主题1 第2章 热点强化课1 函数性质的综合应用(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练． [例1]　(2025·宁夏银川一模)若f(x)＝ln (x2＋1)－，设a＝f(－3)，b＝f(ln 2)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b　　　　　　B．b>c>a C．a>b>c D．a>c>b [解析]　由题意知x∈∪，因为f＝ln －＝f， 所以f为偶函数，图象关于y轴对称， 当x>0时，由复合函数的单调性法则知f随x的增大而增大， 即 x∈，f(x)＝ln －单调递增， 因为a＝f＝f，b＝f(ln 2)，c＝f， 且1＝20<20.3<21＝2，0<ln 2<ln e＝1， 所以ln 2<20.3<3，所以f<f<f， 即b<c<a，也就是a>c>b.故选D. [答案]　D [例2]　(2025·安徽安庆三模)已知函数f＝ax的图象经过点，则关于x的不等式9f＋f<0的解集为(　　) A．∪ B． C．∪ D． [解析]　由题意知f＝4a＝8，解得a＝2，所以f＝2x，其在R上单调递增， 又因为f＝－2x＝－2x＝－f，所以函数f为奇函数，9f＝f， 所以不等式9f＋f<0可化为f<－f＝f， 于是3x<x2－4，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故选C. [答案]　C 　　 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)＞f (x2)或f (x1)＜f (x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [例3]　设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D． [解析]　因为f(x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，即a＋b＝0，所以b＝－a， 又f(0)＝f(－1＋1)＝－f(1＋1)＝－f(2)＝－4a－b＝－3a， f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝0，由f(0)＋f(3)＝6，得a＝－2， 所以f＝f＝f ＝f＝f ＝－f＝－f ＝－f＝－f ＝－a－b＝－a＝. [答案]　D [例4]　(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 [解析]　因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x＋1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6. 因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4， 所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. [答案]　A 　　 利用函数的奇偶性和周期性求解策略： 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性结合周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知函数值或解析式的定义域内求解． [例5]　(2025·河南模拟)已知函数f的定义域为R，若g＝1－f为奇函数，且直线x＋·y＋3m＝0与f的图象恰有5个公共点，，，，，则＝________． [解析]　g＝1－f为奇函数，则有g＋g＝0， 即1－f＋1－f＝0，可得f＋f＝2， ＝－1，所以函数f的图象关于点对称． 直线x＋·y＋3m＝0，即m＋x＋y＝0， 由解得所以直线过定点， 即直线x＋·y＋3m＝0关于点对称． 直线x＋·y＋3m＝0与f的图象恰有5个公共点，，，，， 则有xi＝5×＝－5，i＝5×1＝5， ＝－10. [答案]　－10 [例6]　(2025·天津模拟)设函数y＝f(x)的定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，且x1＋x2＝2a，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称函数f(x)具有对称性，其中点(a，b)为函数y＝f(x)的对称中心，研究函数f(x)＝x＋1＋＋tan (x－1)的对称中心，求f＋f＋f＋…＋f＝(　　) A．2 025 B．4 049 C．4 050 D．8 100 [解析]　令函数g(t)＝t＋＋tan t，则g(－t)＝－t－＋tan (－t)＝－g＝－g(t)， 所以函数g(t)为奇函数，其图象关于原点对称， 可得f(x)＝x－1＋＋tan (x－1)＋2的图象关于点(1，2)中心对称， 即当x1＋x2＝2，可得f(x1)＋f(x2)＝4， 设M＝f＋f＋f＋…＋f， M＝f＋f＋f＋…＋f， 所以2M＝＋ ＋…＋ ＝2 025×4＝8 100，所以f＋f＋f＋…＋f＝4 050. [答案]　C 　　 将奇函数平移可以得到中心对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个中心对称函数平移后都可以变成奇函数，这样便可以得到对称中心；将偶函数平移可以得到轴对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个轴对称函数平移后都可以变成偶函数，这样便可以得到对称轴． [例7]　已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(1－x)＋9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f(x＋9)的图象关于点(－9，0)对称，且f(1)＝2 025，则f(53)＝(　　) A．2 024 B．－2 024 C．2 025 D．－2 025 [解析]　因为对任意x∈R，都有f(x＋3)＝f(1－x)＋9f(2)， 令x＝－1，得f(2)＝f(2)＋9f(2)，解得f(2)＝0， 则f(x＋3)＝f(1－x)，即f(x＋4)＝f(－x)， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称． 又函数f(x＋9)的图象关于点(－9，0)对称，则函数f(x)的图象关于点(0，0)对称， 即函数f(x)为奇函数，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以8是函数f(x)的一个周期， 所以f(53)＝f(7×8－3)＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1)＝－2 025. [答案]　D [例8]　已知y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且对∀x∈R，都有f(x－1)＝f(3－x)成立，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 027)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 [解析]　f(x)＝f[(x＋1)－1]，由此可知f(x)关于原点对称，是奇函数， 因此f(x－1)＝f(3－x)⇒f[(x＋1)－1]＝f[3－(x＋1)]⇒f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)， 可得f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，故f(x)是周期为4的周期函数，故f(2 027)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. [答案]　A 　　 周期性与对称性的综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴(或对称中心)之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍． [例9]　(多选)在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) A．函数g(x)＝f(x)－2在[－3，9]上有两个零点 B．函数y＝f(x)是偶函数 C．函数y＝f(x)在[－8，－6]上单调递增 D．对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝－ [解析]　以A点为中心滚动时，B点轨迹为以(－2，0)为圆心，2为半径的圆弧； 当以D点为中心滚动时，B点轨迹为以(0，0)为圆心，2为半径的圆弧； 当以C点为中心滚动时，B点轨迹为以(2，0)为圆心，2为半径的圆弧； 当以B点为中心滚动时，B点不动，然后周期循环，周期为8. 画出函数图象，如图所示， g(0)＝f(0)－2＝0，g(8)＝f(8)－2＝f(0)－2＝0，A正确； 根据图象和周期知B正确； 函数y＝f(x)在[0，2]上单调递减，故在[－8，－6]上单调递减，C错误； 取x＝－2，易知f(2)≠－，故D错误． [答案]　AB [例10]　(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(4－x)，且f(x＋1)＝f(1－x)，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)的图象关于x＝2对称 C．f(x＋2)为偶函数 D．f(x)是周期为4的函数 [解析]　因为f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)关于x＝1对称． 因为f(x)＝－f(4－x)，所以f(x＋2)＝－f(2－x)，所以f(x)关于点(2，0)对称． 对于A，由点(2，0)关于x＝1的对称点为(0，0)，(2，0)为f(x)的对称中心，且f(x)关于x＝1对称，所以(0，0)为f(x)的对称中心，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．故A正确； 对于B，因为f(x)＝－f(4－x)，所以f(x＋2)＝－f(2－x)，f(2＋x)＝f(2－x)未必成立，所以f(x)的图象不一定关于x＝2对称，故B错误； 对于C，因为f(x)＝－f(4－x)，令x＋2代换x，得到f(x＋2)＝－f(2－x).① 对于f(x＋1)＝f(1－x)，令x＋1代换x，得到f(x＋2)＝f(－x).② 由①②得f(－x)＝－f(2－x)，令－x代换x，得到f(x)＝－f(2＋x)， 与②结合得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋2)为奇函数，故C错误； 对于D，对于f(x＋1)＝f(1－x)，令x－1代换x，得到f(x)＝f(2－x)， 又因为f(x)＝－f(4－x)，所以f(2－x)＝－f(4－x)， 令2－x代换x，得到f(x)＝－f(2＋x)， 令x－2代换x，得到f(x－2)＝－f(x)，所以f(x－2)＝f(x＋2)， 令x＋2代换x，得到f(x)＝f(x＋4)，即f(x)是周期为4的函数．故D正确． [答案]　AD 　　 函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合到一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转化，再利用单调性解决相关问题． 热点强化课1　函数性质的综合应用(教师专享) [基础训练组] 1．(2025·宁夏石嘴山三模)若定义在R上的偶函数f在上单调递增，则f，f，f的大小关系为(　　) A．f>f>f B．f>f>f C．f>f>f(e－2) D．f>f>f 解析：A　[因为f是定义在R上偶函数，所以f＝f， 因为e<＝，则<ln ，所以0<e－2＝<<ln ， 因为f在上单调递增，所以f>f>f， 即f>f>f. 故选A.] 2．(2025·广西一模)f是定义在R上的函数，f＋为奇函数，则f(2023)＋f(－2022)＝(　　) A．－1　　　　　　　　B．－ C． D．1 解析：A　[f是定义在R上的函数，f＋为奇函数，则 f＋＝－⇒f＋f＝－1. ∴f＋f＝f＋f＝－1.故选A.] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 解析：ABC　[对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝0×f(0)＋0×f(0)，则f(0)＝0，故A正确； 对于B，令x＝y＝1，则f(1)＝1×f(1)＋1×f(1)， 则f(1)＝0，故B正确； 对于C，令x＝y＝－1，则f(1)＝(－1)2×f(－1)＋(－1)2×f(－1)，则f(－1)＝0，再令y＝－1，则f(－x)＝(－1)2f(x)＋x2f(－1)， 即f(－x)＝f(x)，故C正确； 对于D，当x＝0时，f(0)＝y2f(0)，无极值．故D错误．] 4．(2025·河南西平县模拟)已知函数f(x)＝＋1，且f(a)＝5，则f(－a)＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析：D　[设g(x)＝，因为g(－x)＝＝－＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数，因为g(a)＝f(a)－1＝4，所以g(－a)＝f(－a)－1＝－4， 则f(－a)＝－3.] 5．(2025·江西鹰潭模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f为偶函数且f(1)＝2，则f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝(　　) A．－2 B．4 C．－4 D．6 解析：B　[因为f(x)是定义在R上的奇函数， 又f为偶函数， 所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 且f＝f， 则f＝f， 即－f(x)＝f(x＋3)， 所以f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)，即f(x)是以6为周期的周期函数， 由f(1)＝f(2)＝2，f(3)＝f(0)，f(4)＝－f(1)＝－2， 所以f(2 023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝2， f(2 024)＝f(6×337＋2)＝f(2)＝f(1)＝2， f(2 025)＝f(6×337＋3)＝f(3)＝f(0)＝0， 所以f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝4.] 6．(2025·重庆南开中学模拟)已知函数f(x)＝ln x－ln (2－x)－cos x，则关于t的不等式f(t)＋f(t2)＜0的解集为(　　) A．(－2，1) B．(－1，) C．(0，1) D．(0，) 解析：C　[∵f(x)＋f(2－x)＝ln x－ln (2－x)－cos x＋ln (2－x)－ln x－cos ＝0， ∴f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称， 又f(x)＝ln x－ln (2－x)－cos x的定义域为(0，2)， 由y＝ln x，y＝－ln (2－x)，y＝－cos x在(0，2)上单调递增知， f(x)＝ln x－ln (2－x)－cos x在(0，2)上单调递增， ∵f(t)＋f(t2)＜0，∴－f(2－t)＋f(t2)＜0， 即f(t2)＜f(2－t)， ∴t2＜2－t，解得－2＜t＜1，又解得0＜t＜，所以0＜t＜1.] 7．(多选)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中为真命题的是(　　) A．f(x)的图象关于y轴对称 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)的最小值为2 解析：BC　[∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故A错误，B正确； ∵f＝cos x＋， f＝cos x＋， ∴f＝f，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确； 当x∈时，f(x)<0，故D错误．] 8．(多选)已知奇函数f(x)是定义在R上的减函数，且f(2)＝－1，若g(x)＝f(x－1)，则下列结论一定成立的是(　　) A．g(1)＝0 B．g(2)＝－ C．g(－x)＋g(x)＞0 D．g(－x＋1)＋g(x＋1)＜0 解析：AC　[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，因为g(x)＝f(x－1)， 所以g(1)＝f(0)＝0，故A正确； 因为f(x)为定义在R上的减函数，且f(2)＝－1，f(2)＜f(1)＜f(0)， 即－1＜f(1)＜0. 所以－1＜g(2)＜0，故B不一定成立； 因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)， 所以g(－x)＋g(x)＝－f(x＋1)＋f(x＋1)，因为f(x)是定义在R上的减函数， 所以f(x－1)＞f(x＋1)，所以f(x－1)－f(x＋1)＞0，即g(－x)＋g(x)＞0，故C正确； 因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，g(x＋1)＝f(x)， 所以g(－x＋1)＋g(x＋1)＝－f(x)＋f(x)＝0，选项D错误．] 9．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－log(－x)，则方程f(x)－＝0在(0，6)内的所有根之和为________． 解析：因为奇函数y＝f(x)在－1≤x＜0时有－x∈(0，1]，即f(－x)＝－logx＝－f(x)⇒f(x)＝logx， 又图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(2＋x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是以4位周期的周期函数，作出图象如下， 显然f(x)－＝0在(0，6)内共有4个根，且x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12. 答案：12 10．函数f＝＋，若f最大值为M，最小值为N，a∈，则M＋N的取值范围是________． 解析：f＝＋＝a＋＋. 令g＝，则g定义域为R关于原点对称， ∴g＝＝＝－＝－g， ∴g为奇函数，∴gmax＋gmin＝0， ∴fmax＋fmin＝M＋N＝2， ∵a∈，由对勾函数的单调性可知h＝a＋在上单调递减，在上单调递增， ∴hmin＝h＝4，h＝5，h＝，hmax＝h＝5， ∴h∈， ∴M＋N＝2∈. 答案： [能力提升组] 11．(2025·辽宁省丹东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析：B　[因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；当a2＜x＜2a2时，f(x)＝(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2. 综上，函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝ 因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如图所示， 观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.] 12．(多选)(2024·辽宁锦州模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝－x2＋1，则下列结论正确的是(　　) A．f＝－ B．f(x)在(6，8)上为减函数 C．点(3，0)是函数f(x)的一个对称中心 D．方程f(x)＋lg x＝0仅有6个实数解 解析：CD　[∵f(x－1)为奇函数，∴f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)， ∴f(x)关于点(－1，0)对称； ∵f(x＋1)为偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(－x)＝f(x＋2)， ∴f(x)关于x＝1对称； 由f(－x)＝－f(x－2)，f(－x)＝f(x＋2)， 得f(x＋2)＝－f(x－2)， ∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为8的周期函数． 对于A，f＝f＝f ＝－＋1＝，A错误； 对于C，∵f(x＋6)＝－f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋6)＋f(－x)＝0， ∴f(x)关于点(3，0)成中心对称，C正确； 对于BD，由周期性和对称性可得f(x)图象如图所示， 由图象可知：f(x)在(6，8)上单调递增，B错误； 方程f(x)＋lg x＝0的解的个数，等价于f(x)与y＝－lg x的交点个数， ∵f(12)＝f(4)＝－f(0)＝－1， －lg 12＜－lg 10＝－1， ∴结合图象可知：f(x)与y＝－lg x共有6个交点，即f(x)＋lg x＝0有6个实数解，D正确．] 13．(2025·全国模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，下列结论正确的是________．(填序号) ①f(x)的图象关于直线x＝2对称； ②f(x)的图象关于点(2，0)对称； ③f(x)的最小正周期为4； ④y＝f(x＋4)为偶函数． 解析：因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误； 因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(－x)＝f(x＋4)， 又f(－x)＝f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)， 所以T＝4，故③正确； 因为T＝4且f(x)为偶函数，所以y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确． 答案：①③④ 14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有 ①2是函数f(x)的周期； ②函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； ④f(x)的图象关于x＝1对称． 其中所有正确命题的序号是________． 解析：在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)， 因此2是函数f(x)的周期，故①正确； 当x∈[0，1]时，f(x)＝2x单调递增， 根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上单调递减，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增，故②正确； 由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数， ∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误； f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又T＝2， ∴f(x)＝f(x＋2)，∴f(－x)＝f(x＋2)， 故f(x)的图象关于x＝1对称，故④正确． 答案：①②④ 学科网（北京）股份有限公司 $$