主题4 第9章 第3节 成对数据的统计分析(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第3节　成对数据的统计分析 1．结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对样本数据的相关性． 2．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 4．通过实例，理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用． 一、相关关系 1．两个变量有关系，但又没有确切到由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．散点图 将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来， 每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图． 3．直线拟合 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合．若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合． 二、一元线性回归方程 1．最小二乘法 对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1，2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能小．为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小．这个方法称为最小二乘法． 2．用向量的方法可得使[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小的a，b取值为 其中，＝(x1＋x2＋…＋xn)，＝(y1＋y2＋…＋yn)． 这时直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线(如图)，，是这个线性回归方程的系数． 三、相关系数及其范围 1．相关系数 一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)， 记r＝ ＝， 称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数． 为了计算的方便，我们再给出如下式子：r＝ 样本(线性)相关系数r的取值范围为[－1，1]. 2．相关系数的应用 |r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强； |r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱． 当r＞0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量正相关；当r＜0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量负相关；当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关． 四、独立性检验 1．分类变量 (1)分类变量：用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量． (2)取值：分类变量的取值可以用实数表示． 2．2×2列联表 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值， 变量A∶A1，A2＝1； 变量B∶B1，B2＝1. 通过观察得到如下表所示的数据： 　　　B　 A　　 B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据． 设n＝a＋b＋c＋d，用估计P(A1B1)，估计P(A1)， 估计P(B1). 若有式子＝·，则可以认为A1与B1独立． 根据2×2列联表中的数据来判断两个分类变量是否有关系，即它们是否独立，这一问题称为2×2列联表的独立性检验． 3．独立性检验的基本思想 计算随机变量χ2＝. 统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1).当χ2较大时，说明变量之间不独立．在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断． (1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； (2)当χ2＞2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联； (3)当χ2＞3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联； (4)当χ2＞6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联． 　　 1．求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本中心点(，). 2．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大． 3．根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系去表示．(　　) (2)线性回归方程Y＝X＋恒过样本中心点(，)，且至少过一个样本点．(　　) (3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(　　) (4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越大．(　　) (5)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[小题查验] 1．(多选)下列散点图中，变量X，Y可用直线拟合的是(　　) 解析：AB　[由题可知A，B中的点落在一条直线附近，故其变量X，Y有近似的线性关系；C，D中的点没有落在一条直线附近，故其变量X，Y不具有近似的线性关系．] 2．(多选)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，利用最小二乘法得到两个变量的线性回归方程为Y＝X＋，那么下列说法正确的是(　　) A．相关系数r不可能等于1 B．直线Y＝X＋必经过点(，) C．直线Y＝X＋表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 D．相关系数为r，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 解析：BCD　[相关系数的取值范围是|r|≤1，故A错；直线Y＝X＋必过样本点中心即点(，)，故B正确；直线Y＝X＋是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，故D正确．] 3．(BSD选择性必修第一册P250习题7－3T3改编)随着国家三胎政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表： 　　城市级别 生育意愿　　　 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 n＝100 计算得χ2＝≈9.616. 则有________的把握认为生育意愿与城市级别有关． 答案：99% 4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程Y＝0.67X＋54.9. 零件数X (个) 10 20 30 40 50 加工时间Y (min) 62 75 81 89 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________． 解析：由＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a， 则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68. 答案：68 5．(忘记回归直线过样本中心致错)某单位为了了解用电量(度)与当天平均气温(℃)之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量(如表).由数据运用最小二乘法得线性回归方程Y＝－2X＋a，则a________． 平均气温X(℃) 18 13 10 －1 用电量Y(度) 25 35 37 63 解析：＝＝10， ＝＝40，样本中心为(10，40)，回归直线经过样本中心，所以40＝－2×10＋a⇒a＝60. 答案：60 　　　相关关系的判断 1．(2024·天津卷)下列图中，线性相关性系数最大的是(　　) 　　　 　　　A　　　　　　　　B 　　　 　　　C　　　　　　　　D 解析：A　[观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.故选A.] 2．(2025·陕西宝鸡模拟)对两个变量X，Y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.899 5，对两个变量U，V进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　) A．变量X与Y正相关，变量U与V负相关，变量X与Y的线性相关性较强 B．变量X与Y负相关，变量U与V正相关，变量X与Y的线性相关性较强 C．变量X与Y正相关，变量U与V负相关，变量U与V的线性相关性较强 D．变量X与Y负相关，变量U与V正相关，变量U与V的线性相关性较强 解析：C　[依题意：r1＝0.899 5，r2＝－0.956 8，所以X，Y正相关，U，V负相关，|r1|＜|r2|＜1，所以U，V的线性相关性较强．] 3．(多选)(2025·广东潮州模拟)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有(　　) A.r1＜r4　　　　　　B．r2＜r3 C．r3＞0 D．r4＞0 解析：AC　[由图形特征可知r1，r4都是负相关，都是负数，r1比r4的相关系数更强，所以r1＜r4＜0，r2，r3都是正相关，r2比r3的相关系数更强，所以0＜r3＜r2.] (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关． (2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关． (3)线性回归方程中：>0时，正相关；<0时，负相关． 　　　回归分析 ►[命题点1]　线性回归分析 [典例1]　随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用愈来愈多，每年春暖以后至寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫．已知一只药用昆虫的产卵数Y(单位：个)与温度X(单位：℃)有关，于是科研人员在3月份中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据，如表所示． 日期 2日 7日 15日 22日 30日 温度X/℃ 10 11 13 12 6 产卵数Y/个 21 25 30 26 13 科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立Y关于X的线性回归方程，再用选取的2组数据进行检验． (1)若选取的是2日与30日这2组数据，请根据7日、15日和22日这3组数据，求出Y关于X的线性回归方程； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的．试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？ 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. [解]　(1)根据表格中7日、15日和22日的数据，可得＝(11＋13＋12)＝12，＝(25＋30＋26)＝27， (xi－)(yi－)＝5， (xi－)2＝2， 所以＝＝，所以＝－＝27－×12＝－3， 所以Y关于X的线性回归方程为Y＝X－3； (2)当x＝10时，y＝×10－3＝22，|22－21|＜2； 当x＝6时，y＝×6－3＝12，|12－13|＜2， 所以(1)中所得的线性回归方程是可靠的． 　　 1．在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． 2．正确运用计算，的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．并充分利用回归直线Y＝X＋必过样本点的中心(，)进行求值． 1．(2025·成都诊断性考试)近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．在对某品牌10个子工厂投资及利润的统计后，得到如下表格，xi，yi分别表示第i个子工厂的投资(单位：万元)和纯利润(单位：万元). 投入xi/万元 32 31 33 36 37 38 39 43 45 46 纯利润yi/万元 25 30 34 37 39 41 42 44 48 50 (1)依据表中的统计数据，请判断投资x与纯利润y是否具有较强的线性相关程度？(参考：若0.30<<0.75，则线性相关程度一般；若≥0.75，则线性相关程度较强．计算r时精确度为0.01) (2)求y关于x的线性回归方程(精确到0.01). 参考数据：xi＝380，yi＝390，2＝254，2＝546，＝355，≈186.20. 参考公式：相关系数r＝，对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解：(1)依题意知2＝254，2＝546，＝355， 所以相关系数r＝＝ ＝≈0.95>0.75， 所以y与x之间具有较强的线性相关关系． (2)依题意知＝＝≈1.40， 又因为xi＝380，yi＝390， 所以＝38，＝39， 所以＝－≈39－×38≈－14.11， 所以y关于x的线性回归方程为y＝1.40x－14.11. ►[命题点2]　非线性回归分析 [典例2]　(2025·河南商丘模拟)5G网络是指第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传输速度快，峰值传输速度可达每秒钟数十GB.作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备远不止智能手机，而是会扩展到未来的智能家居，智能穿戴等设备．某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该公司1月份至6月份的经济收入Y(单位：万元)关于月份X的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图． 月份X 1 2 3 4 5 6 收入Y 6 11 23 37 72 124 (1)根据散点图判断，y＝ax＋b与y＝cedx(a，b，c，d均为常数)哪一个更适合作为经济收入Y关于月份X的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)? (2)根据(1)的结果及表中数据，求Y关于X的回归方程(结果保留两位小数)； (3)根据(2)所求得的回归方程，预测该公司7月份的经济收入(结果保留两位小数). 参考公式及参考数据：回归方程Y＝X＋中斜率和截距的最小二乘估计公式为：＝＝，＝－； (xi －)2 (xi －) (yi－) (xi －) (ui－) e5.48 3.5 45.5 3.34 17.5 393.5 10.63 239.85 其中u＝ln y，ui＝ln yi(i＝1，2，3，4，5，6). [解]　(1)由散点图可知，y＝cedc更适合作为经济收入y关于月份x的回归方程类型． (2)y＝cedx的两边取自然对数，得ln y＝ln c＋dx.因为＝3.5，＝3.34， (xi－)2＝17.5， (xi－)(ui－)＝10.63，所以＝＝≈0.61，ln c＝－≈3.34－0.61×3.5＝1.205≈1.21，所以c≈e1.21，所以经济收入Y关于月份X的回归方程为Y＝e1.21+0.61X. (3)当X＝7时，y＝e1.21+0.61×7＝e5.48≈239.85.预测该公司7月份的经济收入约为239.85万元． 　　 非线性回归分析问题的处理方法 (1)描点，选模．画出已知数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合最好的函数． (2)解模．先对变量进行适当地变换，再利用线性回归模型来解模． (3)比较检验．通过回归分析比较所建模型的优劣. 2．(2025·河北承德模拟)某制造企业从生产的产品中随机抽查了1 000件，经检验，其中一等品有800件，二等品有150件，次品有50件．若销售1件该产品，一等品的利润为200元，二等品的利润为100元，次品直接销毁，亏损200元． 根据统计，该制造企业在2022年12月至2023年5月的产量Y(万件)与月份编号X(记2022年12月，2023年1月，...编号分别1，2，…)近似满足关系式y＝b·xa(a＞0，b＞0)，相关统计量的值如下：ln xi＝6.60，ln yi＝－2.70， (ln xi)2＝9.46， (ln xi·ln yi)＝－1.87，e≈2.7.根据所给的统计量，求Y关于X的回归方程，并估计该制造企业2023年8月份的利润为多少万元(结果精确到0.01). 附：对于一组数据(ui，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线V＝U＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，α＝－ 解：因为y＝b·xa(a＞0，b＞0)， 所以ln y＝ln (b·xa)＝ln b＋a ln x. 令v＝ln y，u＝ln x，则v＝ln b＋au. 因为 (ln xi)＝ui＝6.60， (ln yi)＝vi＝－2.70， (ln xi)2＝u＝9.46， (ln xi·ln yi)＝ (ui·vi)＝－1.87， 所以＝1.10，＝－0.45， ＝＝＝， 因为ln b＝－＝－0.45－×1.10＝－1， 所以b＝，所以回归方程为Y＝. 当x＝9时，y＝≈1.11， 故估计该制造企业2023年8月份的利润为1.11×165＝183.15万元． ►[命题点3]　相关系数的计算 [典例3]　(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3).得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横 截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得x＝0.038，y＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r＝，≈1.377. [解]　(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝＝0.06， 样本中10棵这种树木的材积量的平均值＝＝0.39， 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2， 平均一棵的材积量为0.39 m3. (2)r＝ ＝ ＝ ＝≈≈0.97， 则r≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得＝，解得Y＝1 209 m3. 则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3. 　　 利用相关系数公式r＝.可计算两个变量的相关系数，并利用其大小判断两个变量的相关性，进行回归分析． 3．(2025·天津期末)学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：＝4，＝19，x＝140，y＝2695，xiyi＝600，≈2.45， 相关系数r＝＝· 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是________相关(填“正”或“负”)，其相关系数r≈________(结果保留两位小数). 解析：由表中数据得y随x的增大而增大， 所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关， r＝· ＝×＝×≈≈0.99. 答案：正　0.99 　　　独立性检验 [典例]　(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：K2＝ P 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得K2＝＝＝4.6875， 因为3.841<4.6875<6.635， 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异． (2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64， 用频率估计概率可得＝0.64， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5， 则p＋1.65＝0.5＋1.65≈0.5＋1.65×≈0.568， 可知>p＋1.65， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了． 的值是正确判断的前提．Ｋ (2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：χ2＝ P(χ2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解：(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则P(M)＝＝； B共有班次240次，准点班次有210次， 设B家公司长途客车准点事件为N，则P(N)＝＝. A家公司长途客车准点的概率为； B家公司长途客车准点的概率为. (2)列联表 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 χ2＝ ＝≈3.205＞2.706， 根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 学科网（北京）股份有限公司 $$