主题3 第8章 热点强化课9 第1课时 最值、范围、证明问题(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第1课时　最值、范围、证明问题 圆锥曲线中的最值、范围问题及证明问题是高考考查的重点与热点，最值、范围问题常常通过可以建立目标函数，通过研究函数的性质求解，也利用三角函数有界性求解，还可以数形结合利用几何性质求解. ►[命题点1]　代数法求最值 [例1]　(2025·南昌月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，焦距长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)已知点A，点G为椭圆C上一点，求△AGF2周长的最大值； (3)直线l：y＝kx＋m(m>0)与椭圆C交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若|OP|2＋|OQ|2是一个与m无关的常数，则当四边形PQMN面积最大时，求直线l的方程． [解]　(1)由题意得，2a＝4，2c＝2， 所以a＝2，c＝1， 所以b2＝a2－c2＝4－1＝3， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)依题意，F2(1，0)，A(0，3), 如图①所示， 所以|AF2|＝，且|GF1|＋|GF2|＝2a＝4. 因为|GA|＋|GF2|＝|GA|＋2a－|GF1|＝4＋|GA|－|GF1|≤4＋|AF1|＝4＋， 当且仅当G为AF1的延长线与椭圆相交时取等号， 所以△AGF2的周长最大值为4＋2. (3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如图②所示， 由得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y ＝x＋3－x＋x＋3－x ＝(x＋x)＋6＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＋6. 因为(x1＋x2)2－2x1x2＝2－2 ＝－ ＝ ＝ ＝. 所以|OP|2＋|OQ|2＝＋6， 因为|OP|2＋|OQ|2与m无关， 所以8k2－6＝0，即k2＝，k＝±， 所以|PQ|＝ ＝ ＝. 由题意可知，四边形PQMN为平行四边形， 因为点O到直线l的距离d＝， 所以S四边形PQMN＝×2d＝2×＝2 ＝2＝2 ≤2＝4，所以m2＝3， 因为m>0， 所以m＝，四边形PQMN面积最大， 故直线l的方程为y＝x＋或y＝－x＋. ►[命题点2]　几何法求最值 [例2]　(2025·广东珠海一模)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，且＝4，点M在椭圆C上，直线l：y＝x＋t. (1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围； (2)当t＝2时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB的最大值． [解]　(1)设椭圆的半焦距为c，则c＝2，故a2－b2＝8， 而M在椭圆上，故＋＝1， 解得a2＝12，b2＝4，故椭圆C的方程为＋＝1， 由可得4x2＋6tx＋3t2－12＝0， 故Δ＝36t2－16>0，即192－12t2>0，解得－4<t<4. (2)当t＝2时，直线l：y＝x＋2，故A，B， 由题设可得P，Q为位于直线AB的两侧，不妨设Q在直线AB上方，P在直线AB的下方， 当过Q的直线与直线AB平行且与椭圆相切时， Q到直线AB的距离最大及△QAB的面积最大， 当过P的直线与直线AB平行且与椭圆相切时， P到直线AB的距离最大及△PAB的面积最大， 由(1)可得相切时Δ＝0即t＝±4， 当t＝4时，切点的横坐标为－＝－3，切点坐标为，在直线AB上方， 此时到AB的距离为＝， 当t＝－4时，切点的横坐标为－＝3，切点坐标为，在直线AB下方， 此时到AB的距离为＝3， 又＝2， 故四边形PAQB面积的最大值S＝S△PAB＋S△QAB＝××2＝8. ◆[通技法]　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、基本不等式法、配方法及导数法求解不等进行求解． 1．(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． 解：(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由可得y2－4py＋2p＝0， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以|AB|＝ ＝|yA－yB|＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，因为p＞0，解得p＝2. (2)因为F(1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n＞0⇒m2＋n＞0， 因为·＝0， 所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1，4(m2＋n)＝(n－1)2＞0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，|MN|＝ ＝|y1－y2|＝ ＝2 ＝2|n－1|， 所以△MNF的面积S＝×|MN|×d＝××2|n－1|＝(n－1)2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MNF的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. [例3]　(2023·上海卷)已知抛物线Γ：y2＝4x上有一点A位于第一象限，A的纵坐标为a(a＞0). (1)若A到抛物线Γ的准线的距离为3，求a的值； (2)若a＝4，点B在x轴上，AB的中点在Γ上，求点B坐标和坐标原点O到直线AB的距离； (3)若对于C上第一象限的任一不与A重合的点P，设直线AP与直线l：x＝－3交于点Q，作PH⊥l于H，都有|QH|＞4恒成立，求a的取值范围． [解]　(1)准线为x＝－1，∴xA＝2，∴a＝yA＝2. (2)A(4，4)，设B(b，0)，线段AB的中点为，∴4＝2(4＋b)⇒b＝－2，即B(－2，0)，∴直线AB为2x－3y＋4＝0，原点O到直线AB的距离d＝＝. (3)设P，∵A，∴直线AP：4x－(a＋p)y＋ap＝0，∴Q，H(－3，p)， ∴|HQ|＝＝＞4， 即(p－2)2＞4(a－2)对p∈(0，a)∪(a，＋∞)恒成立，当a＝2时，p≠2，(p－2)2＞4(a－2)成立；当a－2＜0时，即a＜2时，(p－2)2＞4(a－2)成立，此时0＜a＜2.∴a的取值范围为(0，2]. ◆[通技法]　解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 2．(2025·陕西榆林三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F1在抛物线y2＝4x的准线上，点P是C上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为. (1)求C的方程； (2)设经过C右焦点F2且斜率不为0的直线交C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P，求y0的取值范围． 解：(1)焦点F1在抛物线y2＝4x的准线x＝－1上，则椭圆半焦距c＝1， 当点P为短轴顶点时，△PF1F2面积最大，此时S△PF1F2＝·2c·b＝， 则b＝，a2＝b2＋c2＝4， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0， 当MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y＝k， 由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0，Δ＝144(k2＋1)>0， 设M，N，线段MN的中点(x3，y3)，则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝， 所以线段MN的垂直平分线方程为y＋＝－， 令x＝0，得y0＝＝，显然＝＋4|k|≥4，当且仅当|k|＝时取等号， 当k<0时，＋4k≤－4；当k>0时，＋4k≥4，于是－≤y0<0或0<y0≤， 所以y0的取值范围是. [例4]　(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴． (1)求C的方程； (2)过点P的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴． [解]　(1)设F，由题设有c＝1且＝，则＝，解得a＝2，所以b＝， 故椭圆方程为＋＝1. (2)直线AB的斜率必定存在，设AB：y＝k(x－4)，A，B， 由可得x2－32k2x＋64k2－12＝0， 则Δ＝1024k4－4>0，解得－<k<， 又x1＋x2＝，x1x2＝， 而N，所以直线BN：y＝，则yQ＝＝， 所以y1－yQ＝y1＋ ＝ ＝ ＝k ＝k ＝k＝0， 故y1＝yQ，即AQ⊥y轴． ◆[通技法]　圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法． 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点B(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． 解：(1)由题意c＝2，e＝＝， 则a＝2，b2＝16，双曲线C的方程为－＝1. (2)证明：设过点B的直线x＝ty－4，联立双曲线得(4t2－1)y2－32ty＋48＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝ ，则x1＋x2＝， 设直线MA1：＝， 直线NA2：＝， 联立消去y，得y1＝y2， 代入韦达定理解得x＝－1， 即P在定直线x＝－1上． 学科网（北京）股份有限公司 $$