概率分别为，，并且每道题两人答对与否相互独立． (1)求第一题结束时甲获得1分的概率； (2)求甲获得胜利的概率． [解]　(1)第一题结束时甲获得1分的概率为×＋×＝. (2)由(1)知，在每道题的抢答中甲、乙获得1分的概率分别为，， 两人共抢答了3道题，比赛结束且甲获胜的概率P1＝3＝， 两人共抢答了4道题，比赛结束且甲获胜的概率P2＝C3×＝， 两人共抢答了5道题，比赛结束且甲获胜的概率P3＝C3×2＝， 故甲获得胜利的概率P＝P1＋P2＋P3＝. 　　 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立．选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加． (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，.求他得分不低于10分的概率； (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为. 现有两种方案 方案一：依次做一道选择题两道填空题； 方案二：做三道填空题． 请你推荐一种合理的方式给小红． 解：(1)记“他得分不低于10分”为事件A，则P(A)＝××＋××＋××＋××＝＋＋＋＝＝. (2)记“方案一通过决赛”为事件B, 则P(B)＝×＋××＋××＝＋＋＝＝，记“方案二通过决赛”为事件C，则P(C)＝×＋××＋××＝＋＋＝＝， 因为P(C)＞P(B)，所以推荐方案二给小红． 学科网（北京）股份有限公司 $$