主题1 第1章 第1节 集合(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第1节　集　合 1．了解集合的含义，了解全集与空集的含义，体会元素与集合的属于关系． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定子集的补集． 4．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算． 1．集合的基本概念 (1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的关系 ①属于，记为∈；②不属于，记为∉． (3)常见数集的记法 集合 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N＋(或N*) Z Q R (4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③图示法． 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子 集 如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，若A包含于B，则称A是B的一个子集 A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集 A B(或BA) 集合 相等 如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等 A＝B 3.集合的基本运算 　　表示 运算 　 文字语言 集合 语言 图形语言 记法 并 集 把所有集合A、B中的元素放在一起组成的集合，叫做A和B的并集，简称为并 {x|x ∈A，或 x∈B} A∪B 交 集 把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A，B的交集 {x|x ∈A，且 x∈B} A∩B 补 集 若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集 {x|x ∈U，且 x∉A} ∁UA 　　 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UB⊆∁UA. 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)∅＝{0}．(　　) (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．(　　) (3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.(　　) (4)N⊆N＋⊆Z.(　　) (5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．已知集合A＝，则下列表述正确的是(　　) A．1⊆A　　　　　　　B．{0}⊆A C．＝A D．∈A 解析：C　[由x2＝1，得x＝±1， 所以A＝，故C正确；对于A，1∈A，故A错误；对于B，故B错误；对于D，⊆A，故D错误．故选C.] 2．(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　) A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{1，2，3} 解析：A　[由M＝{x|x∈P且x∉Q}知，M＝{1}．] 3．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝(　　) A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5} 解析：A　[因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以∁UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}， 所以N∪∁UM＝{2，3，5}．] 4．(BSD必修第一册P9例6改编)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________________． 解析：因为A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，所以A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1或4≤x＜5}． 答案：R　{x|－1＜x≤1或4≤x＜5} 5．(忽视空集讨论)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________． 解析：由题易得M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1. 答案：0或1或－1 　　　 1．(2025·湖北十堰期末)下列关系中正确的个数为(　　) ①2∈R；②∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q. A．1个　　　 　　 　　B．2个 C．3个 D．4个 解析：C　[对于①，2∈R显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，|－3|＝3是自然数，故③正确； 对于④，|－|＝是无理数，故④错误．故正确个数为3.故选C.] 2．已知集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为(　　) A．6　　　 B．7 　　　C．8　 　　D．9 解析：C　[因为集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}， 所以A＝{0，1，2}，因为B＝{C|C⊆A}， 所以B中的元素为A的子集，即B有23＝8个．] 3．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　) A．0 B． C．1 D．2 解析：BD　[因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}， 所以或解得或所以m＋n＝或m＋n＝2.] 4．设A＝，B＝{|a－2|, 3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________． 解析：因为4∈A，即4∈{2，3，a2－3a，a＋＋7}， 所以a2－3a＝4或a＋＋7＝4. 若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4； 若a＋＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2. 由a2－3a与a＋＋7互异，得a≠－1. 故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|，3}， 所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6. 综上所述，a的取值集合为{4}． 答案：{4} 　　 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． (3)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性． 　　　 [典例]　(1)(2025·宁夏银川阶段练习)设集合A＝，B＝，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B． C．1 D．0 [解析]　因为A⊆B，所以1∈B. 当2a－3＝1时，a＝2，此时a－1＝1，舍去； 当1－2a＝1时，a＝0，此时A＝，B＝，符合题意．故选D. [答案]　D (2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则使B⊆A成立的实数m的取值范围是________． [解析]　①当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时B⊆A成立，符合题意． ②当B≠∅时， 解得2≤m≤4. 综上，实数m的取值范围是(－∞，4]. [答案]　(－∞，4] [互动探究] 在本例(2)中，若把“B⊆A”改为“A⊆∁UB”，则实数m的取值范围是________． 解析：①当B≠∅时，则m＋1≤2m－1，即m≥2， 因为集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 则∁UB＝{x|x＜m＋1或x＞2m－1}， 又A⊆∁UB，则m＋1＞7或2m－1＜－2， 解得m＞6或m＜－，又m≥2，所以m＞6； ②当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时∁UB＝R，符合题意． 综上所述，实数m的取值范围为m＞6或m＜2. 答案：(－∞，2)∪(6，＋∞) 　　 由集合的关系求参数的关键点 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍． 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况． 1．(2025·湖北模拟)已知集合M＝ ，N＝，则下列表述正确的是(　　) A．M∩N＝∅ B．M∪N＝R C．M⊆N D．N⊆M 解析：C　[M＝表示是的含义是正奇数除以4， N＝表示的含义是整数除以4， 所以M⊆N.故选C.] 2．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________． 解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2. ②若1∈B，则12＋m＋1＝0， 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； ③若2∈B，则22＋2m＋1＝0， 解得m＝－，此时B＝，不符合题意． 综上所述，实数m的取值范围为[－2，2). 答案：[－2，2) 　　　 ►[命题点1]　求交集、并集 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x∣－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0}　　　　　　B． C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 解析：A　[因为A＝，B＝，且注意到1<<2， 从而A∩B＝ .故选A.] 2．(2024·成都期末)设集合A＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，B＝{x|x＞0}，则(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|0＜x＜1} D．A∪B＝{x|x＞1} 解析：C　[∵集合A＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，B＝{x|x＞0}，A＝(－3，1)，B＝(0，＋∞)，∴A∩B＝(0，1).] ►[命题点2]　集合的交、并、补的综合运算 1．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝，则∁A(A∩B)＝(　　) A． B． C． D． [考题解读]　本题考查集合的交、补的运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．集合是高考每年必考知识点，一般以容易题目呈现，位于选择题的前3题的位置上，所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集，这种考查方式多年来保持稳定． 解析：D　[因为A＝，B＝{x|∈A}，所以B＝， 则A∩B＝，∁A＝.故选D.] 2．(多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x＞2} D．A∩(∁RB)＝{x|2＜x≤3} 解析：BD　[∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}， ∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，故A不正确； A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确； ∵∁RB＝{x|x＜－2或x＞2}， ∴A∪(∁RB)＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，故C不正确； A∩(∁RB)＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故D正确．] ►[命题点3]　利用集合的基本运算求参数的取值(范围) [典例]　(1)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，A∪B＝A，则实数a值构成的集合为(　　) A．{2}　　　　　　　B．{－1，2} C．{1，2} D．{0，2} [解析]　由A∪B＝A知：B⊆A，当a＋2＝3，即a＝1，则a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，不符合；当a＋2＝a2，即a＝－1或a＝2.若a＝－1，则a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，不符合；若a＝2，则A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，满足要求．综上，a＝2. [答案]　A (2)(2025·豫北名校联考)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D．(1，＋∞) [解析]　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知，若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有即所以即≤a<. [答案]　B 　　 解集合运算问题应注意以下三点 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图． 　提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 1．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　　B．1　　　C．　　　D．－1 解析：B　[若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足题意．故选B.] 2．(2023·全国甲卷)设集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析：A　[因为整数集U＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．] 　　　 [典例]　(2025·北京房山模拟)已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称(A1，A2)为集合U的一种真分拆，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为集合U的同一种真分拆 ①A1∩A2＝∅； ②A1∪A2＝U； ③Ai(i＝1，2)的元素个数不是Ai中的元素． 则集合U＝{1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是(　　) A．5 B．6 C．10 D．15 [解析]　由题意，集合U＝{1，2，3，4，5，6}的真分拆有A1＝{5}，A2＝{1，2，3，4，6}；A1＝{1，4}，A2＝{2，3，5，6}；A1＝{3，4}，A2＝{1，2，5，6}；A1＝{4，5}，A2＝{1，2，3，6}；A1＝{4，6}，A2＝{1，2，3，5}，共5种． [答案]　A 　　 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素． 用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义A*B＝已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋1)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C(S)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：D　[由A＝{x|x2＋x＝0}，可得A＝{－1，0}， 因为(x2＋ax)(x2＋ax＋1)＝0等价于x2＋ax＝0或x2＋ax＋1＝0， 且A＝{－1，0}，A*B＝1，所以集合B要么是单元素集，要么是三元素集． ①若B是单元素集，则方程x2＋ax＝0有两个相等实数根，方程x2＋ax＋1＝0无实数根，故a＝0； ②若B是三元素集，则方程x2＋ax＝0有两个不相等实数根，方程x2＋ax＋1＝0有两个相等且异于方程x2＋ax＝0的实数根，即a2－4＝0⇒a＝±2且a≠0. 综上所求a＝0或a＝±2，即S＝{0，－2，2}，故C(S)＝3.] 学科网（北京）股份有限公司 $$