第04讲 1.4充分条件与必要条件-【精讲精练】2025-2026学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第04讲 1.4充分条件与必要条件 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练1】（24-25高三下·上海虹口·期中）若是实数，则“”是“”的（   ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】“”即“或”， 故“”不能推出“”， “”可以推出“”， 故“”是“”的必要非充分条件. 故选：C 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【即学即练2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据充分不必要条件求参数 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 第三部分 题型精讲 题型01判断命题的真假 【典例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、判断两个集合的包含关系 【分析】根据题意确定，的取值，得出与集合，的关系，判断命题是否正确. 【详解】命题①对于任意，都有； 若，则即，,或，，，即， 若，则时即即， 或时即即，故总有， 故命题①为真命题； 命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故； 若，则当，一定成立，即，此时， 当时，，此时也成立， 故命题②为真命题； 故选：A. 【典例2】（多选）（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）下列结论正确的是（ ） A．命题“若，则”为真命题 B．“”是“”的充分不必要条件 C．已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D．命题“若，则且”为真命题 【答案】ABD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的真假 【分析】根据命题真假的判定可判断ACD；根据充分以及必要条件的判断可判断B. 【详解】对于A，时，则，故A正确； 对于B，时，；当时，或， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，方程有实数根时，， 时，必有，故命题“若，则方程有实数根”为真命题， 则命题的否定为假命题，C错误； 对于D，时，且， 故命题“若，则且”为真命题，D正确， 故选：ABD 【变式1】（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、根据或且非命题的真假判断命题的真假 【分析】根据或且命题真假性的性质即可求解. 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 【变式2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 【答案】ABC 【知识点】判断命题的真假 【分析】举例子即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，成立，故A正确， 对于B，1既不是合数也不是质数，故B正确， 对于C,当，是无理数，故C正确， 对于D,负数没有算术平方根，故D错误， 故选：ABC 【变式3】（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 【答案】甲 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据韦达定理再结合题意即可判断. 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 题型02充分条件、必要条件的判断 【典例1】（2025·广东茂名·二模）设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据已知条件，推得是的真子集，即可判断． 【详解】∵集合， ， ∴是的真子集， 是的充分不必要条件． 故选：A． 【典例2】（24-25高一上·山西·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【知识点】几何意义证明绝对值不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】求解不等式，根据充分必要条件的定义求解即可. 【详解】由，解得或， 所以能得出，但成立不一定能得到， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 【变式1】（2025·内蒙古包头·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分、必要条件的判断，结合不等式求解即可判断. 【详解】由，可得， 可得：，也即且， 可得，可得， 若，取，显然不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【变式2】（24-25高一上·河南·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】结合特例及平方数和绝对值的定义，根据充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】若，，满足，但不成立； 若，则，则成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式3】（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】由推不出，例如， 由可得或，当时不能推出， 例如； 所以是的既不充分又不必要条件， 故选：D 题型03 根据充分性，必要性求参数 【典例1】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】补集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、并集的概念及运算 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则 （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 【典例2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式1】（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【知识点】根据必要不充分条件求参数、交并补混合运算 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 【变式2】（24-25高一上·广东潮州·期末）设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）化简集合，再由集合并集运算即可； （2）由题意得到，构造不等式求解即可； 【详解】（1）由题设，，当时，所以； （2）由题设，，且，若P是q的必要不充分条件，则 又a为正实数，即，解得， 故a的取值范围为. 【变式3】（24-25高一上·甘肃·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【知识点】补集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、交集的概念及运算 【分析】（1）根据集合间的运算可得； （2）根据题意⫋，根据和分类可得. 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或. （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以⫋. 当时，符合题意，此时有，解得. 当时，要使⫋，只需解得. 综上可得， 即实数的取值范围是 题型04探索命题为真的充要条件 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据充要条件求参数 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 【典例2】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或（2）不存在，理由见解析. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据两个集合相等求参数、根据充分不必要条件求参数、根据充要条件求参数 【分析】（1）由已知得，分为或两种情况来讨论，建立不等式（组），求解可得出实数的取值范围. （2）由已知可得，根据集合相等建立不等式组可得结论. 【详解】（1）集合，集合. 因为是的充分条件，所以， ∴集合可以分为或两种情况来讨论： 当时，满足题意，此时，解得：； 当时，要使成立， 需满足， 综上所得，实数的取值范围.或 （2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么， 则必有，解得，综合得无解. 故不存在实数，使得， 即不存在实数，使得是的充要条件. 【点睛】本题考查充分必要条件，集合间的关系，根据集合间的关系求参数的范围，属于中档题. 【变式1】（23-24高一·全国·单元测试）设集合，，则“且”成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】根据题意得到，再计算得到答案. 【详解】由题意可知，，，即， 所以“且”成立的充要条件是． 故选：D． 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根（含两相等实根）的充要条件为 . 【答案】或 【知识点】探求命题为真的充要条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据方程根的情况，讨论和两种情况，结合一元二次方程根的分布情况，以及充要条件的概念，即可求解. 【详解】若方程有且仅有一个负实数根，则当时，，符合题意. 当时，方程有实数根，则，解得， 当时，方程有且仅有一个负实数根， 当且时，若方程有且仅有一个负实数根，则，即. 所以当或时，关于x的方程的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x的方程的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“或”. 故答案为：或. 【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）已知a、b、c为的三边长，集合，． (1)若，求； (2)求的充要条件． 【答案】(1) (2)的充要条件是 【知识点】并集的概念及运算、探求命题为真的充要条件 【分析】（1）解方程，由集合的并集运算计算即可； （2）由集合的交集运算，结合判别式得出，再由，得出. 【详解】（1）由，得，， 从而 （2）当时，，，且存在，使得，． 于是， 又a、b、c为的三边长，得． 从而的充要条件是 ②③，并注意到，得．④ 将④代入③，得⑤ 即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是． 题型05 易错题型：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 【典例1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 【典例2】（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由题意，得，当时，，所以． 当时，，所以只需即可. 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 【变式1】（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算、探求命题为真的充要条件 【分析】，故，得到答案. 【详解】因为， 所以， 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 【变式2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分不必要条件的判定可得 【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 【变式3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式化简p，再根据充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】由，得， 所以是成立的一个充分不必要条件. 故选：B. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】因为不能推出，所以“”不是“”的充分条件； 因为能推出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要条件非充分条件， 故选：B． 2．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）已知集合，集合且，是的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据条件可得⫋，由此可得答案. 【详解】由得，， ∴， ∴⫋， ∴是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、既不充分也不必要条件 【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断. 【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到； 当时，若，就不能得到. 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】根据交集结果求集合或参数、充要条件的证明 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【详解】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、充要条件的证明 【分析】通过，得，再根据充要条件的判断方法判断即可. 【详解】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 7．（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据绝对值的定义求解不等式，利用充分条件的定义建立不等式组，可得答案. 【详解】由不等式，可得（不合题意）， 要使得是的一个充分条件， 则满足，解得. 故选：D. 8．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】由命题“，”为真命题 可得，恒成立， 即可得，则可推得，必要性成立 而推不出，充分性不成立， ，”为真命题的一个必要不充分条件是； 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】必要条件的判定及性质 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 三、填空题 10．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、充分条件的判定及性质 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 四、解答题 11．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 12．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题关于的方程（）有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、已知命题的真假求参数 【分析】（1）利用判别式求解可得； （2）分和，根据集合关系讨论即可. 【详解】（1）若是真命题，则， 解得，则； （2）当，即时，，此时，满足； 当，即时，， 因为，所以，则或，解得. 综上，实数的取值范围为.或 B能力提升 1．（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 2．（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D 3．（23-24高一上·四川成都·期中）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】先利用绝对值的几何意义化简不等式，再根据充分不必要条件列不等式求解即可. 【详解】等价于， 因为成立的一个充分不必要条件是，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、分式不等式 【分析】先分别把不等式表示为集合的形式，由题意可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】因为， 且， 所以由题意可得， 所以，，且等号不同时成立， 所以解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 5．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 6．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2)． 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）由是成立的充分不必要条件所以是的真子集，进而求出结果； （2）由可得且，解不等式即可求出结果． 【详解】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 又因为所以或， 所以的取值范围为或； （2），且 ∴且，即 故的取值范围是． C综合素养 1．（24-25高一上·北京·期中）我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据定义，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当，时，满足， 此时，，即， 所以“”不是“”的充分条件； 当，时，，， 此时，，即，此时， 所以“”不是“”的必要条件， 综上所述“”是“”既不充分也不必要条件， 故选：D. 2．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【知识点】描述法表示集合、判断命题的真假 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 1.4充分条件与必要条件 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练1】（24-25高三下·上海虹口·期中）若是实数，则“”是“”的（   ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【即学即练2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01判断命题的真假 【典例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【典例2】（多选）（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）下列结论正确的是（ ） A．命题“若，则”为真命题 B．“”是“”的充分不必要条件 C．已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D．命题“若，则且”为真命题 【变式1】（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【变式2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 【变式3】（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 题型02充分条件、必要条件的判断 【典例1】（2025·广东茂名·二模）设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（24-25高一上·山西·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【变式1】（2025·内蒙古包头·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·河南·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3】（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型03 根据充分性，必要性求参数 【典例1】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【典例2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式2】（24-25高一上·广东潮州·期末）设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【变式3】（24-25高一上·甘肃·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型04探索命题为真的充要条件 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【典例2】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式1】（23-24高一·全国·单元测试）设集合，，则“且”成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根（含两相等实根）的充要条件为 . 【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）已知a、b、c为的三边长，集合，． (1)若，求； (2)求的充要条件． 题型05 易错题型：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 【典例1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）已知集合，集合且，是的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 3．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 11．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 12．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题关于的方程（）有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． B能力提升 1．（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 . 4．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． C综合素养 1．（24-25高一上·北京·期中）我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 学科网（北京）股份有限公司 $$