主题2 第4章 第3节 三角恒等变换(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第3节　三角恒等变换 1．经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 1．两角和与差的三角函数公式 sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(Sα＋β) sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(Sα－β) cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(Cα＋β) cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(Cα－β) tan (α＋β)＝；(Tα＋β) tan (α－β)＝.(Tα－β) 2．三角函数的叠加 一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝.引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ.所以a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)(a，b不同时为0)， 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定． 3．积化和差公式和和差化积公式 积化和差公式 (1)sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； (2)cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]； (3)cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]； (4)sin αsin β＝－[cos_(α＋β)－cos_(α－β)]． 和差化积公式 (1)sin x＋sin y＝2sin cos ； (2)sin x－sin y＝2cos sin ； (3)cos x＋cos y＝2cos cos ； (4)cos x－cos y＝－2sin_sin_． 4．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α；(S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1 ＝1－2sin2α；(C2α) tan2α＝.(T2α) 5．半角公式 sin＝± ，cos ＝± ， tan ＝± ＝＝. 　　 常用的三角公式变形 1．1－cos α＝2sin2，1＋cosα＝2cos2.(升幂公式) 2．1±sinα＝.(升幂公式) 3．sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) 4．a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) 5．两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β). ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) (3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) (4)当α是第一象限角时，sin ＝ .(　　) (5)公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(BSD必修第二册P152习题4－2A组T2(2)改编)sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D．－ 解析：C　[原式＝－(cos 15°cos 45°－sin 45°·sin 45°)＝－cos (15°＋45°)＝－cos 60°＝－.] 2．(多选)下列各式的值正确的是(　　) A．sin 15°cos 15°＝ B．cos2－sin2＝ C．＝1 D．2cos222.5°－1＝ 解析：BD　[sin15°cos 15°＝sin 30°＝.A不正确；cos2－sin2＝cos＝，B正确；＝tan45°＝，C不正确； 2cos222.5°－1＝cos45°＝，D正确．] 3．(2024·全国甲卷)已知＝，则tan ＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C． D．1－ 解析：B　 [因为＝， 所以＝，即tan α＝1－， 所以tan ＝＝2－1.故选B.] 4．已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋3，则f(x)的最小正周期为________，最小值为________． 解析：f(x)＝sin2x＋2cos2x＋3＝sin2x＋1＋cos 2x＋3＝2sin ＋4， ∴f(x)的最小正周期为π，最小值为2. 答案：π　2 5．(角之间的转化致误)(2024·贵州贵阳一中模拟)若sin ＝，则cos ＝______． 解析：因为sin ＝， 所以cos ＝cos ＝－sin ＝－. 答案：－ 1．(2025·安徽相山淮北一中月考)2cos 50°－＝(　　) A．1　　　B．　　　C．　　　D． 解析：C　[2cos 50°－ ＝ ＝＝ ＝＝.] 2．－sin 10°×＝_____． 解析：原式＝－sin 10°×＝－2cos 10° ＝ ＝ ＝ ＝cos 30°＝. 答案： 3．化简：. 解：原式＝ ＝＝ ＝cos 2x. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等. ►[命题点1]　给角求值 1．cos 15°－sin 195°的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：A　[由题意，得cos 15°－sin 195° ＝cos 15°－sin (180°＋15°)＝cos 15°＋sin 15°＝cos (45°－15°)＝cos 30°＝.] 2．化简：sin 50°(1＋tan 10°). 解：sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50° ＝sin 50°× ＝sin 50°× ＝＝＝＝1. ►[命题点2]　给值求值 3．(2025·黑龙江哈师大附中模拟)已知sin (45°＋α)＝，45°＜α＜135°，则cos 2α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：B　[因为45°＜α＜135°，所以90°＜α＋45°＜180°，又sin (45°＋α)＝， 所以cos (45°＋α)＝－＝－， 所以sin2(45°＋α)＝2sin (45°＋α)cos (45°＋α) ＝2××＝－. 即sin (90°＋2α)＝－，所以cos 2α＝－.] 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 解析：A　[因为cos ＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos ＝－3m.故选A.] ►[命题点3]　给值求角 5．已知sin α＝，sin (α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　) A． B． C． D． 解析：C　[∵α、β均为锐角，∴－<α－β<. 又sin (α－β)＝－，∴cos (α－β)＝. 又sin α＝，∴cos α＝， ∴sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β) ＝×－×＝.∴β＝.] 6．已知α为锐角，β为钝角且cos α＝，tan β＝3，则α＋β的值为(　　) A．π B．π C． D． 解析：A　[由α为锐角且cos α＝，得sin α＝＝，则tanα＝＝， 则tan (α＋β)＝＝＝－1， 又α∈，β∈则α＋β∈， 得α＋β＝.] 　　 三角函数求值有三类 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． [典例]　设函数f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋1. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在上的最大值与最小值及相应的x的值． [解]　(1)因为f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋1 ＝sin2x＋cos 2x＝2 ＝2sin ， 即f(x)＝2sin ，所以函数的最小正周期T＝＝π， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为，k∈Z. (2)因为x∈，所以2x＋∈， 所以当2x＋＝，即x＝0时函数取得最小值，即f(x)min＝f(0)＝1， 当2x＋＝，即x＝时函数取得最大值， 即f(x)max＝f＝2. 　　 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等． (2025·济宁模拟)已知f(x)＝sin cos ＋cos 2. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(α)＝，求cos 的值． 解：(1)由于f(x)＝sin cos ＋cos 2 ＝sin ＋cos ＋＝sin ＋， 令＋2kπ≤＋≤＋2kπ(k∈Z)， 整理得＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)由于f(α)＝，所以sin ＋＝， 则sin ＝1，即＋＝2kπ＋(k∈Z)， 解得α＝4kπ＋(k∈Z)， 则cos ＝cos ＝cos (－4kπ)＝1(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $$