主题1 第1章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第4节　一元二次函数与一元二次不等式 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．一元二次不等式的概念 (1)一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式． (2)使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 　　 1．简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 (1)＞0等价于(x－a)(x－b)＞0. (2)＜0等价于(x－a)(x－b)＜0. (3)≥0等价于 (4)≤0等价于 2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 3．关注点 (1)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． (2)当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．(2024·上海卷)已知x∈R，则不等式x2－2x－3<0的解集为________． 解析：方程x2－2x－3＝0的解为x＝－1或x＝3，故不等式x2－2x－3<0的解集为{x|－1<x<3}． 答案： 2．若0<a<1，则不等式(x－a)<0的解集是(　　) A．　　　B． C． D． 解析：A　[由0<a<1，得>1>a>0，解不等式(x－a)<0，得a<x<， 所以不等式(x－a)<0的解集是.故选A.] 3．(忽视不等式性质致误)不等式≤2的解集是(　　) A．(－∞，－5)∪(－2，＋∞) B．(－∞，－5]∪(－2，＋∞) C．(－∞，－5)∪[－2，＋∞) D．(－∞，－5]∪[－2，＋∞) 解析：B　[原不等式可化为：－2≤0⇒≥0，解得x≤－5或x＞－2，所以原不等式的解集为(－∞，－5]∪(－2，＋∞).] 4．(BSD必修第一册P39习题1－4A组T2(4)改编)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是(　　) A．－10 B．－14 C．10 D．14 解析：A　[因为x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以解得所以a－b＝－10.] 5．(忽视m为零的讨论)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：当m＝0时，1>0，不等式恒成立，当m≠0时，得0<m<4.综上，0≤m<4. 答案：[0，4) ►[命题点1]　不含参数的一元二次不等式的解法 [典例1]　(1)(2025·浙江开学考试)已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　) A．　　　　　B． C． D． [解析]　解一元二次不等式x2－2x>1， 得x<1－或x>1＋， 所以B＝{x|x<1－或x>1＋}． 因为A＝{－2，－1，0，1，2}， 所以A∩B＝{－2，－1}．故选A. [答案]　A (2)不等式≥2的解集是(　　) A． B． C．∪(1，3] D．∪(1，3] [解析]　不等式可化为≤0，即≤0， 解得－≤x<1或1<x≤3. [答案]　D (3)(2025·江苏南京模拟)不等式|x＋|＜x(x＋2)的解集为(　　) A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2－)∪(2－，＋∞) C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞) D．(－∞，－2＋)∪(2＋，＋∞) [解析]　当x≥－时，x＋＜x(x＋2)，可得x2＋(2－1)x－＞0， 所以x＞2－或x＜－1－， 又x≥－，所以x＞2－； 当x＜－时，－x－＜x(x＋2)，可得x2＋(2＋1)x＋＞0，解得x＜－－2或x＞1－， 又x＜－，所以x＜－－2；综上，不等式|x＋|＜x(x＋2)的解集为(－∞，－2－)∪(2－，＋∞). [答案]　B [口诀助解] 求解不含参数的一元二次不等式口诀 函数方程不等式，图象交点是标志； 首项系数先化正，判别式，符号定； 若为正，记口诀，小于中间大于侧； 或为负，或为零，配方观察解自明． ►[命题点2]　含参数的一元二次不等式 [典例2]　解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [解]　原不等式可化为(x－1)(ax－1)<0， ∴①当a＝0时，可解得x>1； ②当a>0时，不等式可化为(x－1)<0， ∴当a＝1时，不等式可化为(x－1)2<0，解集为∅； 当0<a<1时，>1，不等式的解集为； 当a>1时，<1，不等式的解集为； ③当a<0时，不等式可化为(x－1)>0， ∴不等式的解集为. 综上，可知，当a<0时， 不等式的解集为； 当a＝0时，解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 　　 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． [口诀助读] 求解含参数一元二次不等式的分类口诀 含参二次不等式，有无实根判别式； 或为负，或为零，配方法，解自明； 若为正，求两根，两种题型要区分； 首项系数无参数，根的大小定胜负； 首项系数含参数，先论系数零正负； 系数化一是旨要，负数变换不等号． (2025·河北唐山月考)已知关于x的不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0. (1)当a＝－2时，解此不等式； (2)当a＞0时，解此不等式． 解：(1)当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0， 整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，当a＝－2时，原不等式解集为. (2)当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0， 整理得(x－3)＜0， 当a＝时，＝3，此时不等式无解； 当0＜a＜时，＞3，解得3＜x＜； 当a＞时，＜3，解得＜x＜3； 综上，当a＝时，解集为∅； 当0＜a＜时，解集为； 当a＞时，解集为. ►[命题点1]　在实数R上的恒成立 [典例1]　若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3，0] B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0) [解析]　2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立， 因为2kx2＋kx－＜0是一元二次不等式，所以k≠0. 则必有 解得－3＜k＜0. [答案]　D ►[命题点2]　在给定区间上的恒成立问题 [典例2]　(2025·浙江模拟)若关于x的不等式＞1对任意的x∈(0，2)恒成立，则实数k的取值范围为________． [解析]　由题意知：kx＋2x2－x3＞0，即k＞x2－2x对任意的x∈(0，2)恒成立， ∴k≥0， 当x∈(0，2)，＞1，得kx＋2x2－x3＜10－x3 ， 即2x2＋kx－10＜0对任意的x∈(0，2)恒成立，即k＜＝－2x对任意的x∈(0，2)恒成立， 令f(x)＝－2x，f(x)在x∈(0，2)上单减，所以f(x)＞f(2)＝1，所以k≤1， ∴0≤k≤1. [答案]　[0，1] ►[命题点3]　给定参数范围的恒成立问题 [典例3]　已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3) [解析]　把不等式的左端看成关于a的一次函数， 记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立， 所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0， 且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组得x＜1或x＞3. [答案]　C 　　 恒成立问题求解思路 (1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解． (2)一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围． (3)一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 1．(多选)(2025·齐齐哈尔模拟)若不等式sin2x－a sinx＋2≥0对任意的x∈恒成立，则实数a可能是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：ABC　[设t＝sin x，∵x∈，∴t∈(0，1]， 则不等式sin2x－a sinx＋2≥0对任意x∈恒成立， 即转化为不等式t2－at＋2≥0在t∈(0，1]上恒成立， 即转化为a≤＝t＋在t∈(0，1]上恒成立， 由对勾函数知y＝t＋在t∈(0，1]上单调递减，ymin＝1＋＝3，∴a≤3.] 2．若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为(　　) A．[－1，4] B． C．[－1，0]∪ D．[－1，0)∪ 解析：C　[命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，其否定为真命题， 即“∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0， 则即 解得所以实数x的取值范围为[－1，0]∪.] [典例]　某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [解]　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x) (0<x<1)， 整理得y＝－6 000x2＋2 000 x＋20 000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 即解得0<x<， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 　　 求解不等式应用题的四个步骤 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围． 解：(1)由题意，得 y＝100·100. 因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0. 所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0, 2]. (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤， 所以x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$