主题4 第10章 第2节 二项式定理(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第2节　二项式定理 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理及相关概念 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)称为二项式定理 二项 式系数 各项系数C(k＝0，1，2，…，n)称为二项式系数 二项 式通项 Can－kbk称为二项展开式中第k＋1项，可记作Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋) 二项 展开式 Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋) 备注 在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn(n∈N＋) 2.二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C. (2)增减性与最大值：当k< 时，C随k的增加而增大；当k> 时，C随k的增加而减小． 当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 Cn与Cn相等，且同时取得最大值． (3)二项式系数的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1． 　　 1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0，1，…，n). 4．(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1. (3)C＋2C＋3C＋…＋nC＝n2n-1. (4)CC＋CC＋…＋CC＝C. (5)(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　) (2)通项Can－kbk中的a和b不能互换．(　　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　) (4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　) (5)C－2C＋3C－…＋(－1)n-1nC＝0.(　　) (6)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．的展开式中的中间项为(　　) A．　　　　　　　　B．x－ C．－7 D．－7x－ 解析：B　[由题意得中间项为C·()4·＝x－.] 2．(BSD选择性必修第一册P171例4改编)展开式中的常数项是(　　) A．189　　　B．63　　　C．42　　　D．21 解析：D　[展开式的通项为Tk＋1＝C(3x3)7-k·＝37-k·Cx21-r，令21－k＝0，解得k＝6，所以常数项为3C＝21.] 3．(二项式系数与展开式的系数混淆致误)若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为(　　) A．－1 B．1 C．27 D．－27 解析：A　[依题意，得二项式系数的和为2n＝8，所以n＝3，故二项式为，令x＝1，可求得系数之和为(1－2)3＝－1.] 4．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析：B　[当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②；①＋②得原式＝41.] 5．在(1＋x)5＋(1－x)6展开式中，含x4的项的系数是__________． 解析：(1＋x)5的展开式中x4的系数为C＝5， (1－x)6的展开式中x4的系数为C＝15， 故在(1＋x)5＋(1－x)6展开式中，含x4的项的系数为20. 答案：20 　　　　二项展开式中特定项或系数问题 1．在的展开式中，x2的系数为______． 解析：展开式的通项公式 Tk＋1＝C(2x3)6-k ＝(－1)k×26-k×C×x18-4k， 令18－4k＝2，可得k＝4， 则x2项的系数为(－1)4×26-4×C＝4×15＝60. 答案：60 2．(2024·天津卷)在6的展开式中，常数项为________． 解析：因为6的展开式的通项为Tr＋1＝C6-rr＝36-2rCx6，r＝0，1，…，6，令6＝0，可得r＝3， 所以常数项为30C＝20. 答案：20 3．(2025·黑龙江哈尔滨市模拟)求二项式展开式的第7项及含x9的项的系数． 解：二项式展开式的通项为 Tk＋1＝C(x2)9-k＝Cx18-2kx－k＝Cx18-3k， 所以展开式的第7项为T7＝C(x2)3·＝84x6·x-6＝， 令18－3k＝9，所以k＝3，所以含x9的项的系数为C＝－. 求二项展开式中的项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析． (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围． 提醒：二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念．一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负号)，它与a，b的取值有关，而二项式系数与a，b的取值无关． 　　　二项式系数及项的系数问题 ►[命题点1]　二项式系数和与系数和 [典例1]　(2025·湖南期中)已知n展开式中的第四项为常数项． (1)求n的值； (2)求展开式中所有项的系数和以及所有项的二项式系数和． [解]　(1)由题意得：第四项T4＝Cn-33＝－8Cx-3为常数项． ∴－3＝0， ∴n＝9. (2)令x＝1，可得展开式中所有项的系数和为9＝－1. 展开式中所有项的二项式系数和为29＝512. 要注意区分二项式系数和项的系数，二项式系数和利用C＋C＋C＋…＋C＝2n.求解， 展开式中各项系数的和利用赋值x＝1求解． 1．已知(n∈N＋)的展开式中各项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为(　　) A．－70　　B．70　　C．－40　　D．30 解析：B　[依题意可得2n＝256，所以n＝8， 则展开式的通项为 Tk＋1＝Cx8-k＝Cx8-2k(－1)k， 令8－2k＝0，解得k＝4，所以展开式中常数项为T5＝Cx0(－1)4＝70.] ►[命题点2]　二项式系数的最值问题 [典例2]　(2024·全国甲卷)10的展开式中，各项系数中的最大值为________． [解析]　由题展开式通项公式为Tr＋1＝C10-rxr，0≤r≤10且r∈Z， 设展开式中第r＋1项系数最大， 则 解得即≤r≤，又r∈Z，故r＝8， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C2＝5. [答案]　5 　　 1．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，则中间两项 的二项式系数相等并最大． 2．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得． 2．(2023·上海卷)已知(1＋2 023x)100＋(2 023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a99x99＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若k∈{0，1，2，…，100}且ak＜0时，则k的最大值是________． 解析：ak＝C(2 023 x)k＋(－1)kC·2 023100-kxk＜0，依题意k为奇数，∴2 023k＜2 023100-k，k＜100－k⇒k＜50⇒kmax＝49. 答案：49 ►[命题点3]　系数最大问题 [典例3]　(2025·全国模拟)若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为(　　) A．(2，3) B． C．[2，3] D． [解析]　由于二项式(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512， 所以2n＝512，n＝9，即(2＋ax)9(a≠0)， 展开式的通项公式为C·29-k·(ax)k＝ak·29-k·C·xk， 依题意可知 解得2≤a≤3. [答案]　C 　　 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，一般需根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式组并求解的方法求得． 3．(2025·江西抚州模拟)已知(1－3x)n的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为________． 解析：令x＝1，则(1－3x)n的展开式各项系数之和为(－2)n＝64＝26，则n＝6； 由(1－3x)n的展开式通项公式Tk＋1＝C(－3)kxk知二项展开式的系数最大项在奇数项， 设二项展开式中第k＋1项的系数最大， 则 化简可得 经验证可得r＝4， 则该展开式中系数最大的项为T5＝C(－3)4x4＝1 215x4. 答案：1 215x4 ►[命题点4]　各项的系数和问题 [典例4]　(2025·广东南海中学模拟)已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024(x∈R)，求解： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a2 024； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a2 023； (3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|； (4)a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024. [解]　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝(－1)2 024＝1①. (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＋a2 024＝32 024②.由①－②得2(a1＋a3＋a5…＋a2 023)＝1－32 024，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝. (3)相当于求展开式(1＋2x)2 024的系数和，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝32 024. (4)(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024(x∈R)两边分别求导得：－4 048(1－2x)2 023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023(x∈R)，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＝4 048. 　　 赋值法研究二项式的系数和问题 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 4．(2022·浙江卷)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 解析：由题a2＝1×C(－1)3＋2×C·(－1)2＝8， 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0， 又a0＝2，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 答案：8　－2 　　　 多项式展开式中的特定项或系数问题 ►[命题点1]　几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 [典例1]　＋的展开式中的常数项为(　　) A．32 B．34 C．36 D．38 [解析]　　的展开式的通项为Tm＋1＝C(x3)4-m·＝C(－2)mx12-4m，令12－4m＝0，解得m＝3，的展开式的通项为Tn＋1＝Cx8-n＝Cx8-2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常数项为C(－2)3＋C＝38. [答案]　D 　　 对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可． 1．(2025·台州市模拟)在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项的系数为________． 解析：在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项为C(2x)2－C(2x)2＋C(2x)2－C(2x)2＋C(2x)2－C(2x)2＋C(2x)2， 则含x2项的系数为4(1－3＋6－10＋15－21＋28)＝64. 答案：64 ►[命题点2]　几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 [典例2]　(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________．(用数字作答) [解析]　因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8， 所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6， (x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28. [答案]　－28 　　 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，把每一个因式用二项展开式展开，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 2．(2025·深圳富源学校期中)(x2＋2)的展开式中所有项的系数和与常数项分别为(　　) A．3，260 B．－3，260 C．3，－260 D．－3，－260 解析：C　[令x＝1，则(x2＋2)＝3×1＝3， 所以(x2＋2)的展开式中所有项的系数和为3； 因为的展开式中含的项为C·(2x)2·＝， 的展开式中常数项为C·(2x)3·＝－160， 所以(x2＋2)的展开式中常数项为60＋2×(－160)＝－260， 所以(x2＋2)的展开式中所有项的系数和与常数项分别为3；－260.] ►[命题点3]　三项展开式中特定项(系数)问题 [典例3]　(2025·河南模拟)7的展开式中x2y3的系数为________． [解析]　7的通项公式为Tr＋1＝C·7-r·r， 当r＝3时，T3＋1＝C·3·4·y3，4中，含x2项的系数为C·x3·＝2x2， 所以展开式中x2y3的系数为C·3·2＝－560. [答案]　－560 　　 对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，把其中两项看作整体展开，再把这两项继续展开，要注意各参数的取值范围，适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 3．(2025·江苏模拟)5的展开式中x6y2的系数为________．(用数字作答) 解析：5可看作5个(2x2＋x－y)相乘，有2个括号提供－y，还有3个括号都是2x2， 则C(－y)2·C3＝80x6y2，系数为80. 答案：80 学科网（北京）股份有限公司 $$