主题1 第1章 第2节 常用逻辑用语(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第2节　常用逻辑用语 1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1．命题的概念 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题． 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p⇒q p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p 3.全称量词命题、存在量词命题 (1)在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示． (2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题，在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在一个”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示． 4．全称量词命题、存在量词命题的否定 量词命题 量词命题的否定 结论 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 ∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 　　 1．在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围). 2．充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)命题p的否定的否定是p.(　　) (2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　) (3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　) (4)“∃x∈M，x具有p(x)”与“∀x∈M，¬p(x)”的真假性相同．(　　) (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(　　) (6)“对顶角相等”是全称量词命题．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(BSD必修第一册P18练习T1(4)改编)“xy>0”是“x＜0，y＜0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 解析：B　[因为xy>0不能推出x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0能推出xy>0，所以“xy>0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件．] 2．命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　) A．∃x＜0，≤0　　　B．∃x＞0，0≤x≤1 C．∀x＞0，≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1 解析：B　[因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1.] 3．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b，所以二者互为充要条件．故选C.] 4．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”). 解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，即x(x－1)＝0不一定有x＝1成立；但x＝1能推出x(x－1)＝0成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 5．(忽视二次项系数的讨论)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：①当a＝0时，1>0恒成立，∴a＝0满足条件， ②当a≠0时， 解得0<a<4，综上，0≤a<4. 答案：[0，4) 　　　　 1．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [考题解读]　本题以两个等式为载体设置题目，考查逻辑推理，数学探索能力．充分必要条件是高考命制创新试题的重要载体，它与其他知识结合，题目具有一定的灵活性，能很好地考查学生的理性思维能力． 解析：C　[法一：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以必要性成立． 所以若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件． 法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0， 所以＋＝＝ ＝＝＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2， 所以＋＝＝ ＝＝－2＝－2， 所以＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立． 所以若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．] 2．(2025·江西新余市模拟)若a＞0，b＞0，则“a2＋b2≥2”是“a＋b≥2”的________条件(　　) A．充分不必要　　　　B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解析：B　[依题意，取a＝，b＝，满足a2＋b2≥2，而a＋b＜2， 当a＋b≥2时，a2＋b2＝≥(a＋b)2，当且仅当a＝b时取“＝”，则a2＋b2≥2， “a2＋b2≥2”是“a＋b≥2”的必要不充分条件] 3．(2024·全国甲卷)设向量a＝，b＝，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 解析：C　[对A，当a⊥b时，则a·b＝0， 所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或－3，即必要性不成立，故A错误； 对C，当x＝0时，a＝，b＝，故a·b＝0， 所以a⊥b，即充分性成立，故C正确； 对B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误； 对D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不立，故D错误．故选C.] 判断充分、必要条件的3种方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 提醒：判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义． 　　　 [典例]　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围． [解]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴A＝{x|－2≤x≤10}． 由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A. 则∴0≤m≤3. ∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]. [互动探究] 若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必要不充分条件”，求m的取值范围． 解：由x∈A是x∈B的必要不充分条件，知BA， ∴或 解得0≤m≤3或0≤m<3，∴0≤m≤3， 故m的取值范围是[0，3]. 　　 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若¬p是¬q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件． 1．(2025·河南联考)若“|x＋1|＝2”是“log2x＋2x＝a”的必要不充分条件，则实数a＝(　　) A．3　　　 B．2 　　　C．1 　　　D．0 解析：B　[解|x＋1|＝2得x＝1或－3，设集合A＝{1，－3}，方程log2x＋2x＝a的解集为集合B，则BA且B≠∅，所以B＝{1}或B＝{－3}．当B＝{1}时，log21＋21＝a，所以a＝2；当B＝{－3}时，不成立．] 2．若(x－a)2＜4成立的一个充分不必要条件是1＋≤0，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，4]　　　　　　B．[1，4] C．(1，4) D．(1，4] 解析：D　[由(x－a)2＜4，可得a－2＜x＜a＋2； 由1＋＝≤0， 则可得2＜x≤3； ∵(x－a)2＜4成立的一个充分不必要条件是1＋≤0，∴可得1＜a≤4.] 　　　　 ►[命题点1] 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1．(2024·江西模拟)已知命题p1：存在x＞0，使得x＋≤4，命题p2：对任意的x∈R，都有tan 2x＝，命题p3：存在x∈R，使得3sinx＋4cos x＝6，其中正确命题的个数是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 解析：B　[当x＝2时，显然p1成立；当x＝时，可知p2不成立；由辅助角得3sin x＋4cos x＝5sin (x＋φ)，所以3sin x＋4cos x的最大值为5，所以p3为假命题．] 2．(2025·海南模拟)已知命题p：∃x<0，x3>x，命题q：∀x<0，x2＋1>0，则(　　) A．p和q均为真命题 B．¬p和q均为真命题 C．p和¬q均为真命题 D．¬p和¬q均为真命题 解析：A　[对于命题p，当x＝－时，x3＝－>－＝x，所以p为真命题； 对于命题q，由于x2≥0恒成立，所以恒有x2＋1≥1>0.综上，p和q均为真命题．故选A.] 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词 命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 存在量词 命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 　提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假． ►[命题点2]　含有一个量词的命题的否定 1．(2025·湖北襄阳模拟)已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x＜1，则¬p为(　　) A．∃x＜0，ex＜1且sin x≥1 B．∃x≥0，ex＜1且sin x≥1 C．∃x≥0，ex＜1或sin x≥1 D．∃x＜0，ex≥1或sin x≤1 解析：B　[命题是全称命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x＜1，所以¬p：∃x≥0，ex＜1且sin x≥1.] 2．已知命题p：“存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x>1”，则下列说法正确的是(　　) A．¬p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” B．¬p：“不存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” C．¬p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1” D．¬p：“任意x∈(－∞，1)，使得(log23)x≤1” 解析：C　[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以¬p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1”．] 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定的区别 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． ►[命题点3]　参数的取值范围问题 [典例]　(1)(2025·呼和浩特期末)若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　因为“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题， 所以“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”是真命题， 即方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝2－4a≥0，解得a≤4， 即实数a的取值范围是.故选A. [答案]　A (2)已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________． [解析]　当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.即实数m的取值范围为. [答案]　 [互动探究] 若将本例(2)中“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是__________． 解析：当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m， 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.即实数m的取值范围为. 答案： 　　 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 1．(2025·青岛模拟)若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为(　　) A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a≤1 解析：B　[依题意命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题， 当a＝0时，1≥0成立， 当a＞0时，ax2＋1≥0成立， 当a＜0时，函数y＝ax2＋1开口向下，ax2＋1≥0不恒成立． 综上所述，a≥0.] 2．若“∀x∈，tan x≥m”是真命题，则实数m的最大值为________． 解析：若“∀x∈，tan x≥m”是真命题， 则实数m小于等于函数y＝tan x在的最小值， 因为函数y＝tan x在上为增函数， 所以函数y＝tan x在上的最小值为－， 所以m≤－，即实数m的最大值为－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $$