主题1 第1章 第3节 第1课时 不等式的性质(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第3节　不等式 第1课时　不等式的性质 1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用． 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 性质1 如果a＞b且b＞c，那么a＞c ⇒ 性质2 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c ⇔ 性质3 如果a＞b，c>0那么ac>bc； 如果a＞b，c＜0那么ac＜bc c的符号 性质4 如果a＞b，c>d，那么a＋c＞b＋d ⇒ 性质5 如果a>b>0，c>d>0，那么ac＞bd； 如果a>b>0，c＜d＜0，那么ac＜bd ⇒ 性质6 当a＞b＞0时，＞(n∈N＋，n≥2) a，b同 为正数 　　 不等式的一些常用性质 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜. 2．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0). ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) (3)同向不等式具有可加和可乘性．(　　) (4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞.(　　) (5)若ab＞0，则a＞b⇔＜.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M >N　　 　　　　　B．M＝N C．M<N D．与x有关 解析：A　[M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M >N.] 2．若a，b都是实数，则“－＞0”是a2－b2＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[－＞0⇒a＞b≥0⇒a2＞b2⇒a2－b2＞0，反之不成立，∴“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件．] 3．(多选)对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为(　　) A．若a＞b，则＜ B．若a＞b，则ac2≥bc2 C．若a＞0＞b，则a2＜－ab D．若c＞a＞b＞0，则> 解析：BD　[根据a＞b，取a＝1，b＝－1，则＜不成立，故A错误；∵a＞b，∴由不等式的基本性质知 ac2≥bc2成立，故B正确；由a＞0＞b，取a＝1，b＝－1，则a2＜－ab不成立，故C错误； ∵c＞a＞b＞0，∴(a－b)c＞0，∴ac－ab＞bc－ab，即a(c－b)＞b(c－a)，∵c－a＞0，c－b＞0， ∴>，故D正确．] 4．(BSD必修第一册P26练习T5改编)已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中成立的是(　　) A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a＋c＞b＋c 解析：D　[当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确；当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B不正确；当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确；由不等式的性质知，选项D正确．] 5．(忽视不等式的性质致误)若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a－b的取值范围是________． 解析：∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2， ∴－1<a－b<2. 答案：(－1，2) 　　　 [典例]　 (1)(2025·重庆模拟)若0＜b＜a＜，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(　　) A．x＜z＜y　　　　　　B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x [解析]　∵x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb， ∴y－z＝a(ea－eb)， 又a＞b＞0，e＞1，∴ea＞eb，∴y＞z， z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)， 又a＞b＞0，eb＞1∴z＞x， 综上，x＜z＜y. [答案]　A (2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________． [解析]　法一：M－N＝－ ＝ ＝＝＞0， ∴M＞N. 法二：令f(x)＝＝＝＋，显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 023)>f(2 024)，即M >N. [答案]　M >N 　　 比较两个数大小的常用方法 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法． (2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤． (3)特值验证法：对于一些小题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小． (4)构造函数法：若几个量形式相同，可构造函数，使得几个量可能视为该函数的出数值，则只需判断函数的单调性即可比较大小． 1．设x，y为正数，M＝＋，N＝，则M，N的大小关系为________(用“>”连接). 解析：因为x，y为整数， 则＋＝＞0且＞0， 由＝≥＝＝4，当且仅当x＝y时，等号成立， 所以≥4＞1，所以＋＞. 答案：M >N 2．若a＝，b＝，比较a与b的大小． 解：因为a＝＞0，b＝＞0， 所以＝·＝＝＝log89＞1， 所以a＞b. 　　　 1．(2025·浙江模拟)已知x，y是正实数，则下列式子中能使x＞y恒成立的是(　　) A．x＋＞y＋ B．x＋＞y＋ C．x－＞y－ D．x－＞y－ 解析：B　[对于A，取x＝y，该不等式成立，但不满足x＞y；对于C，该不等式等价于x＋＞y＋，取x→0，y＝1，该不等式成立，但不满足x＞y；对于D，该不等式等价于x＋＞y＋，取x→0，y＝1，该不等式成立，但不满足x＞y；下面证明B： 法一：不等式等价于x－＞y－，而x－＞y－＞y－.函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上单增，故x＞y. 法二：若x≤y，则＜，故x＋＜y＋，矛盾．] 2．若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　) A．①④　　B．②③　　C．①③　　D．②④ 解析：C　[法一：因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误； 因为ln a2＝ln (－1)2＝0，ln b2＝ln (－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．综上所述，可排除ABD. 法二：由＜＜0，可知b＜a＜0. ①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确； ②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误； ③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故③正确； ④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．] 3．(多选)(2025·黄冈中学模拟)已知a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，则下列不等式中，一定成立的是(　　) A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．(a－b)c＜(a－c)c D．ln ＜0 解析：BD　[对于A，取特殊值a＝2，b＝1，c＝－1，满足a＞b＞c，但ac＜bc，故A不正确；对于B，因为a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，所以c2＞0，所以ac2＞bc2，故B正确；对于C，取特殊值a＝3，b＝2，c＝－1，满足非零实数a＞b＞c，此时(a－b)c＝(3－2)-1＝1，(a－c)c＝(3－1)-1＝2-1＝，但(a－b)c＞(a－c)c，故C不正确；对于D，因为a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，所以－b＜－c，a－c＞0，a－b＞0，所以0＜a－b＜a－c，0＜＜1，所以ln ＜ln 1，即ln ＜0，故D正确．] (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质． (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等． 　　　 [典例]　(1)已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为(　　) A．(1，3) B． C． D． [解析]　因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范围为(1，3). [答案]　A (2)(2025·山东日照模拟)已知f(x)＝ax＋，若－3≤f(1)≤0，3≤f(2)≤6，求f(3)的取值范围． [解]　由题意，得 解得a＝[2f(2)－f(1)]，b＝[2f(1)－f(2)]，因此，f(3)＝3a＋＝f(2)－f(1)，把f(1)和f(2)的取值范围代入，得≤f(3)≤.∴f(3)的取值范围是. [互动探究] 若将本例(2)中条件改为设a＞0，b＞0，a≤2b≤2a＋b，则的取值范围为________． 解析：根据a＞0，b＞0，由解得≤≤2，＝，令＝t∈，则t＋∈，所以∈. 答案： 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 1．(多选)(2025·山东模拟)已知实数x，y满足－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，则(　　) A．x的取值范围为(－1，2) B．y的取值范围为(－2，1) C．x＋y的取值范围为(－3，3) D．x－y的取值范围为(－1，3) 解析：ABD　[因为－1＜2x－y＜4，所以－2＜4x－2y＜8.因为－3＜x＋2y＜2，所以－5＜5x＜10，则－1＜x＜2，故A正确；因为－3＜x＋2y＜2，所以－6＜2x＋4y＜4.因为－1＜2x－y＜4，所以－4＜－2x＋y＜1，所以－10＜5y＜5，所以－2＜y＜1，故B正确；因为－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，所以－＜(x＋2y)＜，－＜(2x－y)＜，则－2＜x＋y＜2，故C错误；因为－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，所以－＜－(x＋2y)＜，－＜(2x－y)＜，则－1＜x－y＜3，故D正确．] 2．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 解析：由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0. 答案：(－π，0) 学科网（北京）股份有限公司 $$