主题2 第2章 第9节 函数模型及应用(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第9节　函数模型及应用 1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 1．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 　　　　函数 性质　　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时， 有logax<xn<ax 　　 1．对勾函数y＝x＋(a＞0)在(－∞，－ ]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．当x＞0，x＝时取最小值2；当x＜0时，x＝－时取最大值－2. 2．当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型． 3．当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型． 4．幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(　　) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　) (4)幂函数增长比直线增长更快．(　　) (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．(　　) 答案：(1)×　(2) √　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　　　　　　　　B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　) 解析：C　[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快．] 3．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6　　　　B．9　　　　C．8　　　　D．7 解析：BC　[设经过n次过滤，产品达到市场要求， 则×≤，即≤， 由n lg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4.] 4．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只． 解析：由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100， ∴y＝100log3(x＋1)，∴当x＝8时，y＝100log39＝200. 答案：200 5．(忽视整体代入致误)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，那么t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足等式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k为常数．现有62 ℃的物体放到22 ℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42 ℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到________． 解析：依题意42＝22＋(62－22)·e－2k，e－2k＝，故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到22＋(42－22)·e－4k＝22＋20·(e－2k)2＝22＋20×＝27 ℃. 答案：27 ℃ 1．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg p的关系，其中T表示温度，单位是K；p表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，p＝1 026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，p＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，p＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，p＝729时，二氧化碳处于超临界状态 解析： D　[A选项：lg p＝lg 1 026>3，T＝220，由图易知处于固态；B选项：lg p＝lg 128>2，T＝270，由图易知处于液态；C选项：lg p＝lg 9 987≈3.999，T＝300，由图易知处于固态；D选项：lg p＝lg 729>2，T＝360，由图易知处于超临界状态．] 2．(2025·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果： 则下列可以实现该功能的一种函数图象是(　　) 解析：A　 [根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．] 3．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是________． 解析：－表示区间端点连线斜率的负数， 在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确； 甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3] 这三段时间中，甲企业在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力强，④错误． 答案：①②③ 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． [典例]　(2025·江苏模拟)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的多少倍(　　) A．　　　　　　　　　B．10 C．101.5 D．104.8 [解析]　设里氏震级M＝8.0时释放的能量为E1，里氏震级M＝7.0时释放的能量为E2， 则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8＋1.5×7＝15.3， 所以E1＝1016.8，E2＝1015.3， 所以＝1016.8－15.3＝101.5， 即2008年5月12日汶川地震释放出的能量是2024年4月3日我国台湾发生的地震释放的能量的101.5倍．故选C. [答案]　C 　　 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 　　 解决实际问题时要注意自变量的取值范围． (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2　　　　　　B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 解析：ACD　[∵L1－L2＝20×lg －20×lg ＝20×lg ≥0，∴≥1，∴p1≥p2，所以A正确； ∵L2－L3＝20×lg ＞10，∴lg ＞， ∴＞10，所以B错误； ∵L3＝20×lg ＝40，∴＝100，所以C正确； ∵L1－L2＝20×lg ≤90－50＝40，∴lg ≤2， ∴≤100，所以D正确．] ►[命题点1]　构建二次函数模型 1．(2025·重庆模拟预测)我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100 mL血液中的酒精含量y(单位：mg)与时间x(单位：h)的关系是：当0＜x＜时，y＝－x2＋x；当x≥时，y＝，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h才可驾车． 解析：当0＜x＜时，y＝－x2＋x ＝－(x－2)2＋， 当x＝2时，函数有最大值＞20，所以当2＜x＜时，饮酒后体内每100 mL血液中的酒精含量大于20 mg/100 mL， 当x≥时，函数y＝单调递减，令y＝＝20⇒x＝5.5，因此饮酒后5.5小时体内每100 mL血液中的酒精含量等于20 mg/100 mL. 答案：5.5 　　 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得. ►[命题点2]　构建指数函数模型 2．(2025·山东青岛模拟)教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%. 经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.05＋λe－(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据ln 3≈1.1)(　　) A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟 解析：B　[由题意知，当t＝0时，y＝0.2，所以0.05＋λe0＝0.2，λ＝0.15.所以y＝0.05＋0.15e－≤0.1，解得e－≤，所以－≤－ln 3，t≥12 ln 3≈13.2.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟．] 　　 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． ►[命题点3]　构建分段函数模型 3．已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝ (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式； (2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解：(1)第一步：分别列出0＜x≤40和x＞40时对应的利润W.当0＜x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，当x＞40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360. 第二步：列出利润W的分段函数 所以，W＝ (2)第三步：计算0＜x≤40时的利润W的最大值 ①当0＜x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6 104. 所以Wmax＝W(32)＝6 104； 第四步：计算x＞40时的利润W的最大值 ②当x＞40时，W＝－－16x＋7 360， 由于＋16x≥2＝1 600， 当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值为5 760. 第五步：得出本题的利润W的最大值 综合①②，当x＝32时，W取得最大值为6 104万元． 　　 1．本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于自变量在不同范围内，对应的函数解析式不同，因此，此类问题最值的求解是必须先求出函数在每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值． 2．解函数应用题的一般程序 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 1．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)(　　) A．5　　　 B．7　　　 C．8　　　 D．9 解析：C　[设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N＋)，由题意1.2×0.8n≤0.2，即≥6， 两边取以10为底的对数可得lg ≥lg 6， 即n lg ≥lg 2＋lg 3， 所以n≥， 因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以≈＝7.77， 所以n≥7.77，又n∈N＋，所以nmin＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．] 2．(2025·河南模拟)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为h＝m ln (t＋a)，(a＞0).若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知≈1.414，结果取一位小数)(　　) A．4.0天 B．4.3天 C．4.7天 D．5.1天 解析：C　[由已知相除得＝2，ln (3＋a)＝2ln (1＋a)， (1＋a)2＝3＋a， 因为a＞0，故解得a＝1， 设t天后开始失去全部新鲜度，则m ln (t＋1)＝1，又m ln (1＋1)＝0.4， 所以＝，2ln (t＋1)＝5ln 2＝ln 32，(t＋1)2＝32，t＋1＝＝4＝4×1.414＝5.656，t＝4.656≈4.7.] 学科网（北京）股份有限公司 $$