主题2 第2章 第4节 幂函数与二次函数(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第4节　幂函数与二次函数 1．通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律． 2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在R 上单 调递 增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞) 上单调 递增 在R上单调 递增 在[0，＋∞)上单调 递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋ bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在 上单调递增； 在 上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 　　 1．幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限内图象的画法如下 (1)当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出； (2)当0＜α＜1时，其图象可类似y＝x画出； (3)当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出． 2．关于x的一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是.(　　) (5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞)　　　　　B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 解析：D　[设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).] 2．函数y＝x的图象是(　　) 　 A　　　　　　　　　B 　 C　　　　　　　　　D 解析：A　[令f＝x，则f＝＝＝＝x＝f， 所以函数y＝x是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数y＝x在上单调递增，且当x>1时的图象高于y＝x的函数图象，故排除B、C.故选A.] 3．已知二次函数y＝ax2＋x＋c是偶函数，一次函数y＝kx＋是奇函数，那么函数f＝b·xm，下列正确的说法是(　　) A．定义域是 B．值域是 C．是偶函数 D．是奇函数 解析：D　[因为二次函数y＝ax2＋x＋c是偶函数，所以－＝0⇒b＝1； 又一次函数y＝kx＋是奇函数，所以m－3＝0⇒m＝3； 所以f＝b·xm＝x3，定义域，值域都为R， f＝－x3＝－f，为奇函数．故选D.] 4．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值是________． 解析：函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝＞1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减，∴ymin＝2－6＋3＝－1. 答案：－1 5．(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0(填“>”“<”或“＝”). 解析：f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0， 而f(m)<0，∴m∈(0，1)，∴m－1<0， ∴f(m－1)>0. 答案：> 1．已知幂函数f(x)＝·xm－1的图象不经过坐标原点，则m＝(　　) A．－1　　　　　　　　B．3 C．1或－3 D．－1或3 解析：A　[令m2－2m－2＝1，解得m＝3或－1， 当m＝3时，f＝x2，图象经过坐标原点，不合要求， 当m＝－1时，f＝x－2，图象不经过坐标原点，满足要求．故选A.] 2．(2025·岳阳模拟)如图，已知幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则(　　) A．c<b<a B．a<c<b C．c<a<b D．a<b<c 解析：B　[由题意结合图象可知a<0<c<1<b.故选B.] 3．(2025·北京模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－5)·xm2－6是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 解析：A　[∵函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3. ∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0， ∴函数f(x)在(0，＋∞)为增函数，∴m2－6＞0， ∴m＝3(m＝－2舍去)， ∴f(x)＝x3为增函数．对任意a，b∈R，且a＋b＞0， 则a＞－b，∴f(a)＞f(－b)＝－f(b)， ∴f(a)＋f(b)＞0.] 1．幂函数的解析式 y＝xα(α∈R)，其中只有参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．幂函数的图象特征 (1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸． 3．幂函数的性质 (1)若α为偶数，则幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数；若α为奇数，则幂函数y＝xα(α∈R)是奇函数．反之，不成立．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断奇偶性． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 4．幂值大小的比较 结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． ►[命题点1]　二次函数的图象 1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 解析：A　[由题意，函数y＝ax2＋bx＋c， 因为a＋b＋c＝0，令x＝1，可得y＝a＋b＋c＝0，即函数图象过点(1，0)， 又由a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，所以抛物线的开口向上，可排除D项， 令x＝0，可得y＝c＜0，可排除B，C项．] ►[命题点2]　二次函数的单调性与最值 2．(2025·山东广饶一中模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax－3. (1)已知f(x)在[3，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)求f(x)在[－1，2]上的最小值． 解：(1)由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x＝a， 要使得f(x)在[3，＋∞)上单调递增，则满足a≤3， 所以a的取值范围为(－∞，3]. (2)由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x＝a， 当a＜－1时，函数f(x)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(－1)＝2a－2； 当－1≤a≤2时，函数f(x)在[－1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(a)＝－a2－3； 当a＞2时，函数f(x)在[－1，2]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(2)＝1－4a， 综上可得，f(x)在[－1，2]上的最小值为 f(x)min＝ [引申探究] 本题条件不变，求f(x)在[－1，2]上的最大值． 解：由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x＝a， 当a＜－1时，函数f(x)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)＝1－4a； 当－1＜a≤时，函数f(x)的最大值为f(2) ＝1－4a； 当＜a≤2时，函数f(x)的最大值为f(－1) ＝2a－2； 当a>2时，函数f(x)在[－1，2]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2. 综上，当a≤时，函数f(x)的最大值为f(2)＝1－4a；当a＞时，f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2. 　　 二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m，结合二次函数的图象求解．常见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定； (2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外； (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值． ►[命题点3]　二次函数中恒成立问题 3．(2025·衡阳月考)已知抛物线C为二次函数y＝x2－5x＋5图象，直线l为一次函数y＝kx＋1的图象．当1<x<4时，l 始终不在C的上方．则k的取值范围是(　　) A．k≤2－5 B．k≥2－5 C．k≤－1 D．k≥－1 解析：C　[由题可知当1<x<4时，x2－5x＋5－≥0恒成立， ∴k≤x＋－5在上恒成立， 又x＋－5≥2－5＝－1，当且仅当x＝，即x＝2取等号， ∴k≤－1.故选C.] 4．(2025·烟台模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[0，2]，函数g(x)＝ax－1，x∈[－1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[－1，1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．[3，＋∞) C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 解析：C　[因为f(x)＝－(x－2)2＋2，x∈[0，2]， 所以即f(x)的值域为[1，2]， 因为对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[－1，1]，使得g(x2)＝f(x1)成立， 所以f(x)的值域为[1，2]是g(x)在[－1，1]上值域的子集， 当a＞0时，g(x)在[－1，1]上为增函数， 所以g(－1)≤g(x)≤g(1)， 所以g(x)∈[－a－1，a－1]， 所以解得a≥3， 当a＜0时，g(x)在[－1，1]上为减函数， 所以g(1)≤g(x)≤g(－1)， 所以g(x)∈[a－1，－a－1]， 所以解得a≤－3， 综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞).] 　　 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解；二是构造函数，数形结合求解． (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. [典例]　关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时？ (1)方程有一正根一负根； (2)方程两根都大于1. [破题关键点]　构造函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，借助于二次函数的图象与性质，列出不等式组进行求解． [解]　令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1. (1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图象只有如图①，②两种情况． 因此f(x)＝0有一正一负根等价于或解得0<a<1. 所以0<a<1时，方程有一正一负根． (2)方程两根都大于1时，f(x)对应的图象只有如图③，④两种情况． 因此f(x)＝0两根都大于1等价于 或解得a∈∅. 所以不存在实数a，使方程两根都大于1. 　　 解决有关根的分布问题应注意以下几点 (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意． 这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时要注意条件的完备性． [互动探究] 本例已知条件不变，求a为何值时？ (1)方程有唯一实根； (2)方程一根大于1，一根小于1. 解：(1)令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1. 当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即x＝－，符合题意； 当a≠0时，Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)＝0， ∴a＝－. 所以当a＝0或－时，方程有唯一实根． (2)因为方程有一根大于1，一根小于1. f(x)大致图象如图⑤，⑥. 所以必须满足或解得a>0. 所以当a>0时，方程有一根大于1，一根小于1. 学科网（北京）股份有限公司 $$