主题2 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3．结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义． 4．会运用函数的图象理解和研究函数的周期性． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数． 关于原点对称 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数． 关于y轴对称 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．奇函数和偶函数的定义域关于原点对称． 2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 　　 1．函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数． 2．函数周期性的三个常用结论 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a. 3．函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ ◆[小题查验] 1．下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x－1　　　　　B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x 解析：D　[∵f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)＝2x＋2－x是偶函数．] 2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－ex＋1 解析：D　[设x＜0，则－x＞0，因为函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，可得f(x)＝－f(－x)＝－(ex＋1)＝－ex＋1.] 3．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝(　　) A．10　　　B．　　　C．－10　　　D．－ 解析：B　[因为f(x＋3)＝－，故有f(x＋6)＝－＝－＝f(x)， 所以函数f(x)是以6为周期的函数． 所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝－＝－＝－＝.] 4．(忽视定义域的对称性致误)函数f(x)＝(x＋1) 是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”). 解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)不关于原点对称．故f(x)为非奇非偶函数． 答案：非奇非偶 5．(BSD必修第二册P4习题1－1A组T3(2)改编)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋4，则f(2 024)＝________． 解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 024)＝f(674×3＋2)＝f(2)＝22＋4＝8. 答案：8 1．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝　　　　B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：B　[对A，设f＝，函数定义域为R，但f＝，f＝，则f≠f，故A错误； 对B，设g＝，函数定义域为R， 且g＝＝＝g，则g为偶函数，故B正确； 对C，设h＝，函数定义域为，不关于原点对称， 则h不是偶函数，故C错误； 对D，设φ＝，函数定义域为R，因为φ＝，φ＝， 则φ≠φ，则φ不是偶函数，故D错误．故选B.] 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ (4)f(x)＝log2(x＋). 解：(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}， 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)关于原点对称．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称． ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数． (4)显然函数f(x)的定义域为R， f(－x)＝log2[－x＋] ＝log2(－x)＝log2(＋x)－1 ＝－log2(＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数． 判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． ►[命题点1]　利用奇偶性求函数值 1．已知f(x)＝log2＋sin x＋3，f(a)＝2 024.求f(－a)＝______． 解析：令g(x)＝f(x)－3＝log2(＋x)＋sin x，则g(x)的定义域为R， 且g(－x)＝log2(－x)＋sin (－x) ＝－log2(＋x)－sin x＝－g(x)， 故g(x)为奇函数， 从而f(－a)－3＝－[f(a)－3]，即f(－a)＋f(a)＝6，因为f(a)＝2 024，所以f(－a)＝6－2 024＝－2 018. 答案：－2 018 ►[命题点2]　利用奇偶性求参数值 2．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1　　　　B．0　　　C．　　　D．1 解析：B　[由＞0，得x＞或x＜－， 由f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 得(－x＋a)ln ＝(x＋a)ln ， 即(－x＋a)ln ＝(－x＋a)ln ＝(x－a)ln ＝(x＋a)ln ， ∴x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0.] ►[命题点3]　利用奇偶性求解析式 3．(2025·河南模拟)已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋m，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．x2－4－x＋1 B．－x2－4－x－1 C．－x2＋4－x－1 D．－x2＋4－x＋1 解析：C　[因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝m－1＝0，即m＝1. 当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4－x＋1]＝－x2＋4－x－1.] ►[命题点4]　利用奇偶性的图象特征解不等式 [典例]　已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域是[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，求不等式＜0的解集． [解]　第一步：根据奇偶性补全函数f(x)和g(x)在整个定义域上的图象 y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，根据函数图象的奇偶性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图象如图所示． 第二步：将分式不等式等价转化 ＜0等价于或 第三步：根据图象，分别解两个不等式组 由图可知f(x)＞0，g(x) ＜0时，－2＜x＜－1或0＜x＜1，f(x)＜0，g(x)＞0时，2＜x＜3. 第四步：根据求解结果取并集 可求得其解集是{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}． 　　 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (3)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (4)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性． 1．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋ sin 为偶函数，则a＝________． 解析：由f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x为偶函数，所以a＝2. 答案：2 2．(2025·兰州一诊)已知f＝2－x－2x－x，则f＋f<0的解集为(　　) A． B．∪ C． D．∪ 解析：B　[函数f＝2－x－2x－x定义域为R，又f(－x)＝2－(－x)－2－x－＝－(2－x－2x－x)＝－f， 所以f为奇函数． 又y＝2－x，y＝－2x，y＝－x均在定义域R上单调递减， 所以f在R上单调递减， 所以f(x2－3)＋f(2x)<0⇔f(x2－3)<－f(2x)＝f， 所以x2－3>－2x⇔x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1， 所以f＋f<0的解集为(－∞，－3)∪.故选B.] [典例]　(1) (2025·海口期末)已知定义在R上的偶函数f满足f＝－f，若f＝2，则f＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 [解析]　由f＝－f⇒f＝－f＝f，所以T＝6是函数的一个周期，所以f＝＝f， 又f是偶函数且f＝－f， 所以f＝－f＝－f＝－2.故选C. [答案]　C (2)(2025·陕西统考模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f为偶函数且f(1)＝3，则f(2 023)＋f(2 024)＝(　　) A．3 B．－5 C．－3 D．0 [解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，f(x)＋f(－x)＝0， 所以有f＋f＝0， 由f为偶函数可得 f＝f， 故有f＋f＝0， ∴f＋f(x)＝0， 即f(x)＝－f，f＝－f(x＋3)，故f(x)＝f(x＋3)， 所以f(x)周期T＝3，且f(2)＝f(3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－3. 故f(2 023)＋f(2 024)＝f(1)＋f(2)＝3－3＝0. [答案]　D 1．判断函数周期性的两个方法：定义法、图象法． 2．函数周期性的重要应用：利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数，求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解． 　　 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内． 1．(多选)(2025·河北模拟)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．2是函数f(x)的一个周期 C．f(2 023)＝0 D．f(2 024)＝0 解析：AC　[∵函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数， ∴f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)⇒f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0，函数f(x)图象关于点(1，0)对称，故A正确；∵函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，所以f(x)的周期为4，故B错误；f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0 ，故C正确；f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)，无法判断f(0)的值，故D错误．] 2．(2025·黑龙江大庆模拟)已知定义域为R的偶函数满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝e1－x－1，则方程f(x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：A　[因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 又函数f(x)为偶函数，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)， 所以函数f(x)是周期为2的函数， 又g(x)＝的图象也关于直线x＝1对称， 作出函数f(x)与g(x)在区间[－3，5]上的图象，如图所示： 由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3，5]上有8个交点，且关于直线x＝1对称， 所以方程f(x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为4×2×1＝8.] 学科网（北京）股份有限公司 $$