主题3 第8章 第6节 双曲线(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第6节　双曲线 1．了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 3．了解双曲线的简单应用． 4．理解数形结合的思想． 1．双曲线的概念 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距 集合 语言 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|} 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当a>c时，P点的轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a， y∈R y≤－a或y≥a， x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1(－a，0)， A2(a，0) 顶点坐标： A1(0，－a)， A2(0，a) 续表 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 性 质 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 　　 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. (5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内到点F1(0，3)，F2(0，－3)距离之差等于4的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)平面内到点F1(0，3)，F2(0，－3)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线．(　　) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　) (4)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　) (5)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　) (6)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．已知双曲线C：－＝1的左右焦点依次为F1，F2，且＝10，若点P在双曲线的右支上，则－＝(　　) A．－6　　　　　　　　B．6 C．8 D．10 解析：B　[由题意知，b＝4，2c＝10， ∴a2＝c2－b2＝52－42＝9， ∴双曲线C：－＝1， ∵点P在双曲线的右支上， ∴由双曲线的定义得，－＝6.故选B.] 2．(忽视焦点的位置致误)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(，)，则该双曲线的离心率为(　　) A．2　　　　　　　B． C．3 D． 解析：A　[双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x过第一象限，所以点(，)在渐近线y＝x上，可得＝×，所以＝， 所以e＝＝＝＝＝2.] 3．(2023·北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为，则C的方程为________． 解析：令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2， 由双曲线C的离心率为，得＝，解得a＝，则b＝＝， 所以双曲线C的方程为－＝1. 答案：－＝1 4．(2022·全国甲卷)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________． 解析：因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x， 要使直线y＝2x与C无公共点，则只需要2＞即可， 由＜2的＝＜4，所以e2＜5， 解得1＜e＜. 答案：2(答案不唯一，只要1＜e＜即可) 5．若双曲线x2＋my2＝1的焦距等于虚轴长的3倍，则m的值为________． 解析：x2＋my2＝1化为标准方程x2－＝1， 则a2＝1，b2＝－，故c2＝1－，则可得 2＝6，解得m＝－8. 答案：－8 1．(2025·湖北宜城市第一中学模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C的右支上，则(|PF1|－4)·(|PF2|－4)的最小值为(　　) A．－4　　B．－3　　C．－2　　D．－1 解析：B　[因为动点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝4， 所以|PF1|＝|PF2|＋4，因为a2＝4，b2＝21，所以a＝2，c＝＝5， 所以|PF2|≥c－a＝5－2＝3，将|PF1|＝|PF2|＋4代入(|PF1|－4)·(|PF2|－4)，得 |PF2|·(|PF2|－4)＝|PF2|2－4|PF2| ＝(|PF2|－2)2－4≥－3.] 2．(2025·云南楚雄期末)已知点F是双曲线C1：－x2＝1的上焦点，M是C1下支上的一点，点N是圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，则＋的最小值是(　　) A．7 B．6 C．5 D．4－1 解析：B　[由圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0可化为(x－2)2＋y2＝1，则C2，半径为1， 因为F1是C1的下焦点，则F1， 由双曲线定义可得－＝4， 所以＋＝＋＋4≥－1＋4＝6， 当且仅当C2，N，F1，M四点共线时，取得最小值，即＋的最小值是6.故选B. ] 3．设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列说法正确的是(　　) A．若△F1PF2为直角三角形，则△F1PF2的周长是2＋4 B．若△F1PF2为直角三角形，则△F1PF2的面积是6 C．若△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是(2，8) D．若△F1PF2为钝角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是(8，＋∞) 解析：C　[因为双曲线x2－＝1，所以a＝1，b＝，c＝2， 不妨设点P在第一象限，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 若△F1PF2为直角三角形，当∠F1PF2＝90°时，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16， 又|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4， 所以|PF1|·|PF2|＝6，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝28，所以|PF1|＋|PF2|＝2， 所以△F1PF2的周长是2＋4，△F1PF2的面积是|PF1|·|PF2|＝3； 当∠PF2F1＝90°时，设P(2，y0)，代入方程解得y0＝3(负值舍去)，所以P(2，3)， 故|PF2|＝3，所以|PF1|＝5，所以△F1PF2的周长是12，△F1PF2的面积是6， 综上所述，若△F1PF2为直角三角形，则△F1PF2的周长2＋4或12， △F1PF2的面积是3或6，故A、B错误； 若△F1PF2为锐角三角形，根据上述，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是(2，8)，故C正确； 若△F1PF2为钝角三角形，根据上述，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是(4，2)∪(8，＋∞)，故D错误．] 4．(2025·济南模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________． 解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2外切于点A和点B. 根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6. 这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义知．动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1). 答案：x2－＝1(x≤－1) 1．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 2．在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系． 1．(2024·天津卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：C　[如图，由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设＝m， ∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由kPF2＝tan θ1＝2，求得sin θ1＝， 因为∠F1PF2＝90°，所以kPF1·kPF2＝－1，求得kPF1＝－，即tan θ2＝， sin θ2＝，由正弦定理可得：∶∶＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶， 则由＝m得＝2m，＝2c＝m， 由S△PF1F2＝·＝m·2m＝8得m＝2， 则＝2，＝4，＝2c＝2，c＝， 由双曲线第一定义可得：－＝2a＝2，a＝，b＝＝， 所以双曲线的方程为－＝1.故选C.] 2．(2025·宁波期末)已知双曲线C1与双曲线C2：－y2＝1有相同的渐近线， 且它们的离心率不相同， 则下列方程中有可能为双曲线C1的标准方程的是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：D　[双曲线C2：－y2＝1中，a1＝，b1＝1，c1＝，则渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率为e1＝＝＝. 对于A，a＝2，b＝，c＝，则离心率e＝＝，故A错误；对于B，a＝，b＝2，c＝，则渐近线方程为y＝±x，故B错误；对于C，a＝2，b＝，c＝，则离心率e＝＝，故C错误；对于D，a＝，b＝2，c＝，则渐近线方程为y＝±x，离心率e＝＝，故D正确．] 3．(2025·广东茂名期末)如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为40 cm，最大直径为60 cm，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为(　　) A.90 cm B．100 cm C．110 cm D．120 cm 解析：B　[由该花瓶横截面圆的最小直径为40 cm，有a＝20， 又由双曲线的离心率为，有c＝20，b＝20， 可得双曲线的方程为－＝1，代入x＝30，可得y＝±50，故该花瓶的高为100 cm.故选B.] 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法 (1)若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程，再根据a、b、c、e及渐近线之间的关系，求出a、b的值． (2)若不能确定焦点位置，则可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0)，根据条件求出A、B. (3)若已知双曲线的渐近线方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可． ►[命题点1]　求双曲线离心率的取值(范围) 1．(2025·全国模拟)已知点F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A.若△OAF(点O为坐标原点)的面积为4，双曲线的离心率e∈[，]，则a2的取值范围为(　　) A．[2，2] B．[4，4] C． D． 解析：B　[取双曲线的一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0. 则F到渐近线的距离即|FA|＝＝b， |OA|＝＝＝a， ∴S△OAF＝ab＝4，即ab＝8. 又∵e∈[，]，∵e2＝＝＝1＋∈[3，5]，易得2a2≤b2≤4a2， 即2a2≤≤4a2，解得a2∈[4，4].] 2．(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． 解析：由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1 得y＝±，即A，B，故＝＝10，＝＝5. 又－＝2a，得＝＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20， 故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝. 答案： 　　 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 1．(2025·浙江联考)已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有tan ∠MF1F2＝，则双曲线的离心率(　　) A． B． C．2 D． 解析：D　[如图，∠F1MF2＝90°，－＝2a， 由tan ∠MF1F2＝，得＝， 所以＝2， 得＝2a，故＝4a. 又2＋2＝2＝4c2， 即16a2＋4a2＝4c2，得e2＝＝5， 由e>1，得e＝，即双曲线的离心率为.故选D.] ►[命题点2]　求双曲线的渐近线方程 3．(2025·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A．x±y＝0 B．2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 解析：C　[∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上， ∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a， 又知|PF1|＋|PF2|＝4a， ∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a. 在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得 cos 60°＝， 即＝，∴3a2＝10a2－4c2， 即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝， ∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0.] 4．已知双曲线E：－＝1的离心率为，则双曲线E的两条渐近线的夹角为(　　) A． B． C．或 D．或 解析：B　[当即m＞0时， ＝，解得m＝2，则双曲线E为－＝1， 此时渐近线的斜率为± ＝±，所以渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线E的两条渐近线的夹角为2×＝； 当即m＜－4时，＝，解得m＝－6， 则双曲线E为－＝1， 此时渐近线的斜率为± ＝±，所以渐近线的倾斜角为和，所以双曲线E的两条渐近线的夹角为2＝.] 　　 求双曲线的渐近线方程．要依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程． 2．已知双曲线Γ：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴为A1A2，对于实轴A1A2上的任意点P，在实轴A1A2上都存在点Q，使得|PQ|＝b，则双曲线Γ的两条渐近线夹角的最大值为________． 解析：对于实轴A1A2上的任意点P，在实轴A1A2上都存在点Q，使得|PQ|＝b， 当点P位于原点时，则要a≥b，才能满足要求， 所以≤，设渐近线与x轴的夹角为θ，则tan θ≤，因为θ≤，则双曲线Γ的两条渐近线夹角为2θ≤. 答案： ►[命题点3]　双曲线简单性质的综合 5．(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则(　　) A．渐近线方程为y＝±x B．渐近线方程为y＝±x C．∠MAN＝60° D．∠MAN＝120° 解析：BC　[由题意可得e＝＝，设c＝2t，a＝t，t＞0，则b＝＝t， 所以圆A的圆心为(t，0)，半径长为t， 双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，　 圆心A到渐近线的距离d＝＝t， 所以弦长|MN|＝2＝2＝t＝b， 可得△MNA是边长为b的等边三角形，即有∠MAN＝60°.] 　　 双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得的值，于是e2＝＝＝1＋，因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即＝ .但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解． 3．(多选)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，则(　　) A．∠AF1B＝∠F1AB B．双曲线的离心率e＝ C.双曲线的渐近线方程为y＝±x D．原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上 解析：ABC　[如图，设|AF2|＝x，则|BF2|＝|AF1|＝2x，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝x，|BF1|＝|BF2|＋2a＝2x＋2a＝6a，|AB|＝3x＝6a，所以|BF1|＝|AB|， ∴∠AF1B＝∠F1AB，A正确； |AF1|＝2x＝4a，|BF1|＝|AB|＝6a， 在△AF1B中，cos ∠F1AB＝＝. 在△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos ∠F1AF2， 即4c2＝16a2＋4a2－2×4a×2a×＝，＝，所以e＝＝，B正确； 由＝＝得＝，＝，渐近线方程为y＝±x，C正确； 若原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上，则|OF2|＝|AF2|，c＝2a，e＝＝2与B矛盾，不成立，D错误．] [典例]　(2025·山东二模)已知双曲线的中心为坐标原点O，点P在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点Q的直线l与双曲线交于E，F两点，△OEF的面积为2，求直线l的方程． [解]　(1)因为双曲线C的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线C为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程为x2－y2＝m，(m≠0)， 又双曲线C经过点P(2，－)， 所以4－2＝m，即m＝2， 所以双曲线的方程为x2－y2＝2，即－＝1. (2)根据题意可知直线l的斜率存在，又直线l过点Q(0，2)， 所以直线l的方程为y＝kx＋2， 所以原点O到直线l的距离d＝， 联立得(k2－1)x2＋4kx＋6＝0， 所以k2≠1且Δ＝16k2－24(k2－1)＝24－8k2>0， 所以k2<3，且k2≠1， 所以|EF|＝·＝·， 所以△OEF的面积为·|EF|·d＝···＝2， 所以＝1，解得k2＝2，所以k＝±， 所以直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. 　　 解决直线与双曲线位置关系问题的策略 (1)解题“3步骤”：第一步：联立直线与双曲线方程；第二步：消元转化为关于x或y的一元二次方程；第三步：利用根与系数的关系判断． (2)解题“2关键”：一是联立直线与双曲线方程消元后一定要注意判断二次项系数是否为零；二是要灵活运用根与系数的关系． (3)解题“1注意”：注意数形结合思想和分类讨论思想的应用． 在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，|MF1|－|MF2|＝2，点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 解：(1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2， 所以，轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2a＝2，可得a＝1，b＝＝4， 所以轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1). (2)设点T，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点， 不妨设直线AB的方程为y－t＝k1， 即y＝k1x＋t－k1， 联立消去y并整理可得(k－16)x2＋k1(2t－k1)x＋＋16＝0， 设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＞且x2＞. 由韦达定理可得x1＋x2＝， x1x2＝， 所以|TA|·|TB|＝(1＋k)··＝(1＋k)· ＝， 设直线PQ的斜率为k2，同理可得|TP|·|TQ|＝， 因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|， 即＝， 整理可得k＝k， 即(k1－k2)(k1＋k2)＝0，显然k1－k2≠0，故k1＋k2＝0.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0. 学科网（北京）股份有限公司 $$