主题1 第1章 第3节 第2课时 基本不等式(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第2课时　基本不等式 1．掌握基本不等式≤(a，b≥0). 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 1．基本不等式：≤. (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个非负实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 　　 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.　 ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)ab≤成立的条件是ab＞0.(　　) (3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　) (4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.(　　) (5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．(多选)下列不等式的证明过程正确的是(　　) A．若a＜0，b＜0，则＋≥2＝2 B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2 C．若x为负实数，则x＋≥－2＝－4 D．若x为负实数，则2x＋2－x≥2＝2 解析：AD　[由a＜0，b＜0，可得>0，>0，则由基本不等式可得，＋≥2＝2，故A正确；x，y∈R时，lg x，lg y有可能为0或负数，不符合基本不等式的条件，B错误；若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4，C错误；x＜0时，2x＞0，由基本不等式可得，2x＋2－x≥2，故D正确．] 2．函数y＝x＋的值域为(　　) A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．R 解析：C　[由题意，函数y＝x＋的定义域为{x|x≠0}．当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当x＝1时取得等号；当x<0时，y＝x＋＝－≤－2＝2，当x＝－1时取得等号．综上，函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞).] 3．已知x>1，y>0，x＋y＝2，则·y的最大值是(　　) A．　　　　　　　　　B． C． D．1 解析：A　[因为x>1，y>0，x＋y＝2，则x－1>0，＋y＝1， 可得·y≤＝，当且仅当x－1＝y，即x＝，y＝时，等号成立， 所以·y的最大值是.故选A.] 4．(BSD必修第一册P29例5(1)改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号，故矩形场地的最大面积为5 m×5 m＝25 m2. 答案：25 m2 5．(忽视等号是否成立)函数y＝的最小值为________． 解析：y＝＝＝＋， 令t＝≥2，y＝t＋在t≥2时是单调递增的，∴y＝t＋≥2＋＝.故函数的最小值是. 答案： ►[命题点1]　通过配凑法利用基本不等式 [典例1]　(1)(2025·南通模拟)已知x>0，y>0，且x＋2y＋xy－7＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．3　　　　　　　　　B．4 C．5 D．6 [解析]　由x＋2y＋xy－7＝0，得(x＋2)(y＋1)＝9，由x>0，y>0， 得x＋2>2，y＋1>1，所以x＋y＝(x＋2)＋(y＋1)－3≥2－3＝3， 当且仅当x＋2＝y＋1＝3时取等号，所以x＋y的最小值为3.故选A. [答案]　A (2)(2025·山东师范大学附中模拟)若－1＜x＜1，则y＝有(　　) A．最大值－1　　　　　B．最小值－1 C．最大值1 D．最小值1 [解析]　[因为－1＜x＜1，则0＜1－x＜2， 于是得y＝－· ＝－≤－·2＝－1，当且仅当1－x＝，即x＝0时取“＝”，所以当x＝0时，y＝有最大值－1.] [答案]　A 　　 通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． ►[命题点2]　通过常数代换法利用基本不等式 [典例2]　(1)已知x，y均为正数，若＋＝1，则当3x＋y取得最小值时，x＋y的值为(　　) A．16　　　B．4　　　 C．24　　　D．12 [解析]　因为＋＝1， 所以3x＋y＝(3x＋y)＝6＋＋＋6≥12＋2＝24， 当且仅当＝，即y＝3x时取等号，又因为＋＝1，所以x＝4，y＝12， 所以x＋y＝16. [答案]　A (2)(2025·江苏常州市模拟)已知a，b为正实数，且a＋b＝2，则＋的最小值为________，此时a＝________． [解析]　∵a，b为正实数， 且a＋b＝2， ∴＋＝a＋＋ ＝＋a＋b－1＋＝1＋＋ ＝1＋[a＋(b＋1)] ＝1＋ ≥1＋(3＋2)＝， 当且仅当 即a＝6－3，b＝3－4时取“＝”． [答案]　　6－3 　　 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． ►[命题点3]　通过消元法利用基本不等式 [典例3]　已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． [解析]　法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy， 因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2， 所以3xy≤，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0. 令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9， 得x＝，所以x＋3y＝＋3y ＝ ＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2－6 ＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6. [答案]　6 [互动探究] 本例条件不变，求xy的最大值． 解：法一：9－xy＝x＋3y≥2， ∴9－xy≥2， 令 ＝t，∴t>0，∴9－t2≥2t， 即t2＋2t－9≤0， 解得0<t≤，∴≤，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， ∴xy的最大值为3. 法二：∵x＝，∴x·y＝·y＝＝＝－3(y＋1)－＋15≤－2＋15＝3. 当且仅当3(y＋1)＝，即y＝1，x＝3时取等号．∴xy的最大值为3. 　　 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． ►[命题点4]　利用两次基本不等式求最值 [典例4]　已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________． [解析]　由a>b>0，得a－b>0， ∴b(a－b)≤＝. ∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4， 当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．∴a2＋的最小值为4. [答案]　4 　　 两次利用基本不等式求最值的注意点 当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性． 1．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 解析：BC　[由x2＋y2－xy＝1，得 ＋＝1， 令⇒ 故x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin ∈[－2，2]，故A错误，B正确； x2＋y2＝＋＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin (2θ－φ)＋∈，，故C正确，D错误．] 2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：A　[因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得0<x<1.所以x＋2y＝x＋＝＋≥2 ＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．故x＋2y的最小值为.] 3．已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________． 解析：因为＋＝1，所以xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)·＝7＋＋≥7＋4(当且仅当y＝x，即x＝1＋， y＝2＋时取等号)， 所以xy＋x＋y的最小值为7＋4. 答案：7＋4 [典例]　(1)(2025·临汾模拟)若m＞n＞0，a＝，b＝(em＋en)，c＝e，则(　　) A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a [解析]　∵m＞n＞0，∴m＋n＞2， ∴＞， ∴a＝＝e＞e， 又b＝(em＋en)＞＝a，∴b＞a＞c. [答案]　A (2)(2025·江苏模拟)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝2，若≤x＋2y对任意的x＞0，y＞0恒成立，则实数m的取值不可能为(　　) A．　　　B．　　　 C．　　　D．2 [解析]　由≤x＋2y对任意的x＞0，y＞0恒成立，得≤＝＋， 即≤， ＋＝(2x＋y) ＝≥＝， 当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，即≤，－≤0⇔≤0， 解得m≥或m＜1. [答案]　B (3)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________． [解析]　an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝， 所以＝＝≥＝， 当且仅当n＝4时取等号．所以的最小值是. [答案]　 　　 综合应用基本不等式的重点题型与求解策略 题型 求解策略 判断或证明不等式或比较大小 对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解 求参数的值或范围 观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 与函数、数列、解析几何等其他知识结合的问题 利用已知条件进行转化，再利用基本不等式求解 1．(2025·全国模拟)若两个正实数x，y满足4x＋y＝xy且存在这样的x，y使不等式x＋＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，4) B．(－4，1) C．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，＋∞) 解析：C　[由4x＋y＝xy⇒＋＝1，知＝1＋＋＋1≥2＋2＝4， 当且仅当x＝2，y＝8时，等号成立，则使不等式x＋＜m2＋3m有解，只需满足m2＋3m＞4即可，解得m∈(－∞，－4)∪(1，＋∞).] 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________． 解析：法一：依题意画出图形，如图所示． 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC， 即c sin 60°＋a sin 60° ＝ac sin 120°， ∴a＋c＝ac，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥9， 当且仅当＝，即a＝，c＝3时取“＝”． 法二：以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则D(1，0)，∵AB＝c，BC＝a， ∴A，C. ∵A，D，C三点共线， ∴∥. ∴＋c＝0， ∴ac＝a＋c，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥9， 当且仅当＝， 即a＝，c＝3时取“＝”． 答案：9 　 [典例]　(2025·广东模拟)在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形)长BC大约为40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米．在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门(假设球贴地直线运行)，为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为(精确到1米)(　　) A．8米　　B．9米　　C．10米　　D．11米 [解析]　由题意知，PB＝8，QB＝12，设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，则tan α＝，tan β＝，所以tan ∠PMQ＝tan (β－α)＝＝＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝时取等号，又因为≈10，所以BM大约为10米． [答案]　C 　　 在利用基本不等式解决实际问题时，一定要注意所涉及变量的取值范围，即定义域．若使基本不等式等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究函数的单调性，利用单调性求最值． 某厂家拟在2025年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－， 每万件产品的销售价格为1.5×(万元)， ∴2025年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8－m ＝－＋29(m≥0). (2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8， ∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元). 故该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$