主题4 第10章 第1节 计数原理、排列与组合(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 第1节　计数原理、排列与组合 1．理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原理). 2．能正确区分“类”和“步”，并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题． 3．理解排列、组合的概念及排列数与组合数公式，并能用其解决一些简单的实际问题． 一、计数原理 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 定义 分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称“加法原理”) 分步乘法计数原理　完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种方法．(也称“乘法原理”) 区别 各种方法彼此互斥，用其中任何一种方法都可以完成这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事 二、排列与组合 排列与排列数 组合与组合数 定义 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C 续表 排列与排列数 组合与组合数 公 式 排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)] 组合数公式C＝ ＝ ＝ 性 质 A＝n(n－1) (n－2) ·…·2·1，记作n！.规定：①A＝1.②0！＝1 规定：C＝1. C＝C； C＋C＝C 备注 n，m∈N＋，并且m≤n n，m∈N＋，并且m≤n 　　 解决排列组合问题“四项基本原则” (1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置． (2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列． (3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题． (4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　) (3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　) (4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　) (5)A＝nA.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3) ×　(4) √　(5)√ ◆[小题查验] 1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是(　　) A．5　　　B．6　　　C．11　　　D．30 解析：D　[根据分步乘法计数原理不同的取法种数为5×6＝30种．] 2．有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(　　) A．36种 B．48种 C．72种 D．96种 解析：C　[恰有两个空座位相邻，相当于两个空座位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共有AA＝72(种)坐法．] 3．(多选)已知A－A＋0！＝4，则m的可能取值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：CD　[因为A－A＋0！＝4，所以A－×6＋1＝4，所以A＝6， 其中m∈N，m≤3，而A＝1，A＝3，A＝A＝6，所以m的值可能是2或3.] 4．(BSD选择性必修第一册P164习题5－2A组T3改编)“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》《春秋》分开排的情况有________种． 解析：先将《周易》《尚书》《礼记》进行排列，共有A种排法，再从产生的4个空位中选2个按排《诗经》《春秋》，共有A种排法，所以满足条件的情形共有AA＝72(种). 答案：72 5．(重复计算或漏算导致错误)4名考生在三道选做题中任选一道进行做答，则这三道题都有人选做的方法为________ 解析：4个人做三道题目，每题至少一人，则必有一个题目有两个人做，因此要先将四个人分成三组，然后再排列，方法数为CA＝36. 答案：36 　　　计数原理及应用 1．算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2 600多年的历史．现有一算盘，取其两档(如图1)，自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1(如图2算盘表示整数51).若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为(　　) A．6　　　 B．8　　　 C．10　　　 D．15 解析：B　[拨动两枚算珠可分为以下三类 (1)在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数． (2)同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数． (3)在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示2×2＝4个不同整数．所以，根据分类加法计数原理，一共可表示2＋2＋4＝8个不同整数．] 2．(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 [考题解读]　本题以志愿者参加公益活动为情境设题，考查排列、组合知识，课标中对排列、组合的要求是“通过实例，理解排列、组合的概念”，这也就意味着该考点多以生产、生活中的实际问题为背景在试卷中出现，在备考中，多关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展、体育精神等各个方面，并从中提炼出具有社会价值的数学应用背景． 解析：B　[不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A＝12种方法， 同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60种．] 3．(2025·湖北车城模拟)现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有(　　) A．720种 B．1 440种 C．2 880种 D．4 320种 解析：D　[根据题意分步完成任务： 第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法； 第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法； 第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法； 第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法； 所以不同的涂色方法：6×5×4×3×4×3＝4 320(种).] 4．(2025·烟台模拟)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答). 解析：①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960. ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120. 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个). 答案：1 080 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)分类要做到不重不漏． 　　　排列问题 1．(2025·山东淄博期中)某同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前六个数字3、1、4、1、5、9进行某种排列得到密码，要求两个1必须相邻，那么可以设置的不同密码有(　　) A．120种 B．240种 C．60种 D．30种 解析：A　[根据题意，将2个1捆绑在一起，再与其余4个数字全排列， 所以共有A＝120种不同的密码．故选A.] 2．(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 解析：B　[先利用捆绑法排乙丙丁戊四人，再用插空法选甲的位置，则有AAC＝24(种).] 3．某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科).根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节，物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为(　　) A．36 B．48 C．144 D．288 解析：D　[先将语文、数学、英语排在第二节，有A＝6(种)排法，将物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有AAA＝8(种)排法，将捆绑后的三个元素排在三天，有A＝6(种)排法，则不同的排课方案的种数为6×8×6＝288(种).] 4．(2025·河南模拟)某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为(　　) A．72 B．96 C．120 D．144 解析：D　[第一步：全排列2个语言类的节目，共有A种情况， 第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有A种情况， 第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列， 共有A种情况，所以N＝AAA＝144.] 求解排列应用问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 　　　组合问题 [母题]　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ [解]　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)取法， ∴某一种假货必须在内的不同取法有561种． (2)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100(种)取法． ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种． (3)法一(直接法)：恰好2种假货有CC种选法，恰好3种假货有C种选法， 因此，选取方式共有CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种). ∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种． 法二(间接法)：没有假货有C＝1 140种选法，恰好1种假货有CC＝2 850种选法，而从35种商品中选取3种有C＝6 545种选法， ∴至少有2种假货在内的不同的取法有6 545－1 140－2 850＝2 555(种). [子题1]　在母题条件下，若其中某一种假货不能在内，则不同的取法有多少种？ 解：从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种)取法． ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种． [子题2]　在母题条件下，若至多有2种假货在内，则不同的取法有多少种？ 解：法一(间接法)：选取3种的总数为C， 因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种). ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种． 法二(直接法)：选取3种真货有C种，选取2种真货有CC种，选取1种真货有CC种， 因此共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种). ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种． 　　 组合问题常有以下两类题型 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 　提醒：区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关． 1．教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有(　　) A．8种 B．10种 C．14种 D．20种 解析：C　[分两种情况，第一种：1家企业接待1名校长，1家企业接待3名校长，共有CCA＝8(种)方法；第二种：每家企业均接待2名校长，共有CC＝6(种)方法，所以共有8＋6＝14(种).] 2．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答). 解析：当从这8门课中选修2门课时，共有C·C＝16(种)；当从这8门课中选修3门课时，共有C·C＋C·C＝48(种)；综上可知，共有64种不同的选课方案． 答案：64 　　　分组分配问题 ►[命题点1]　整体均分问题 [典例1]　数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　) A．A种 B．CCC34种 C．43种 D．CCC43种 [解析]　法一：首先将12名同学平均分成四组，有种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有·A·34＝CCC34(种). 法二：根据题意可知，第一组分3名同学有C种分法，第二组分3名同学有C种分法，第三组分3名同学有C种分法，第四组分3名同学有C种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有CCC34种． [答案]　B 　　 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． 1．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法． 解析：先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90(种)分派方法． 答案：90 ►[命题点2]　部分均匀问题 [典例2]　(2025·贵州模拟)为有效阻断某病毒传播途径，构筑好免疫屏障，某市启动该病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种．该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有(　　) A．2 940种 B．3 000种 C．3 600种 D．5 880种 [解析]　根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2， 故不同的安排方法共有A＝2 940(种). [答案]　A 　　 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． 2．(2025·南昌市新建区模拟)五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置．学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是(　　) A．360 B．240 C．150 D．90 解析：C　[先分类再分配第一步分两类2，2，1和3，1，1，则分类方法有＋C种； 第二步分配给三名学生有A种分法． 由分步乘法计数原理得N＝A＝150(种).] ►[命题点3]　不等分问题 [典例3]　中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是(　　) A．180 B．240 C．320 D．360 [解析]　若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法种数是·A＝30， 若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法种数是CCCA＝240， 若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法种数是·A＝90，故不同的安排方法种数是360. [答案]　D 　　 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 3．(2025·江苏南通一模)把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为(　　) A．70 B．99 C．110 D．165 解析：D　[当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有CC＝42种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有CC＝84种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有C＝35种分法． 因此把8个相同的蓝球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数有：4＋42＋84＋35＝165.故选D.] 学科网（北京）股份有限公司 $$