主题3 第8章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想． 　直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1 的交点 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 无公共点 b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行) 一个交点 a≠0 Δ>0 两个不等的解 两个交点 Δ＝0 两个相等的解 一个切点 Δ<0 无实数解 无公共点 (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． 　　 1．直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ ·＝·|y1－y2|＝ ·.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角). 2．中点弦的重要结论 AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0). (1)斜率：k＝－. (2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判别式Δ＝0.(　　) (2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(　　) (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(　　) (4)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有两个公共点．(　　) (5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判别式Δ＝0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交　　　　　　　　B．相切 C．相离 D．不确定 解析：A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．] 2．过P(0，2)且与双曲线2x2－y2＝1有且只有一个公共点的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：D　[当斜率不存在时，过P的直线与双曲线没有公共点； 当斜率存在时，设直线为y＝kx＋2，联立得(2－k2)x2－4kx－5＝0①. 当2－k2＝0，即k＝±时，①式只有一个解； 当2－k2≠0，则Δ＝16k2＋20(2－k2)＝0，解得k＝±； 综上可知过P(0，2)且与双曲线2x2－y2＝1有且只有一个公共点的直线有4条．] 3．(忽视双曲线的双支致误)若过原点的直线l与双曲线－＝1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．　　 B． C． D．∪ 解析：B　[因为－＝1，其两条渐近线的斜率分别为k1＝－，k2＝，要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线l的斜率的取值范围应是∪，即.] 4．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，A在x轴上方，则＝(　　) A.3＋2 B．1＋ C．8 D．2 解析：A　[由题意可知F(1，0)，所以直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程可得x2－6x＋1＝0，解得xA＝3＋2，xB＝3－2， 所以＝＝＝＝ ＝3＋2.] 5．已知直线3x－y＋2＝0与椭圆＋＝1相交于M，N两点，则MN的长为________． 解析：联立方程得37x2＋48x＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝0， 因为斜率k＝3，|MN|＝|x1－x2| ＝＝. 答案： 1．(2025·江西联考)直线＋＝1与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系为(　　) A．相离　　　　　　　B．相切 C．相交 D．无法确定 解析：C　[因为直线＋＝1过点，， 而，为椭圆＋＝1(a>b>0)的右端点和上端点， 故直线＋＝1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交．故选C.] 2．(2025·四川南部县模拟)过点P(3，1)作直线l与抛物线y2＝－4x只有一个交点，这样的直线l有________条(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：C　[当直线l斜率不存在时，l：x＝3，与抛物线无交点，不合题意； 当直线l斜率为零时，l：y＝1，与抛物线有且仅有一个交点，满足题意； 当直线l斜率不为零时，x－3＝(y－1)， 即x＝(y－1)＋3， 由得ky2＋4y＋12k－4＝0， 则Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝， ∴满足题意的直线l有两条； 综上所述，过点P(3，1)与抛物线y2＝－4x只有一个交点的直线l有3条．] 3．(2025·江西新钢中学月考)直线y＝kx(k＞0)与双曲线－＝1没有交点，则k的取值范围为(　　) A． B．(2，＋∞) C．[，＋∞) D．(0，) 解析：C　[由得x2＝1，此方程无实数解，则－≤0，解得k≤－或k≥.又k＞0，所以k≥.] 　判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 提醒：直线与双曲线相交时要注意交点的位置限制参数的范围． [典例]　(2025·贵阳市摸底)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4. (1)求椭圆的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程． [解]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4. 又a2＝b2＋c2，解得 所以椭圆方程为＋＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件． ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线CD的方程为y＝－(x－1). 将直线AB方程代入椭圆方程中并整理， 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以|AB|＝|x1－x2| ＝·＝. 同理，|CD|＝＝. 所以|AB|＋|CD|＝＋ ＝＝，解得k＝±1， 所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 　　 1．利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长． 2．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点P. (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点的直线l与C交于A，B两点，C上一点M满足＝＋，求|OM|. 解：(1)法一：设焦距为2c，则c＝， 设椭圆左右焦点为F1、F2，则|PF2| ＝，|PF1|＝＝， 则2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，解得a＝，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. 法二：设焦距为2c，则c＝，点P在椭圆上，有＋＝1， 解得b2＝1，a2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由＝＋，得＝， ①当直线l：y＝0时，|BA|＝2，|OM|＝，舍去；　 ②设直线l：x＝my＋，直线OM：x＝my， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(m2＋3)y2＋2my－1＝0，Δ＝12(m2＋1)＞0， 由韦达定理得y1＋y2＝－，y1y2＝－， |AB|＝|y1－y2| ＝＝， 联立解得y2＝，得到|OM|＝|yM－0|＝， 依题意得＝·＝，解得m2＝， 所以|OM|＝＝. ►[命题点1]　由中点弦确定直线方程 1．(2025·福建莆田一中模拟)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，虚轴长为 2 . (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过点P(1，1)的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且P为AB的中点，求直线l的方程． 解：(1)∵e＝＝，2b＝2，∴c＝a，b＝1， ∵b2＝c2－a2，∴1＝a2－a2，∴a2＝3， ∴双曲线C的标准方程为－y2＝1. (2)设以定点P(1，1)为中点的弦的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)， 可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 由A，B在双曲线上，可得 两式相减可得以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为k＝＝＝， 则以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝(x－1)，即为x－3y＋2＝0， 联立方程得6y2－12y＋1＝0，Δ＝122－4×6×1＝120＞0，符合， ∴直线l的方程为x－3y＋2＝0. 　　 由中点弦确定直线方程常用点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率；也可以利用根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． ►[命题点2]　由中点弦确定曲线方程 2．(2025·四川南充模拟)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)右焦点F的直线l：x－y－2＝0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为－，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：A　[依题意，焦点F(2，0)，即椭圆C的半焦距c＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则有两式相减得： b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 而x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，且＝－，即有－2b2(x1－x2)＋a2(y1－y2)＝0， 又直线l的斜率＝1，因此有a2＝2b2，而a2－b2＝c2＝4，解得a2＝8，b2＝4，经验证符合题意， 所以椭圆C的方程为＋＝1.] 　　 由中点弦确定曲线方程，一般常用点差法，用中点坐标和斜率找到曲线方程有关参数的关系式，求解即可． ►[命题点3]　由中点弦解决对称问题 3．已知双曲线－＝1(a>0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　　) A． B． C．2 D．3 解析：A　[由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2， 所以抛物线的方程为y＝2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x，y2＝2x，两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)， 不妨设x1＜x2，又A，B关于直线y＝x＋m对称， 所以＝－1，故x1＋x2＝－，而x1x2＝－，解得x1＝－1，x2＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝＝＝，因为中点M在直线y＝x＋m上，所以＝－＋m，解得m＝.] 　　 由中点弦解决对称问题，首先根据斜率之积等于－1，用点差法表示出有关式子．再利用中点在已知直线上，代入解得． ►[命题点4]　由中点弦解决离心率问题 4．已知椭圆r：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆r上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且k1、k2、k3均不为0.O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1.则＋＋＝________． 解析：由c＝1，e＝＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(s1，t1)，E(s2，t2)，M(s3，t3). 由A，B在椭圆上，则3x＋4y＝12，3x＋4y＝12，两式相减得到＝－·， 所以k1＝＝－·＝－·，即＝－，同理＝－，＝－，所以＋＋＝－， 直线OD、OE、OM的斜率之和为1， 则＋＋＝－. 答案：－ 　　 由中点弦解决离心率问题，指导思想是整体代换，设而不求，设出两个相关点的坐标，利用点差法，把相关的关系式表示出来，再根据具体题目的条件求解． [典例]　 (2025·江西模拟)已知抛物线C：y2＝2x，A(x1，y1)，B(x2，y2)是C上两个不同的点． (1)求证：直线y1y＝x1＋x与C相切； (2)若O为坐标原点，·＝－1，点P(x0，y0)满足PA，PB均与C相切，求x0的值． [解]　(1)证明：联立得y2－2y1y＋2x1＝0， 因为A(x1，y1)在C上，则y＝2x1， 所以Δ＝(－2y1)2－4×2x1＝4y－8x1＝0， 因此直线y1y＝x1＋x与C相切． (2)由(1)知，切线PA的方程为y1y＝x1＋x，切线PB的方程为y2y＝x2＋x， 联立得x0＝， 因为x1＝，x2＝， 所以x0＝＝. 又因为·＝－1，所以x1x2＋y1y2＝·＋y1y2＝－1， 解得y1y2＝－2，所以x0＝－1. 　　 由位置关系求字母参数时，用代数法转化为方程的根或不等式解集，也可以数形结合，求出边界位置，再考虑其他情况． 1．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　) A．　　　　B． C． D． 解析：D　[由得(1－k2)x2－4kx－10＝0， ∴ 直线与双曲线右支有两个不同交点， 解得－＜k＜－1.] 2．(2025·全国模拟)已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为P，若O为坐标原点，直线OP，AF，BF的斜率分别为kOP，kAF，kBF，且kAF＝kBF·kOP，则k＝________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则kAF＝，kBF＝，kOP＝. 由得－＝－(y－y)， 即＝－·， 所以k＝－·，得k·kOP＝－. 联立方程组得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为kAF＋kBF＝＋ ＝ ＝＝0. 所以kOP＝＝－1，故k＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$