主题2 第2章 第8节 方程解的存在性及方程的近似解(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第8节　方程解的存在性及方程的近似解 1．理解函数的零点与方程的解的联系，理解函数零点存在定理，并能简单应用． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 1．函数的零点 (1)函数的零点 使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a, b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a, b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 2．二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a, b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线， f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 　　 1．有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变． 2．函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔方程F(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1，0)和(1，0).(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　) (3)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 解析：A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．] 2．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间有(　　) A．(1，2)　　　　　　　B．(2，3) C．(5，6) D．(5，7) 解析：BCD　[由所给的函数值表知， f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0， f(5)f(7)<0， ∴f(x)在区间(2，3)，(5，6)，(5，7)内至少有一个零点．] 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0) B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1 C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点 D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 解析：BD　[根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误．] 4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A． B． C．(－1，0) D．(－2，－1) 解析：A　[由题意可知：y＝ex，y＝x－2在R内单调递增，可知f(x)在R内单调递增， 且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f＝e＋1－2＝e－1>0， 可知函数f(x)有且仅有一个零点，零点所在的区间是.故选A.] 5．(忽视二次项系数为零的讨论)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________． 解析：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1， 故f(x)只有一个零点为－1，当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－. 综上有a＝0或－. 答案：0或－ 1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：A　[∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．] 2．(2025·山西忻州河曲县中学校考)用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0，1)　　　　　　 　B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：B　[令f(x)＝log4x－，因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－＜0，f(2)＝log42－＝－＝＞0，所以函数f(x)＝log4x－在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－＝0近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2).] 3．已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________． 解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内， ∴函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2. 答案：2 　　 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． [典例]　已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________． [解析]　第一步：作函数y＝f(x)的图象 作出函数y＝f(x)的图象． 第二步：解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1. 第三步：观察y＝和y＝1与y＝f(x)的图象交点个数 由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点． 第四步：得出函数的零点个数 因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个． [答案]　5 　　 判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法：令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数． (2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数). 1．已知函数f(x)＝的零点个数为________． 解析：当x≤0时，由f(x)＝2x＋4－3＝0，得x＝log23－4，当x＞0时，由f(x)＝2x2－7x＋4－ln x＝0，得2x2－7x＋4＝ln x，则x＞0时，函数f(x)＝2x2－7x＋4－ln x零点的个数，即为函数y＝2x2－7x＋4，y＝ln x图象交点的个数，如图，作出函数y＝2x2－7x＋4，y＝ln x的图象， 由图可知，两函数的图象有2个交点，即当x＞0时，函数f(x)＝2x2－7x＋4－ln x有2个零点，综上所述，函数f(x)有3个零点． 答案：3 2．(2025·烟台市模拟)已知函数f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则方程f(x)＋x2＝2根的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：D　[要求方程f(x)＋x2＝2根的个数，即为求f(x)与y＝2－的交点个数， 由题设知，在(0，＋∞)上的图象如图所示： ∴由图知：有3个交点，又由f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数， ∴在y轴左侧也有3个交点，故一共有6个交点．] [母题]　若函数f(x)＝x ln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________． [解析]　令g(x)＝x ln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x<；令g′(x)>0，即ln x>－1，可解得x>， 所以，当0<x<时，函数g(x)单调递减；当x>时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－<a<0. [答案]　 [子题1]　若母题中f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是______． 解析：由母题解析知a＝－或a≥0. 答案：[0，＋∞)∪ [子题2]　若函数变为f(x)＝ln x－x－a，其他条件不变，则a的取值范围是______． 解析：函数f(x)＝ln x－x－a的零点，即为关于x的方程ln x－x－a＝0的实根，将方程ln x－x－a＝0化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时有a＝－1，所以关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，实数a的取值范围是(－∞，－1). 答案：(－∞，－1) [子题3]　若函数变为f(x)＝ 函数y＝f(x)有三个零点，则实数a的取值范围是______． 解析：令g(x)＝ h(x)＝a，则问题转化为g(x)与h(x)的图象有三个交点，g(x)图象如图． 由图象知－＜a＜1. 答案： 　　 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离得a＝f(x)，再转化成求函数f(x)值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 1．(2025·四川广安期末)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点分别是－1和3，函数g(x)＝，则函数g(x)在x∈[1，3]上的值域为(　　) A． B．[－4，0] C．[－4，4] D．[－1，3] 解析：B　[由题意得－1＋3＝－b，－1×3＝c，解得b＝－2，c＝－3， 故g(x)＝＝＝x－－2， 由于y＝x与y＝－在x∈[1，3]上单调递增， 故g(x)＝x－－2在x∈[1，3]上单调递增， 故gmin＝g＝1－3－2＝－4，gmax＝g＝3－1－2＝0， 故g(x)在x∈[1，3]上的值域为[－4，0].故选B.] 2．(2025·全国模拟)已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)－kx＝0有且只有一个实数根，则实数k的取值范围是________． 解析：方程f(x)－kx＝0⇔f(x)－2－(kx－2)＝0. 画出y＝f(x)－2与y＝kx－2的函数图象如图所示： 因为直线y＝kx－2过(0，－2)， 联立得x2－kx＋2＝0， 由Δ＝k2－8＝0，得k＝±2. 又过(1，1)与(0，－2)两点的直线的斜率3， 由图知：当直线y＝kx－2过点(1，1)时，为函数y＝x2与y＝kx－2有两个交点的临界点，此时k＝3， 由图可知，若关于x的方程f(x)＝kx有且只有一个实数根， 则实数k的取值范围为{k|0＜k＜3}∪{－2}． 答案：{k|0＜k＜3}∪{－2} 学科网（北京）股份有限公司 $$