主题2 第4章 第4节 三角函数的图象与性质(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第4节　三角函数的图象与性质 1．能画出三角函数的图象． 2．了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质． 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). 余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 续表 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R {x } 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增 区间 [2kπ－π，2kπ] 递减 区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 续表 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 对称 中心 (kπ，0) 对称轴 方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 　　 1．对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z). (2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z). (3)若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝(k∈Z). ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝sin x的图象介于直线y＝1与y＝－1之间．(　　) (2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．(　　) (3)函数y＝sin 是奇函数．(　　) (4)函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z).(　　) (5)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．函数f(x)＝－2tan 的定义域是(　　) A． B． C． D． 解析：D　[由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.] 2．(多选)下列关于函数y＝4sin x，x∈[0，2π]的单调性的叙述，不正确的是(　　) A．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减 B．在上单调递增，在上单调递减 C．在及上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在及上单调递减 答案：ABD 3．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8 解析：C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin 的最小正周期为T＝， 所以在x∈上函数y＝2sin 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点．故选C.] 4．(忽视三角函数中内层函数的单调性致错)(BSD必修第二册P71复习题－A组T10(2)改编)函数y＝2sin 单调递增区间为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析：B　[∵y＝sin ＝－sin ，即求函数y＝sin 的递减区间．故函数y＝2sin 的递增区间为，(k∈Z).] 5．函数y＝3－2cos 的最大值为________，此时x＝________． 解析：函数y＝3－2cos 的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z). 答案：5　＋2kπ(k∈Z) ►[命题点1]　三角函数的定义域问题 1．(2025·全国模拟)若函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析：B　[由题意，得2sin x－1≥0，x∈(k∈Z)， 则x∈(k∈Z).] 2．(1)函数y＝的定义域为_______． (2)函数y＝lg (sin 2x)＋的定义域为________． 解析：(1)法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以函数y＝的定义域为 . 法二(利用三角函数线)：画出满足条件sin x≥cos x的角x的终边范围(如图阴影部分所示)，∴函数y＝的定义域为 . 法三(利用整体思想)：sin x－cos x＝sin ≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.所以函数y＝的定义域为 . (2)由得 ∴－3≤x＜－或0＜x＜. ∴函数y＝lg (sin 2x)＋的定义域为 . 答案：(1) (2) 　　 求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解． ►[命题点2]　三角函数的值域(最值)问题 3．(1)(2024·天津高考)已知函数f＝sin 3的最小正周期为π.则f在的最小值是(　　) A．－　　　　　　B．－ C．0 D． (2)(2024·四川资阳市月考)函数y＝sin2x－cosx的最大值为________． (3)函数y＝sin x＋cos x＋sin x cos x的值域为________． 解析：(1)f＝sin 3＝sin ＝－sin 3ωx，由T＝＝π得ω＝， 即f＝－sin 2x，当x∈时，2x∈， 画出f＝－sin 2x图象，如下图： 由图可知，f＝－sin 2x在上递减， 所以，当x＝时，fmin＝－sin ＝－.故选A. (2)函数y＝sin2x－cosx＝－cos2x－cosx＋1， 令t＝cos x，t∈[－1，1]， 则y＝－t2－t＋1＝－＋，t∈[－1，1]， 所以当t＝－时，函数取得最大值为. (3)设t＝sin x＋cos x，则sin x cos x＝(－≤t≤)，y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1. 当t＝时，y取最大值＋；当t＝－1时，y取最小值－1. ∴函数的值域为. 答案：(1)A　(2)　(3) 1．求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略： (1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； (2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值). ►[命题点1]　求三角函数的单调区间 [典例1]　(1)(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 [解析]　因为f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x. 对于A选项，当－＜x＜－时，－π＜2x＜－，则f(x)在上单调递增，A错误；对于B选项，当－＜x＜时，－＜2x＜，则f(x)在上不单调，B错误；对于C选项，当0＜x＜时，0＜2x＜，则f(x)在上单调递减，C正确；对于D选项，当＜x＜时，＜2x＜，则f(x)在上不单调，D错误． [答案]　C (2)y＝sin 的单调递减区间为________． [解析]　y＝－sin 的减区间是 y＝sin 的增区间． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所给函数的减区间为，k∈Z. [答案]　，k∈Z [互动探究] 在本例(2)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解：法一：x∈R时，y＝sin 的减区间为，k∈Z.令k＝0，得－≤x≤； 令k＝－1，得－≤x≤－， 故x∈[－π，0]时，y＝sin 的减区间为 ，. 法二：因为－π≤x≤0，所以－π≤2x－≤－，结合正弦曲线， 由－π≤2x－≤－π，解得－π≤x≤－π； 由－≤2x－≤－，解得－≤x≤0， 所以单调减区间为，. ►[命题点2]　根据单调性求参数 [典例2]　(1)(2025·云南保山期末)已知f＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为________． [解析]　对于f＝sin ωx，令t＝ωx，ω>0，则y＝sin t， 因为x∈，所以t∈， 结合正弦函数的单调性可知： ⇒ 又ω>0，所以ω∈. [答案]　 (2)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是(　　) A．　　　　　　　　B． C． D．π [解析]　法一： f(x)＝cos ，由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).即f(x)的单调递减区间为(k∈Z)， 又函数f(x)在[－a，a]上是减函数，则[－a，a]⊆(k∈Z)， 显然当k＝0时，上述关系才能成立，则易得a的最大值是. 法二：导数法——转化为不等式恒成立模型 由已知得，f′(x)＝－sin x－cos x＝－(sin x＋cos x)＝－sin . 由题意知，在[－a，a]上f′(x)≤0， 即－sin ≤0在区间[－a，a]上恒成立． 也就是sin ≥0在区间[－a，a]上恒成立． 由sin ≥0，得2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z). 所以[－a，a]⊆(k∈Z)，显然当k＝0时，上述关系才能成立，即[－a，a]⊆，解得0＜a≤. [答案]　A [互动探究] 若本例(2)变为f(x)＝cos x－sin x在[a，2a]上是增函数，则实数a的最小值为________． 解析：f(x)＝cos ，由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，即f(x)的增区间为(k∈Z)，依题意[a，2a]⊆，由于a＞0且求最小值，故当k＝1时上述关系才能成立．即[a，2a]⊆，∴即≤a≤，故正数a的最小值为. 答案： 　　 求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间． 　提醒：求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 1．(2025·广东省联考)函数f(x)＝tan 的单调递增区间是(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 解析：B　[由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z， 得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)＝tan 的单调递增区间是，k∈Z.] 2．(2025·湖北荆州中学模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x在[π－m，m]上单调递减，则m的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：B　[f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝·sin ， 令＋kπ≤2x＋≤＋2kπ，解得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z， 因为π－m＜m，所以m＞，则π－m＜， 故解得＜m≤，所以m最大值为.] ►[命题点1]　三角函数的周期性 1．(2023·天津卷)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 解析：B　[由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T＝＝4，B选项中T＝＝4， C选项中T＝＝8，D选项中T＝＝8， 排除选项CD； 对于A选项，当x＝2时，函数值sin ＝0，故(2，0)是函数的一个对称中心，排除选项A； 对于B选项，当x＝2时，函数值cos ＝－1，故x＝2是函数的一条对称轴．] 2．若x＝是函数f(x)＝sin (x∈R)的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f(x)的最小正周期为________． 解析：依题意知，f＝sin ＝0， 即－＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z. 又因为0＜ω＜10，所以0＜8k＋2＜10，得－＜k＜1， 而k∈Z，所以k＝0，ω＝2， 所以f(x)＝sin ，f(x)的最小正周期为π. 答案：π 求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义； (2)利用公式：y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为； (3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断． 1．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 解析：B　[f(x)＝2cos2x－(1－cos2x)＋2＝3cos2x＋1＝cos2x＋，∴最小正周期为π，最大值为4.] ►[命题点2]　三角函数的对称轴或对称中心 3．当x＝时，函数f(x)＝sin (x＋φ)取得最小值，则函数y＝f(　　) A．是奇函数且图象关于点对称 B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C．是奇函数且图象关于直线x＝对称 D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称 解析：C　[∵当x＝时，函数f(x)取得最小值， ∴sin ＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z). ∴f(x)＝sin ＝sin . ∴y＝f＝sin (－x)＝－sin x. ∴y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称．] 4．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T，若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 解析：A　[ω＝∈(2，3)，y＝f(x)的函数图象关于点中心对称，则有b＝2，且f＝2，所以sin ＋2＝2，则ω＋＝kπ，k∈Z； 解得ω＝，由ω∈(2，3)得k＝4，ω＝， 故f＝sin ＋2＝－1＋2＝1.] 若求f(x)＝A sin (ωx＋φ)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝A sin (ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可． 2．设函数f(x)＝sin (2x＋φ)＋cos (2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则(　　) A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数 B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数 C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数 D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数 解析：B　[∵函数f(x)＝sin (2x＋φ)＋cos (2x＋φ)＝2sin 的图象关于直线x＝0对称， ∴函数f(x)为偶函数，∴φ＋＝＋kπ(k∈Z). ∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2cos 2x， ∴T＝＝π.∵0<2x<π，∴0<x<， ∴函数f(x)在上为减函数．] ►[命题点3]　三角函数奇偶性、对称性的应用 5．使函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)是偶函数，且在上是减函数的θ的一个值是(　　) A． B． C． D． 解析：B　[∵函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)＝2sin 是偶函数， ∴θ＋＝kπ＋，即θ＝kπ＋，k∈Z ，因此可取θ＝，此时，f(x)＝2sin ＝cos 2x，且在上，即2x∈时，f(x)是减函数．] 6．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 解析：AD　[由题意得f＝sin ＝0， 所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 又0＜φ＜π，所以k＝2时，φ＝， 故f(x)＝sin . 选项A，x∈时2x＋∈， 由y＝sin u图象知y＝f(x)是单调递减的； 选项B，x∈时2x＋∈，由y＝sin u图象知y＝f(x)只有1个极值点，由2x＋＝可解得极值点； 选项C，x＝时2x＋＝3π，y＝f(x)＝0，直线x＝不是对称轴； 选项D，由y′＝2cos ＝－1，得 cos ＝－， 解得2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，从而得x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝f(x)在点处的切线斜率为 k＝y′|x＝0＝2cos ＝－1， 切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x.] 　　 函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的奇偶性、对称性的应用 (1)若f(x)＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝A sin (ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0. (2)对于函数y＝A sin (ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断. 3．(2025·唐山一模)设函数f＝sin ，则下列结论中错误的是(　　) A．f的图象关于点对称 B．f的图象关于直线x＝对称 C．f在上单调递减 D．f在上的最大值为1 解析：B　[对A, f＝sin ＝0，为对称点．故A正确； 对B，当x＝时，x＋＝＋＝不是y＝sin x的对称轴．故B错误； 对C，当x∈时，x＋∈， y＝sin x在上单调递减．故C正确； 对D, 当x∈时， x＋∈.当x＋＝时，取得最大值1.故D正确．故选B.] 学科网（北京）股份有限公司 $$