主题3 第8章 第7节 抛物线(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第7节　抛物线 1．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合的思想． 1．抛物线的定义 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 定点F叫作抛物线的焦点 准线 定直线l叫作抛物线的准线 集合 表示 P＝{M||MF|＝d，d为点M到准线l的距离} 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x0，y0)) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 　　 1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角). (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　) (3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　) (5)若一抛物线过点P(－2，3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0).(　　) (6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ ◆[小题查验] 1．若抛物线x2＝8y上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍．则y0＝(　　) A．　　　　　　　　　B．1 C． D．2 解析：D　[已知拋物线的方程为x2＝8y，可得p＝4.所以焦点为F，准线为l：y＝－2. 抛物线上一点A到焦点F的距离等于到准线l的距离， 即＝y0＋2， 又因为A到x轴的距离为y0， 所以y0＋2＝2y0，解得y0＝2.故选D.] 2．已知A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为(　　) A．(0，0) B．(1，－2) C．(2，－2) D． 解析：D　[如图所示，过M点作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义，知|MF|＝|ME|. 当M在抛物线上移动时，|ME|＋|MA|的值在变化，显然M移动到M′时，A，M，E三点共线，|ME|＋|MA|最小，此时AM′∥Ox，把y＝－2代入y2＝8x，得x＝， 所以当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为.] 3．(BSD选择性必修第一册P88复习题二C组T1改编)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________． 解析：设点A的横坐标是x1，则依题意，对点F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1，因为AF所在直线过点F，所以直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2. 答案：2 4．(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为______． 解析：圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F，故＝1即p＝2， 由可得x2＋2x－24＝0，解得x＝4或x＝－6(舍)， 故A，故直线AF：y＝±，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0， 故原点到直线AF的距离为d＝＝. 答案： 5．(实施非等价转化致误)在平面直角坐标系xOy中，动点N到定点M(1，0)的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为________． 解析：设N(x，y)为轨迹上任意点，则＝|x|＋1两边平方，得y2＝2|x|＋2x＝所以动点N的轨迹方程为y2＝4x或y＝0(x＜0). 答案：y2＝4x或y＝0(x＜0) 1．在《西游记》中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨．孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下H出发经过PB的中点M到H′，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线，|PO|＝2，底面圆O的面积为16π，HH′为底面圆O的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A．　　　　　　　　B． C． D． 解析：A　[如图，建立以MO为y轴，过M作MN平行HH′以MN为x轴的直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，底面圆O的面积为16π，所以|OB|＝4，|OP|＝2， 在△POB中，|PB|＝＝2，又因M为PB中点，故|OM|＝， ∴H(－4，)， 则16＝2p×，∴p＝.] 2．(2025·黑龙江佳木斯一中模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，若|MD|＝2，则抛物线的方程是(　　) A．x2＝y B．x2＝2y C．x2＝4y D．x2＝8y 解析：C　[如图所示，过点F作FA⊥MN，垂足为A. 由题得∠AFM＝30°，所以∠NMF＝60°. 因为|MF|＝|MN|，所以△MNF是等边三角形． 因为O是FB的中点，所以|DF|＝|DN|， 所以MD⊥DF，所以|FM|＝＝4. 所以|MN|＝4，|MF|＝|FN|， ∴|AM|＝|AN|， ∴|AN|＝2. 所以|AE|＝|EN|＝1，∴|AE|＝|OF|＝1， ∴＝1，∴p＝2，所以抛物线的方程是x2＝4y.] 3．(2025·云南曲靖模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若＝2，|AF|＝3，则此抛物线方程为________． 解析：如图，作AE⊥准线于E，BD⊥准线于D，设|BD|＝a，由抛物线定义得|BD|＝|BF|＝a，|CB|＝2|BF|＝2a，故∠BCD＝30°， 在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝|AF|＋|FC|＝3＋3a，所以3＋3a＝6，从而得a＝1， 设准线与x轴交于G，则|FG|＝|FC|＝，所以p＝，因此抛物线方程为y2＝3x. 答案：y2＝3x 1．求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． ►[命题点1]　焦半径 1．(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：D　[因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上， 所以M到准线x＝－2的距离为|MF|， 又M到直线x＝－3的距离为5， 所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.] 　　 利用抛物线的焦半径公式|PF|＝x0＋及抛物线定义相结合是处理抛物线几何性质的关键. ►[命题点2]　到焦点与定点距离之和最小问题 2．(2025·广东深圳期末)已知抛物线C：y2＝4x上一点P(x0，y0)，点A(3，)，则＋2|PA|的最小值是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：C　[在抛物线 C：y2＝4x中，P， ∴y＝4x0，∴＝x0. 又 2>4×3, ∴A(3，) 在抛物线 C：y2＝4x 的外部， ∴＋2|PA|＝2＝2＝2－2. ∵抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F(1，0)，准线方程为 x＝－1, ∴|PF|＝x0＋1，＋2|PA|＝2(x0＋1＋|PA|)－2＝2(|PF|＋|PA|)－2. ∵＋≥，当A，P，F三点共线(P在A，F之间)时，＋取到最小值 |AF|＝ ＝5， ∴＋2＝2－2 的最小值为 2×5－2＝8.故选C.] 　　 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． ►[命题点3]　到点与准线的距离之和最小问题 3．(2025·江苏南京一模)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　) A． B．2 C． D． 解析：A　[如图， 过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知，|PM|＝|PF|，　 要使点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和最小，则当Q，P，F三点共线时最小，最小值为|QF|＝＝.故选A.] 　　 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． ►[命题点4]　到定直线的距离最小问题 4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________． 解析： 法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得 消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝. 法二：对y＝－x2，有y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是. 答案： 　　 到定直线的距离最小问题，实际是求已知直线的平行线与抛物线相切，再求两条平行直线之间的距离． ►[命题点5]　焦点弦中距离之和最小问题 5．(2025·四川雅安市模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A、B为抛物线上的两个动点，且∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为(　　) A． B． C．2 D．1 解析：D　[如图，过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，设|AF＝m，|BF|＝n，则|AC|＝m，|BD|＝n， M是AB中点，且AC，MN，BD都与准线l垂直，则它们平行，因此|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝， |AB|＝＝ ＝ ≥ ＝，当且仅当m＝n时等号成立，所以≥＝1，即的最小值为1.] 　　 在圆锥曲线中，在过焦点的所有弦中，通径最短．这是一个定值问题，需牢记． ►[命题点1]　直线与抛物线的公共点(交点)问题 1．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是－4，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知斜率为3的直线l与曲线E有两个不同的交点D，E且满足 ·＝2，求直线l的方程． 解：(1)设点M，根据题意可知x≠±2， 直线AM的斜率为kAM＝，直线BM的斜率kBM＝； 即可得kAM－kBM＝－＝－4， 整理可得y＝x2－4. (2)如图所示， 将曲线C向上平移4个单位得到曲线E为y＝x2. 设直线l的方程为y＝3x＋c，D，E， 联立曲线E和直线l整理可得x2－3x－c＝0， 所以x1＋x2＝3，x1x2＝－c； 因此·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝10x1x2＋3c＋c2＝2， 即c2－c－2＝0，解得c＝2或c＝－1. 当c＝2时，方程x2－3x－2＝0的根为x＝，符合题意； 当c＝－1时，方程x2－3x＋1＝0的根为x＝，符合题意． 故直线l的方程为y＝3x＋2或y＝3x－1. 　　 ①判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.②解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧． ►[命题点2]　与抛物线弦长(中点)有关的问题 2．(2025·湖州模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－＜x＜， 所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1). (2)联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ＝. 因为|PA|＝＝(k＋1)， |PQ|＝(xQ－x)＝－， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减， 因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值. 　　 (1)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． (3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 已知点M(m，4)在抛物线Γ：x2＝2py(p>0)上，点F为Γ的焦点，且＝5.过点F的直线l与Γ及圆x2＋2＝1依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线Γ的方程及点M的坐标； (2)证明：·为定值． 解：(1)因为点M在抛物线Γ：x2＝2py(p>0)上，点F为抛物线的焦点，且＝5， 所以：4＋＝5⇒p＝2. 所以抛物线Γ的方程为：x2＝4y. 由m2＝4×4＝16⇒m＝±4， 故M点坐标为或. (2)证明：由(1)知：F，显然直线l的斜率存在，所以设直线方程为：y＝kx＋1， 由⇒x2－4kx－4＝0， 设A，B， 则x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4. 由抛物线的定义得：＝y1＋1，＝y2＋1， 所以·＝ ＝y1·y2 ＝ ＝＝1， 即·为定值1. 学科网（北京）股份有限公司 $$