主题2 第4章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第四章　三角函数、解三角形 第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念的推广 (1)定义：平面内_一条射线_OA绕着它的_端点O_按箭头所示方向_旋转_到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的_始边_，射线OB是角α的_终边． (2)按照角的旋转方向，角分为三类：正角、负角、零角． (3)按照角的终边在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 .如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，其单位用符号rad表示，读作弧度_．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以_弧度_作为单位来度量角的方法，称作弧度制． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad； ②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.正弦函数、余弦函数的定义 (1)如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v ，横坐标u 都是唯一确定的，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，仍记作v＝sin α ；把点P的横坐标u 定义为角α的余弦值，仍记作 u＝cos α. (2)设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝ ，cos α＝ ，其中r＝.　 4．正切函数的定义 (1)根据函数的定义，比值 是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为 . (2)在角α的终边上任取一点Q(x，y)(x≠0)，则由正切函数的定义，得tan α＝＝ . 5．三角函数的符号 三角函数 正弦 余弦 正切 各象 限符号 Ⅰ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － Ⅲ － － Ⅳ － ＋ 口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦 　　 1．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则所在象限如图： 2．一个结论：若α∈，则tan α>α>sin α. ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (2)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　) (3)不相等的角终边一定不相同．(　　) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　) (5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案： (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　 (5)√ ◆[小题查验] 1．(多选)在下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A．160°　　　　　　　　B．480° C．－960° D．1 530° 解析：ABC　[480°＝360°＋120°；－960°＝－3×360°＋120°；1 530°＝4×360°＋90°.故属于第二象限角的是ABC.] 2．与角－终边相同的角是(　　) A． B． C． D．－ 解析：B　[与角－终边相同的角的集合是，当k＝1时，α＝π. 故选B.] 3．若>0，则θ为(　　) A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 解析：D　[因为>0，所以sin θ，tan θ同号， 在第一象限时sin θ>0，tan θ>0， 在第四象限时sin θ<0，tan θ<0， 所以θ是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号．故选D.] 4．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为________． 解析：由弧长公式l＝αr，得α＝＝＝1.2弧度． 答案：1.2 5．(忽视对角终边位置的讨论致误)若α的终边所在直线经过点P，则sin α＝________． 解析：∵直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若α的终边在第二象限，则sin α＝sin ＝，若α的终边在第四象限，∴sin α＝－，综上可知sin α＝±. 答案：± [典例]　(1) (多选)如果角α与角γ＋45°的终边相同，角β与γ－45°的终边相同，那么α－β的可能值为(　　) A．90°　 　B．360°　 　C．450°　 　D．2 330° [解析]　因为角α与角γ＋45°的终边相同，故α＝γ＋45°＋k·360°，其中k∈Z， 同理β＝γ－45°＋k1·360°，其中k1∈Z，故α－β＝90°＋n·360°，其中n∈Z， 当n＝0或n＝1时，α－β＝90°或α－β＝450°，故A、C正确； 令360°＝90°＋n·360°，此方程无整数解n； 令2 330°＝90°＋n·360°，即56＝9n，此方程无整数解n，故B、D错误． [答案]　AC (2)如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是________，角2α的终边所在位置是________． [解析]　由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，∴－－2kπ＜－α＜－π－2kπ，即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)，∴角－α的终边在第二象限．由π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)， ∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴． [答案]　第二象限　第一、二象限及y轴的非负半轴 [互动探究] 在本例(2)的条件下，角终边所在的位置是________． 解析：因为π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，所以＋＜＜＋(k∈Z). 当k＝3n(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)； 当k＝3n＋1(n∈Z)时，π＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，＋2nπ＜＜π＋2nπ(n∈Z). 综上，的终边在第一、三、四象限． 答案：第一、三、四象限 　　 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． (2)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． ③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (3)已知角α终边所在的象限，求2α、、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、、π－α等的范围，再根据范围确定象限． 1．设集合M＝，N＝，那么(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 解析：B　[由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.] 2．(2025·河南焦作市模拟)已知角α的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　[因为角α的终边与300°角的终边重合，所以α＝300°＋k·360°，k∈Z，所以＝100°＋k·120°，k∈Z， 令k＝0，＝100°，终边位于第二象限；令k＝1，＝220°，终边位于第三象限， 令k＝2，＝340°，终边位于第四象限，令k＝3，α＝100°＋360°，终边位于第二象限， … 所以的终边不可能在第一象限．] [典例]　已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ [关键突破点]　建立扇形的面积S与其半径r的函数关系式求解． [解]　设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. 又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大． [互动探究] 本例条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长为AB＝12”，试求弧长l. 解：设半径为r.则由＝sin 60°， ∴r＝4，∴l＝|α|·r＝π. 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． (2025·全国模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6 m，内环弧长为1.2 m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2 m，则该扇环形屏风的面积为________m2. 解析：设扇形的圆心角为α，内环半径为r m，外环半径为Rm，则R－r＝1.2 m， 由题意可知α·r＝1.2 m，α·R＝3.6 m，所以α(R＋r)＝4.8 m， 所以该扇环形屏风的面积为： S＝α(R2－r2)＝α(R＋r)(R－r)＝×4.8×1.2＝2.88 m2. 答案：2.88 [母题]　设角α终边上一点P(－4a，3a)(a＜0)，则 sin α的值为________． [解析]　第一步：利用两点间的距离公式求出点P到坐标原点的距离r. 设P与原点的距离为r，∵P(－4a，3a)，a＜0， ∴r＝＝|5a|＝－5a. 第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sin α的值． ∴sin α＝＝－. [答案]　－ [子题1]　若母题中“a＜0”，改为“a≠0”，则sin α的值为________． 解析：当a＜0时，sin α＝－；当a＞0时，r＝5a，sin α＝. 答案：－或 [子题2]　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：设α终边上任一点为P(－4a，3a)， 当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－； 当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 　　 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解． 1．下列各选项中正确的是(　　) A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0 C．tan>0 D．sin 10<0 解析：D　[300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos (－305°)>0；而－π＝－8π＋π，所以－π是第二象限角，故tan <0，因为3π<10<π，所以10是第三象限角，故sin 10<0.] 2．(2025·西安模拟)若角α的终边在第一象限，则＋的取值集合为(　　) A．{－2，2} B． C． D．{0，－2，2} 解析：A　[因为角α的终边在第一象限，所以2kπ<α<2kπ＋，k∈Z， 所以kπ<<kπ＋，k∈Z，所以为第一象限角或第三象限角， 当为第一象限角时，sin >0，cos >0，故＋＝1＋1＝2； 当为第三象限角时，sin <0，cos <0，故＋＝－1＋＝－2. 所以＋的取值集合为{－2，2}．故选A.] 3．(2025·湖北武汉模拟)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边上一点P(sin 3，cos 3)，若0≤α≤2π，则α＝(　　) A．3 B．－3 C．－3 D．3－ 解析：C　[因为角α的终边上一点P(sin 3，cos 3)， 所以tan α＝＝＜0，又cos 3＜0，sin 3＞0，所以α为第四象限角，所以α＝2kπ＋－3，k∈Z，又因0≤α≤2π，所以α＝－3.] 　　 熟练掌握三角函数在各象限的符号．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 学科网（北京）股份有限公司 $$