主题2 第2章 第5节 指数与指数函数(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第5节　指数与指数函数 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 3．理解指数函数的概念，会画指数函数的图象． 4．理解指数函数的性质，并能简单应用． 1．指数幂的拓展 (1)正分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝a，这就是正分数指数幂． 当k为正整数时，分数指数幂a满足：a＝a．有时，也把a写成的形式． (2)负分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)， 定义：a－＝＝. 2．有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. (1)无理指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的无理数α，规定：a－α＝. (2)指数幂的运算性质 条件 指数幂的运算性质 a＞0，b＞0， α，β为实数 aα·aβ＝aα＋β (aα)β＝aαβ (ab)α＝aα·bα 3.指数函数及其性质 (1)概念：形如y＝ax(a>0且a≠1) 的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数值大小比较 函数y＝ax和y＝bx a＞b＞1 0＜a＜b＜1 ①当x＜0时，0＜ax＜bx＜1 ①当x＜0时，ax＞bx＞1 ②当x＝0时，ax＝bx＝1 ②当x＝0时，ax＝bx＝1 ③当x＞0时，ax＞bx＞1 ③当x＞0时，0＜ax＜bx＜1 (3)指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 ①定义域：R ②值域：(0，＋∞) ③过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 ④当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 ④当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 ⑤在R上是增函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 ⑤在R上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 对称性 函数y＝ax与y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上单调性相反 　　 1．()n＝a(n∈N＋). 2.＝n为偶数． 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx， (4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)与()n都等于a(n∈N＋).(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．(2025·珠海模拟)已知a>0且a≠1，下列等式正确的是(　　) A．a－2·a3＝a－6　　　　B．＝a2 C．a6＋a3＝a9 D．a－＝ 解析：D　[A选项，a>0且a≠1，故a－2·a3＝a－2＋3＝a，A错误； B选项，a>0且a≠1，故＝a6－3＝a3，B错误； C选项，a6＋a3≠a9，C错误； D选项，a>0且a≠1，故a－＝＝，D正确．故选D.] 2．(多选)已知指数函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的可能取值为(　　) A． B．2 C． D．4 解析：AC　[由指数函数f(x)＝a－x＝(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)， 根据指数函数单调性可知＞1，所以0＜a＜1.] 3．已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 解析：C　[由0＜m＜n＜1，∴y＝mx，y＝nx在R上单调递减，所以排除AB选项；令x＝1，m＜n，C项正确．] 4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________． 解析：∵y＝是减函数， ∴>>，即a>b>1， 又c＝<＝1，∴c<b<a. 答案：c<b<a 5．(忽视开偶次方规则致误)计算＋＝________． 解析： ＋＝1＋＋|1－|＝1＋＋－1＝2. 答案：2 1．化简4a·b－÷的结果为(　　) A．－　　　　　　　　　B．－ C．－ D．－6ab 解析：C　[原式＝－6a＋b－－＝－6ab－1＝－.] 2．(2025·青岛市高三月考)化简：÷×＝________(a＞0). 解析：原式＝÷×＝a(a－2b)××＝a2. 答案：a2 3．已知14a＝7b＝4c＝2，则－＋＝__________． 解析：由题设可得2＝14，2＝7，2＝4，则2－＝＝2，∴2－＋＝2×4＝23， ∴－＋＝3. 答案：3 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 　　 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [典例]　(1)(2025·合肥模拟)函数f＝的图象大致为(　　) 　 A　　　　　　　　　　　B 　 C　　　　　　　　　　　D [解析]　由函数f＝，可得 f＝＝＝f， 所以函数f为偶函数，图象关于y轴对称，排除C、D项； 又由f＝>0，可排除B项，所以A符合题意．故选A. [答案]　A (2)(2025·长春市模拟)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞)　　　　　B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) [解析]　第一步：将不等式2x(x－a)<1变形为两个基本初等函数构成的不等式 不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<. 第二步：画出函数y＝与y＝x－a的图象 在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方． 第三步：观察图象，列出有关a满足的条件 观察可知，有－a<1，所以a>－1. [答案]　D (3)(2025·衡水市模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________. [解析]　曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]. [答案]　[－1，1] [互动探究] 1．若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是________． 解析： 曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0，1). 答案：(0，1) 2．若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是________． 解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]. 答案：(－∞，0] 3．若将本例(3)改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是______． 解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的． 当a＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图①； 当0＜a＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜，如图②. 综上，a的取值范围是. 答案： 　　 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 (1)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解． 　　 应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质，要注意画出图象的准确性，否则数形结合得到的可能为错误结论． 1．(2025·开封模拟)函数f＝的图象大致为(　　) 　 A　　　　　　　　　 　B 　 C　　　　　　　　　 　D 解析：B　[f＝＝－＝－f，且f定义域(∪)关于原点对称， 所以函数f为奇函数，排除A， 当x＝－1时，f＝e－1－e1<0，排除D. 当x趋于＋∞时，f趋于＋∞，排除C，经检验B符合题意．故选B.] 2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(0，1] C．(－1，0] D．[0，1) 解析：D　[函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点， 即为函数y＝f(x)与直线y＝k有两个交点， 函数y＝f(x)图象如图所示： 所以k∈[0，1).] ►[命题点1]　比较指数式的大小 1．(2025·宝鸡模拟)设a＝0.60.2，b＝0.20.2，c＝0.20.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：B　[易知幂函数y＝x0.2在上为单调递增函数，所以0.60.2>0.20.2，即a>b， 又指数函数y＝0.2x在R上是单调递减函数，所以0.20.2>0.20.6，即b>c.于是a>b>c.故选B.] ►[命题点2]　简单的指数方程或不等式的应用 2．(2025·全国模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝4x－3×2x＋2a.则关于x的不等式f(x)≤－6的解集为(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[－2，0)∪(0，2) D．[－2，0)∪(2，＋∞) 解析：A　[因函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝4x－3×2x＋2a， 则f(0)＝40－3×20＋2a＝2a－2＝0，解得a＝1，即当x≥0时，f(x)＝4x－3×2x＋2， 当x＜0时，－x＞0，则f(x)＝－f(－x)＝－(4－x－3×2－x＋2)， 而当x≥0时，f(x)＝－≥－，则当f(x)≤－6时， 即变形得 解得x≤－2， 所以不等式f(x)≤－6的解集为(－∞，－2].] ►[命题点3]　探究指数型函数的性质 3．已知函数f(x)＝－4x＋3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． [思路导引]　(1)遵循“同增异减”法则求f(x)的单调区间；(2)由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，由此可求出a的值；(3)要使f(x)的值域为(0，＋∞)，应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，由此可求出a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－4x＋3， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2). (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知， 要使y＝的值域为(0，＋∞)， 应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R).故a的值为0. 　　 　指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． 1．按从小到大的顺序，可将1.10.1，0.90.9，0.90.8重新排列为__________． 解析：∵0＜0.90.9＜0.90.8＜0.90＝1，1.10.1＞1.10＝1，∴0.90.9＜0.90.8＜1.10.1. 答案：0.90.9＜0.90.8＜1.10.1 2．(2025·北京模拟)不等式2>16的解集为(　　) A． B．∪ C．∪ D． 解析：B　[由不等式2>16等价于2>24，可得>4， 所以2x＋1<－4或2x＋1>4，解得x<－或x>， 所以不等式2>16的解集为∪.故选B.] 3．求函数y＝－8＋17的单调区间________________． 解析：设t＝>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数y＝－8·＋17的增区间为[－2，＋∞)，减区间为(－∞，－2). 答案：增区间为[－2，＋∞)，减区间为(－∞，－2) 学科网（北京）股份有限公司 $$