主题2 第2章 第6节 对数与对数函数(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第6节　对数与对数函数 1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). 1．对数的概念 (1)对数的定义： 一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． (2)对数与指数的关系：给定底数后，对数运算是指数运算的逆运算，即ab＝N⇔b＝logaN． (3)两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为10 lg__N 自然对数 底数为e ln__N 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N>0，b＞0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMb＝blogaM(n∈R). (3)对数的重要公式 ①换底公式：一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数及其性质 (1)概念：给定正数a，且a≠1，指数函数y＝ax是定义在R上，值域为(0，＋∞)的单调函数，所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作x＝logay.习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，一般将对数函数写成y＝logax(a＞0，且a≠1)，其中a称为底数． (2)对数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上 是增函数 在(0，＋∞)上 是减函数 4.反函数 习惯上，对数函数表示为y＝logax(a＞0，且a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a＞0，且a≠1).指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数．即它们互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 　　 对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2)log2x2＝2log2x.(　　) (3)当x>1时，logax>0.(　　) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．(　　) (5)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．0.5log25＝(　　) A．　　　　　　　　B．－ C． D．2 解析：C　[0.5log25＝log25＝2－log25＝ 2log2＝.故选C.] 2．已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析：C　[考查比较大小问题，主要利用对数函数单调性，属于基础题．以c＝为中间量，构造增函数y＝log5x和y＝log8x，log52＜log5＝＝log82＜log83.] 3．(2025·泉州质检)不等式log2<1的解集是(　　) A． B． C．∪ D．∪ 解析：D　[log2<1，即log2<log22， 则0<x2－1<2，解得x∈∪.故选D.] 4．(BSD必修第一册P113练习T2(2)改编)函数y＝log7的定义域为________． 答案： 5．(忽视定义域的限制致误)已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是________． 解析：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0， ∴u＝2－ax在[0，1]上是x的减函数， 由复合函数关系知y＝logau应为增函数， ∴a＞1， 又由于x在[0，1]上时y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax又是减函数， ∴x＝1时，u＝2－ax取最小值是umin＝2－a＞0即可，∴a＜2， 综上可知，所求a的取值范围是1＜a＜2. 答案：1＜a＜2 1．(2025·贵州遵义模拟)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log475＝(　　) A．　　　　　　B． C． D． 解析：C　[log475＝＝＝＝.] 2．(2025·内蒙古包头市月考)已知9x＝4y＝，则＝(　　) A．25 B．16 C．9 D．4 解析：B　[∵9x＝4y＝，∴x＝log9＝log326＝log36， y＝log4＝log226＝log26， ∴＝＝4log63，＝＝4log62， ∴＝＝＝(4log63＋4log62)2＝(4log66)2＝16.] 3．(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________． 解析：由－＝－log2a＝－，整理得2－5log2a－6＝0， ⇒log2a＝－1或log2a＝6，又a>1， 所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 答案：64 4. ＝________． 解析：原式＝ ＝＝－. 答案：－ 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． [母题]　当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(，2) [破题关键点]　方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，利用这两个函数图象的上下位置关系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法． [解析]　法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图象，可知，f<g， 即2<loga，则a>，所以a的取值范围为. 法二：∵0<x≤，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1， ∴0<a<1，排除选项C，D；取a＝，x＝， 则有4＝2，log＝1，显然4x<logax不成立，排除选项A.] [答案]　B [子题1]　将母题变为：若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：由x2－logax<0，得x2<logax， 设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax， 要使x∈时，不等式x2<logax恒成立， 只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立； 当0<a<1时，如图所示，要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2， 所以有≤loga，解得a≥，∴≤a<1. 即实数a的取值范围是. 答案： [子题2]　将母题变为：当0<x≤时，<logax，则实数a的取值范围是________． 解析：若<logax在x∈成立，则0<a<1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示， 由图象知 <loga， ∴解得<a<1. 即实数a的取值范围是. 答案： [子题3]　将母题变为：已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________． 解析： 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点． 答案：(1，＋∞) 　　 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． ►[命题点1]　比较对数值的大小 1．(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：B　[因为y＝4.2x在R上递增，且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2－0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2－0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b， 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0， 所以b>a>c.故选B.] 2．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a 解析：A　[由9m＝10，可得m＝log910＝＞1，而lg 9lg 11＜＝＜1 ＝(lg 10)2，所以＞，即m＞lg 11，所以a＝10m－11＞10lg 11－11＝0. 又lg 8lg 10＜＝＜(lg 9)2，所以＞，即log89＞m， 所以b＝8m－9＜8log89－9＝0.综上，a＞0＞b.] ►[命题点2]　解简单的对数不等式 3．设函数f(x)＝ln (1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A． B．∪(1，＋∞) C． D．∪ 解析：A　[定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 当x＞0时，f(x)＝ln (1＋x)－为增函数， 由f(x)＞f(2x－1)结合偶函数图象的对称性可知|x|＞|2x－1|， 两边平方并化简得(x－1)(3x－1)＜0，解得＜x＜1.所以不等式f(x)＞f(2x－1)的解集为.] ►[命题点3]　与对数有关的复合函数问题 4．(2025·全国模拟)已知函数f(x)＝loga|ax2－(2a＋3)x＋6|在区间上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．≤a＜ B．＜a＜1 C．≤a＜或a＞1 D．＜a＜1或a＞1 解析：C　[函数y＝f(x)是由y＝logat与t＝|(x－2)(ax－3)|复合而成， ①当0＜a＜1时，因为y＝logat为减函数，且函数f(x)＝loga|ax2－(2a＋3)x＋6|在区间上单调递增，所以t＝|(x－2)(ax－3)|在上单调递减，结合t＝|(x－2)(ax－3)|的图象可得解得≤a＜， ②当a＞1时，因为y＝logat为增函数，且函数f(x)＝loga|ax2－(2a＋3)x＋6|在区间上单调递增，所以t＝|(x－2)(ax－3)|在上单调递增，又因为此时＜3，结合t＝|(x－2)(ax－3)|的图象可知此时符合题意． 综上所述，实数a的取值范围为≤a＜或a＞1.] ►[命题点4]　利用对数函数的性质求参数 5．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 解析：B　[因为f在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增， 则需满足解得－1≤a≤0， 即a的范围是[－1，0].故选B.] 　　 对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较． (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 学科网（北京）股份有限公司 $$