主题2 第2章 第2节 函数的单调性与最值(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

.第2节　函数的单调性与最值 1．借助函数的图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义． 2．掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 设函数y＝f(x)的定义域是D 如果对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递增． 如果对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递减． 图 象 描 述 自左向右看图 象是上升的 自左向右看图 象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．此时，区间I为函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 (1)若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的最大值． (2)若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≥M，且存在x0∈D，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的最小值． 函数的最大值和最小值统称为最值． 　　 1．单调性定义的推广 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)>0(或<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)<0(或>0)⇔f(x)在D上单调递减； ②>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； ③<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．单调性的几个结论 (1)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (2)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (3)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． (4)“对勾函数”y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，]. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞).(　　) (2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　) (5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√ ◆[小题查验] 1．(多选)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　　　B．f(x)＝x＋2 C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：BD　[函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝x＋2在R上是增函数；函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数．] 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] 解析：C　[由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3，1].] 3．函数y＝x2＋x＋2，x∈(－5，5)的单调减区间为(　　) A． B． C． D． 解析：D　[函数y＝x2＋x＋2对称轴为x＝－，开口向上， 所以函数y＝x2＋x＋2，x∈(－5，5)的单调减区间为.故选D.] 4．(忽视定义域致误)函数f(x)＝log2(x2－4)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　[由x2－4>0，可得x<－2或x>2，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞).设t＝x2－4，则t在(2，＋∞)上单调递增，又函数y＝log2t为增函数，∴函数f(x)＝log2(x2－4)在(2，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞).] 5．(BSD必修第一册P60例1改编)已知函数f(x)＝，x∈[0，2]，则f(x)的最大值为______，最小值为________． 解析：因为函数f(x)在[0，2]上单调递减， 所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝. 答案：2　 ►[命题点1]　 求具体函数的单调区间 1．函数f＝x的单调减区间是(　　) A．　　　　　　B． C． D． 解析：A　[f＝x＝ 画出f的图象如下： f的单调减区间为，故选A.] 2．(2025·湖北模拟)函数y＝log(－x2＋4x＋12)单调递减区间是(　　) A．(－∞，2)　　　　　　B．(2，＋∞) C．(－2，2) D．(－2，6) 解析：C　[令y＝logu，u＝－x2＋4x＋12.由u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6. 因为函数y＝logu是关于u的递减函数，且x∈(－2，2)时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，所以y＝log(－x2＋4x＋12)为减函数， 所以函数y＝log(－x2＋4x＋12)的单调减区间是(－2，2).] 判断函数单调性常用以下几种方法 (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间． (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断； ②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断． ►[命题点2]　确定含参函数的单调性 [典例]　判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． [证明]　法一(定义法)：第一步，取值、作差、变形：设－1<x1<x2<1， f(x)＝a＝a， 则f(x1)－f(x2)＝a－a ＝. 第二步，判号、定论：由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 法二(导数法)：第一步，求导、变形： f′(x)＝ ＝＝－. 第二步，判号、定论：当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 　　 1．判断或证明含有参数的函数的单调性，除了利用增(减)函数的定义外，导数法也是一种非常有效的方法，注意分类讨论思想的应用． 2．可导函数也可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断． 已知函数f(x)＝＋lg ，判断并证明函数f(x)的单调性． 解：由题意，解得0＜x＜4， 故f(x)的定义域为(0，4)， 令u＝＝－1，y＝lg u，由于u＝－1在(0，4)上单调递减，y＝lg u在(0，＋∞)上单调递增，因此y＝lg 在(0，4)上单调递减，又y＝在(0，4)上单调递减，故f(x)＝＋lg 在(0，4)上单调递减，证明如下： 设0＜x1＜x2＜4，则 f(x1)－f(x2)＝＋lg －－lg ＝＋lg ， ∵0＜x1＜x2＜4， ∴x2－x1＞0，x1x2＞0，4－x1＞4－x2＞0，＞1，＞1， ∴＞0，＞1，lg ＞0， ∴f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在(0，4)上单调递减． [典例]　(1)(2025·深圳期末)已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________． [解析]　x∈(－∞，1]时，f(x)＝ex－1单调递增，f(x)≤f(1)＝e1－1＝1； x∈(1，＋∞)时，f(x)＝－x＋1单调递减， f(x)＜－1＋1＝1. 所以f(x)的最大值为1. [答案]　1 (2)函数f(x)＝(x>1)的最小值为________． [解析]　法一(基本不等式法)：f(x)＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(x)min＝8. 法二(导数法)：f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去). 当1<x<4时，f′(x)<0，f(x)在(1，4)上单调递减； 当x>4时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝4处达到最小值， 即f(x)min＝f(4)＝8. [答案]　8 　　 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 提醒：(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域． (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值． [口诀助读] 单调性，左边看，上坡递增下坡减； 函数值，若有界，上界下界值域外． 1．(2025·吉林白城期末)y＝在上的最大值为(　　) A．2 B． C． D．4 解析：A　[y＝＝＝1＋， 因为y＝1＋在上单调递减， 所以当x＝3时，y取得最大值，最大值为1＋＝2.故选A.] 2．已知函数f(x)＝则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________． 解析：∵f(－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f[f(－3)]＝f(1)＝0， 当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号， 此时f(x)min＝2－3<0； 当x<1时，f(x)＝lg (x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0. ∴f(x)的最小值为2－3. 答案：0　2－3 ►[命题点1]　比较两个函数值或两个自变量的大小 1．(2024·重庆模拟)设函数f(x)＝ 若a＝ln 2，b＝30.2，c＝log0.32，则(　　) A．f(a)＞f(b)＞f(c) B．f(b)＞f(a)＞f(c) C．f(a)＞f(c)＞f(b) D．f(c)＞f(a)＞f(b) 解析：D　[因为f(x)＝ 又y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，则g(x)＝－2x＋2－x在(0，＋∞)上单调递减且g(0)＝－20＋20＝0，又h(x)＝－x3在(－∞，0)上单调递减且h(0)＝－03＝0，所以f(x)在R上单调递减，又因为30.2＞30＝1，即b＞1，0＝ln 1＜ln 2＜ln e＝1，即0＜a＜1，log0.32＜log0.31＝0，即c＜0，所以b＞a＞c，所以f(b)＜f(a)＜f(c).] ►[命题点2]　解函数不等式 2．设函数f(x)＝则不等式f(1－|x|)＋f(2)＞0的解集为________． 解析：由函数解析式知f(x)在R上单调递增， 且－f(2)＝－2＝f(－2)， 则f(1－|x|)＋f(2)＞0⇒f(1－|x|)＞－f(2)＝f(－2)， 由单调性知1－|x|＞－2，解得x∈(－3，3). 答案：(－3，3) ►[命题点3]　利用单调性求参数的取值范围或值 3．(2025·浙江杭州期中)已知函数y＝f在定义域上是减函数，且f<f，则实数a的取值范围是________． 解析：因为函数y＝f在定义域上是减函数，且f<f， 所以解得a∈. 答案： 　　 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解含“f”的不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a＝f(1)，b＝，c＝，则(　　) A.c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 解析：B　[依题意，∀x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，＞0⇔＞0， 于是得函数在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)是R上的偶函数，即b＝＝， 显然有＜＜，因此得a＜b＜c， 所以a＜b＜c.] 2．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) [考题解读]　本题考查指数型复合函数的单调性问题，考查理性思维与综合应用，函数问题一直是高考的重点考察对象，如函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性，函数零点问题等；函数问题的解决，定义域是隐藏的坑，数形结合是解题的金钥匙，有利于数学抽象和数学运算核心素养的培养． 解析：D　[由题意易得，≥1，所以a的取值范围是[2，＋∞).] 3．如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是________． 解析：因为对任意x1≠x2，都有>0， 所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以解得≤a<2. 故实数a的取值范围是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$