主题4 第10章 第3节 随机事件的概率(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第3节　随机事件的概率 1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算． 2．结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 3．通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则． 4．结合实例，会用频率估计概率． 一、随机现象与随机事件 1．随机现象 (1)确定性现象：在一定条件下必然出现的现象． (2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象. 2．样本空间 (1)样本空间：一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作Ω. (2)样本点：样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω． (3)有限样本空间：如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间． 3．随机事件 (1)随机事件：一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示． (2)必然事件：样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件． (3)不可能事件：空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件． 二、随机事件的运算 事件 内容 图示 交事件 (或积 事件) 一般地，由事件A和事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB).事件A∩B是由事件A和事件B所共有的样本点构成的集合． 续表 事件 内容 图示 并事件 (或和 事件) 一般地，由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生或 A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B). 事件A与事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的样本点构成的集合． 互斥 事件 一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝∅)称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件． 对立 事件 给定事件A，A不发生也是一个事件，记为B.若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作. 三、互斥事件的概率加法公式 1．如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．若是A的对立事件，则P()＝1－P(A)． 3．如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　 四、用频率估计概率 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A). 显然，0≤P(A)≤1，通常用频率估计概率． 　　 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 2．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数． 3．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 4．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 5．当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)“明天会下雨”是随机事件．(　　) (2)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件．(　　) (3)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(　　) (4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　) (5)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　) (6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　) (7)事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× (6)√　(7)× ◆[小题查验] 1．(多选)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝{“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6}；D1＝{“点数不大于2”}，D2＝{“点数大于2”}，D3＝{“点数大于4”}．则下列结论正确的是(　　) A．C1与C2互斥　　　　B．C2，C3为对立事件 C．D2∪D3＝D2 D．D2∩D1＝D3 答案：AC 2．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 下列选项正确的是(　　) A．A∪B＝C　　　　　B．B∪D是必然事件 C．A∩B＝C D．A∩D＝C 解析：AB　[对于A选项，事件A∪B指至少有一件次品，即事件C，故A正确；对于B选项，事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件A∩B＝∅，故C错误；对于D选项，事件A∩D指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．] 3．(混淆对立事件和互斥事件的概念致误)关于事件A，B的以下结论，其中一定正确的为(　　) A．若A，B为对立事件，则A，B可能不是互斥事件 B．若A，B为对立事件，则A，B必为互斥事件 C．若A，B为互斥事件，则A，B必为对立事件 D．若A，B为互斥事件，则A，B不可能为对立事件 解析：B　 [因为对立事件一定是互斥事件，所以B正确，A错误；又因为互斥事件可能是对立事件也可能不是对立事件，所以C，D错误．] 4．(BSD必修第一册P186例2改编)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1，若反面向上则记为0，则这个试验的样本空间中有________个样本点． 解析：这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，0，0)}，共8个样本点． 答案：8 5．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，则命中的环数小于9环的概率为________． 解析：命中的环数小于9环的概率为P＝0.1＋0.15＋0.25＝0.5. 答案：0.5 　　　随机事件与样本空间 1．下列事件中不是确定事件的个数是(　　) ①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；②水中捞月；③守株待兔；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量 A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：B　[三角形三条高线一定交于一点，则①是必然事件； ②水中捞月是不可能事件；③守株待兔是随机事件，不是确定事件；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是随机事件，不是确定事件．] 2．(2025·全国模拟)利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色(不考虑指针落在分界线上的情况).事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示A∩B，A∪B. 解：由题可得： 转盘①转出的颜色 红 黄 蓝 转盘②转 出的颜色 蓝 (红，蓝) (黄，蓝) (蓝，蓝) 黄 (红，黄) (黄，黄) (蓝，黄) 红 (红，红) (黄，红) (蓝，红) 绿 (红，绿) (黄，绿) (蓝，绿) 紫 (红，紫) (黄，紫) (蓝，紫) 由表可知，共有15种等可能的结果， 其中A＝{(黄，蓝), (黄， 黄), (黄， 红), (黄， 绿), (黄， 紫)}， B＝{(红，绿), (黄，绿), (蓝，绿)}，所以A∩B＝{(黄，绿)}， A∪B＝{(黄，蓝), (黄， 黄), (黄， 红), (黄， 绿), (黄， 紫), (红，绿), (蓝，绿)}． 1．判断事件类型要看事件的发生是否具有随机性，搞清事件的条件． 2．确定样本空间的方法 (1)必须明确事件发生的条件； (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 　　　随机事件之间关系的判断 1．(2025·浙江省桐庐中学模拟)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A＝“向上的点数为3”，B＝“向上的点数为6”，C＝“向上的点数为3或6”，则有(　　) A．A⊆B B．C⊆B C．A∩B＝C D．A∪B＝C 解析：D　[对于A，事件A＝“向上的点数为3”发生，事件B＝“向上的点数为6”一定不发生，故选项A不正确；对于B，事件C＝“向上的点数为3或6”发生，事件B＝“向上的点数为6”不一定发生，但事件B＝“向上的点数为6”发生，事件C＝“向上的点数为3或6” 一定发生，所以B⊆C，故选项B不正确；对于C，事件A和事件B不能同时发生，A∩B＝∅，故选项C不正确；对于D，事件A＝“向上的点数为3”或事件B＝“向上的点数为6”发生，则事件C＝“向上的点数为3或6”发生，故选项D正确．] 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则P(B)＝0 B．若事件A，B，C两两互斥，则事件A与B∪C互斥 C．若事件A与B对立，则P(A∪B)＝1 D．若事件A与B互斥，则它们的对立事件也互斥 解析：ABC　[若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则A为必然事件，故B为不可能事件，则P(B)＝0，故A正确；若事件A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不能同时发生，则事件A与B∪C也不可能同时发生，则事件A与B∪C互斥，故B正确；若事件A与B对立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，故C正确；若事件A，B互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误．] 事件间关系的判断方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系． 提醒：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 　　　随机事件的频率与概率 [典例]　某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表： 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表： 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 ①分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； ②分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？ [解]　①由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4； 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28. ②由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为： 利润 65 25 －5 －75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为＝15. 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为： 利润 70 30 0 －70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 ＝10. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务． 　　 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”． (2025·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2023年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为[0.3，0.4)，[0.4，0.5)，[0.5，0.6)，[0.6，0.7)，[0.7，0.8)，[0.8，0.9]，购物金额的频率分布直方图如下： 电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下： 购物金 额分组 [0.3，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.8) [0.8，0.9] 发放 金额 50 100 150 200 (1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数； (2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率． 解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表： x 0.3≤x <0.5 0.5≤ x<0.6 0.6≤x <0.8 0.8≤x ≤0.9 y 50 100 150 200 频率 0.4 0.3 0.28 0.02 这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96. (2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知 P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3. 　　　互斥事件与对立事件的概率 [典例]　经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下： 排队 人数 0 1 2 3 4 5人及 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)至少3人排队等候的概率． [解]　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥． (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56，故至多2人排队等候的概率为0.56. (2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 故所求概率为0.44. 求复杂互斥事件概率的两种方法 (1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算． (2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便． 1．(2025·河南商丘模拟)已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A，取出黑球为事件B，随机事件C与B对立．若P(A＋B)＝0.5，则P(C)＝(　　) A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8 解析：C　[由题意可知，P(A)＝＝0.2. 因为A与B互斥且P(A＋B)＝0.5，故P(B)＝0.3. 又因为随机事件C与B对立，所以P(C)＝1－0.3＝0.7.] 2．(2025·郑州模拟)某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%. (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak＝“一年内需要维修k次”，k＝0，1，2，3，请填写下表： 事件 A0 A1 A2 A3 概率 事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥？ (2)求下列事件的概率： ①A＝“在1年内需要维修”； ②B＝“在1年内不需要维修”； ③C＝“在1年内维修不超过1次” . 解：(1)因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， 则有P＝0.15，P＝0.06，P＝0.04， 显然事件A0，A1，A2，A3中，任意两个不可能同时发生，因此事件A0，A1，A2，A3两两互斥， 于是得P＝1－＝0.75， 填表如下： 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 所以事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥． (2)①由(1)知，“在1年内需要维修”的事件，即事件A1，A2，A3至少有一个发生，而它们两两互斥， 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝0.25. ②“在1年内不需要维修”的事件，即事件A0发生，所以P＝P＝0.75. ③“在1年内维修不超过1次”的事件，即事件A0，A1至少发生一个， 所以P＝P＝P＋P＝0.9. 学科网（北京）股份有限公司 $$