第03讲 1.3集合的基本运算-【精讲精练】2025-2026学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第03讲 1.3集合的基本运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 【即学即练1】（湖南省名校联合体2025届高三考前仿真模拟数学试卷（一））若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的定义可求. 【详解】因为，所以. 故选：A. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 【即学即练2】（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】集合， 则. 故选：D 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练3】（2025·广东中山·模拟预测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据集合的补集运算和交集运算即可求解. 【详解】∵，，∴. 又，∴. 故选：A. 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 第三部分 题型精讲 题型01交集的概念及运算 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由交集的概念即可判断. 【详解】由题得，． 故选：B 【典例2】（2025·重庆·模拟预测）已知集合，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】集合A，B可化为分母相同的元素，其中分子分别为除3余2整数，除2余1整数，据此可得出交集. 【详解】集合，, 所以， 故选：C 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据题意先求出集合，利用集合的交集运算得到，再根据交集中元素的个数计算其子集的个数. 【详解】由题意得， 所以，所以的子集个数为. 故选：C. 【变式2】（24-25高一下·山西晋城·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算、列举法表示集合 【分析】根据题意，求得，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 又由集合，所以. 故选：B. 【变式3】（2025·四川成都·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义运算即得. 【详解】根据题意，集合A为正奇数集，，则. 故选：B. 题型02根据交集的运算结果求集合或参数 【典例1】（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）利用集合的运算求解即可； （2）分类讨论集合是否为空集即可. 【详解】（1）当时，， 因此， 所以或. （2）由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【典例2】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可； （3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以，， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以，． （3）因为，所以，又， 所以或或或， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解， 综上，的范围为． 【变式1】（2025·河北·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】分析可知，结合集合的元素特征运算求解即可. 【详解】因为，则， 且，则，解得， 此时，满足， 所以符合题意. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·山东威海·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）确定集合、，根据并集的概念求解. （2）确定集合、的关系，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）由或，所以； 当时，由，所以. 所以 （2）由，所以. 若，则方程无解，所以； 若，则； 若，则. 综上可得： 【变式3】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】（1）当时，求出，再根据交并补概念计算；（2）由，可得，分类讨论计算即可. 【详解】（1）当时，可得集合， 所以. ，． （2）由，可得， ①当时，可得，解得； ②当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 题型03并集的概念及运算 【典例1】（24-25高三下·广东广州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】化简，由集合并集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：C 【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，，则 ． （2）已知集合，，则 ． 【答案】 或 【知识点】并集的概念及运算 【分析】由集合的并集运算即可求解. 【详解】（1）因为，，所以． （2）在数轴上表示出集合，，如图所示，则或． 故答案为：，或． 【变式1】（2025高三下·北京·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的定义即可求. 【详解】由可得. 故选：D 【变式2】（2025·天津红桥·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算 【分析】解不等式，得到，利用并集概念求出答案. 【详解】，又， 所以. 故选：B 【变式3】（2025·新疆·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、并集的概念及运算 【分析】求出，根据并集概念求出答案. 【详解】，又， 所以. 故选：C 题型04根据并集的运算结果求集合或参数 【典例1】（24-25高一下·云南昭通·开学考试）集合，. (1)若只有一个整数，求实数的取值范围； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据题意可知满足即可，因此； （2）利用并集的结果可得，对是否为空集进行分类讨论，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）只有一个整数，又包含不止一个整数， ，且， ， 可得实数的取值范围是. （2）由，可得. ①若，此时，解得 ②若，此时需满足，此时不等式无解. 综上可知. 【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解； （2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 【变式1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）将代入，根据补集定义求，再根据并集定义求结论， （2）条件可转化为，根据集合包含关系列不等式求结论. 【小题1】由得，， 因为，或， 所以或， 【小题2】因为，所以， 由于，故， 可得，故． 综上可知的取值范围为． 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)；或； (2) 【知识点】根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）代入，再由交并补的混合运算可得结果； （2）根据并集结果可得，得出对应不等式可求得m的取值范围. 【详解】（1）当时，可得，或； 又，所以； 或； （2）由可得， 当时，，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，m的取值范围为. 【变式3】（24-25高一上·河南信阳·期中）已知集合，． (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足_________时，求实数的取值范围． (2)若，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）选择①②③，都有，分类讨论集合是否为空集，限定出不等式范围即可得实数的取值范围； （2）分类讨论集合是否为空集，得出不等关系即可得实数的取值范围； 【详解】（1）选择①，由可得， 当时，，解得 当时，，解得． 综上，实数的取值范围为． 选择②，由可得， 当时，，解得 当时，，解得． 综上，实数的取值范围为． 选择③，由可得． 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. （2）当时，由，解得，符合题意 当时，或，解得； 综上，实数的取值范围为或． 题型05补集的概念及运算 【典例1】（2025·河南信阳·一模）已知全集，，，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】将全集进行化简，补集及交集运算，即可得出答案. 【详解】因为全集，，， 则，，， 所以. 故选：A. 【典例2】（24-25高三上·北京房山·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集定义计算即可. 【详解】因为，集合，则. 故选：D. 【变式1】（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）记集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据补集和交集的定义运算. 【详解】由题意，所求集合中的元素满足：且，有三个元素满足条件， 所以. 故选：C. 【变式2】（2025·北京石景山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算 【分析】利用集合的补集运算求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 故选：B 【变式3】（2025·北京顺义·一模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【分析】先确定集合，再根据补集的定义运算即可. 【详解】因为，. 所以. 故选：C 题型06根据补集的运算结果求集合或参数 【典例1】（23-24高一上·陕西渭南·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据补集运算确定集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解； (2)由，则，然后对是否为空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）， . （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 【典例2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【知识点】根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算、根据交集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数 【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求额吉；或. （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为.或 【变式1】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）设全集，集合． (1)求集合； (2)若，求集合． 【答案】(1) (2) 【知识点】列举法表示集合、根据交集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数 【分析】（1）解一元二次方程可得答案；． （2）根据可得代入可得答案. 【详解】（1）． （2），， ，∴解得， ． 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】补集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数 【分析】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解； （2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可. 【详解】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合， 则方程有两个相等的实数解. 又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4， 所以只有，从而，所以. 所以. （2）由知，即方程无解， 所以，解得， 故实数q的取值范围是. 【变式3】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，； (2)，. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、并集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数 【分析】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合. （2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解. 【详解】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 题型07交集、并集、补集的混合运算 【典例1】（多选）（2025·江西萍乡·二模）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．集合可能是 D． 【答案】BCD 【知识点】判断元素与集合的关系、交并补混合运算 【分析】由摩根定律，以及交并补混合运算知识即可求解. 【详解】由题意知 所以， 对于 A，因为，且，所以，A 选项错误； 对于B，由于，所以，B 选项正确； 对于C，已知，这意味着既属于A又属于B， 若，当时， 此时满足所有已知条件，故C选项正确； 对于D，因为，又，所以，D选项正确； 故选：BCD. 【典例2】（2025高二·全国·专题练习）已知全集，集合或，，求、； 【答案】，或. 【知识点】交并补混合运算、交集的概念及运算 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】因为全集，集合或，， 所以 或 所以 或. 【变式1】（2025·北京通州·一模）已知全集为R，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】由补集及交集运算即可求解. 【详解】由，可得或， 所以， 故选：B 【变式2】（2025·西藏拉萨·二模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合的补集、并集运算即可求解. 【详解】由条件： ． 故选：A． 【变式3】（24-25高一下·广东韶关·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算 【分析】可根据交并补的概念算出各选项结果判断即可. 【详解】由题意得． 故选：C. 题型08根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【典例1】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，． (1)求； (2)若集合，，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、并集的概念及运算 【分析】（1）确定集合，由并集运算即可； （2）由条件分别判断0，1是否属于集合即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以． （2）由，又，得， 由，得， 所以． 【典例2】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3) 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为或. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为且且. 【变式1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 【变式2】（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2)或； 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述或； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述或； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述或； 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、交集的概念及运算 【分析】(1)根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围； (2)分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 题型09容斥原理 【典例1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多 ． 【答案】21 【知识点】利用Venn图求集合、容斥原理的应用 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程，由的最大值求的最大值. 【详解】如图，设该班学生中同时参加三个小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 所以只参加其中一个小组的人数最多为21. 故答案为：2. 【典例2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）“学科阅读课程”是清镇市博雅实验学校提升学生综合素养必开的课程之一，也深受学生们的喜爱.在对“学生阅读”与“物理阅读”这两项理科阅读问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“数学阅读”活动，87%的学生喜欢“物理阅读”活动，则我校既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占我校学生总数的比例是 ． 【答案】 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】喜欢“数学阅读”活动的学生组成集合，喜欢“物理阅读”活动的学生组成集合，全校学生总数为， 依题意，， 由， 得， 所以既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占校学生总数的比例是. 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【知识点】容斥原理的应用 【分析】利用venn图，结合集合的运算求解. 【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【知识点】容斥原理的应用、交并补混合运算 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 【变式3】（24-25高一上·海南·阶段练习）集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为（    ） A．29人 B．23人 C．36人 D．25人 【答案】B 【知识点】容斥原理的应用 【分析】利用集合的容斥原理求解即可. 【详解】设参加田赛的学生组成集合，则， 设参加径赛的学生组成集合，则， 由题意，知， 所以， 所以该班参加运动会的学生人数为23人． 故选：B． 题型10新定义题 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）定义集合运算且，则以下集合是的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】集合新定义 【分析】直接根据新定义的概念即可得结果. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：A. 【典例2】（安徽省江南十校2025届高三下学期联考数学试卷）对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】根据并集结果求集合或参数、集合新定义、根据交集结果求集合或参数 【分析】依题意可得，令，则，再分、、三种情况讨论，分别求出的值（范围），即可得解. 【详解】因为， 且，即， 令，则， 所以， 当时，； 当时，； 当时，； 为了使，需将正数尽可能的分配给，负数分配给， 如，， 此时，，此时， 所以的最大值为. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·天津·阶段练习）设，是两个非空集合，规定且，根据这一规定，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】集合新定义 【分析】由题意且，然后用图表示集合，由图形即可得出答案． 【详解】由题意，且， 用图表示集合的关系如下图： 阴影部分表示， 所以． 故选：D． 【变式2】（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）定义集合的“长度”是，其中．已知集合，，且都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】交集的概念及运算、集合新定义、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合长度定义及其包含关系求解即可. 【详解】由题知，集合的长度分别为和，集合长度为2， 因为都是集合的子集， 所以当或时，集合的“长度”取得最小值， 最小值为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 【答案】 【知识点】集合新定义 【分析】根据题设定义，结合条件，即可求解. 【详解】由题设定义知， 故答案为：. 题型11方法一（韦恩图的应用） 【典例1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合即可. 【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于集合，但属于集合，所以阴影部分所表示的集合是. 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）下列表示集合和关系的图中正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、列举法表示集合、利用Venn图求集合 【分析】首先化简集合、，求出，即可判断. 【详解】因为， 由，即或， 解得，，，， 所以， 所以，且不包含于，不包含于， 故图中正确的是A. 故选：A 【变式1】（山西省太原市2024届高三下学期模拟考试数学试题（一））已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据图和集合之间的关系进行判断． 【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以用集合表示为． 因为集合，， 则，所以， 故选：B． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·湖南郴州·期中）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据题意，进而可得. 【详解】由题意，观察选项只有选项符合题意， 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则满足的集合B的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、并集的概念及运算 【分析】依题意可得，进而分析得到符合条件的集合B的个数. 【详解】依题意，，所以，且， 则满足条件的集合B的个数就是集合的子集个数， 所以符合条件的集合B的个数是． 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据子集及补集定义计算判断各个选项. 【详解】因为或，所以A，B错误，D正确； 又，故C错误. 故选：D. 4．（2025·黑龙江大庆·三模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先确定集合，再求交集即可. 【详解】集合，，则 故选：B. 5．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】补集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围. 【详解】由得，. 由得，， ∴或， ∴，解得. 故选：A. 6．（2025·广东广州·模拟预测）满足的集合A的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由一元二次方程以及集合之间的包含关系，可得答案. 【详解】由，整理可得，解得或， 则，设，所以，可得. 故选：B. 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合可能是 C．集合可能是 D．可能属于 【答案】ABD 【知识点】判断元素与集合的关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】根据集合的运算可判断A选项；分析可知，集合中一定包含元素、、，结合交集运算可判断B选项；因为不是自然数，结合交集的运算可判断C选项；根据可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 因为集合，所以集合中一定包含元素、、， 又因为，所以集合可能是，故B正确； 因为不是自然数，所以集合不可能是，故C错误； 因为是最小的自然数，所以可能属于集合B，故D正确． 故选：ABD. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】ACD 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】分别讨论，，，即可求解. 【详解】由题意得集合． 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合． 综上，或3或4． 故选：ACD 三、填空题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，，若C的真子集共有3个，则实数m的值为 ． 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】先得到，，故，根据C的真子集个数得到C中只有2个元素，即，故，求出， 【详解】，，， 故，因为C的真子集共有3个， 所以集合C中只有2个元素，即， 所以，即时，经验证，符合题意． 故答案为： 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合与的相同元素组成的集合为 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算 【分析】逐个列举计算即可求解. 【详解】因为，， 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以，． 所以集合A，B的相同元素组成的集合为． 故答案为： 四、解答题 11．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）由，得，从而解出的值，分别代入集合检验是否满足，从而确定的值； （2）由得，从而求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以，解得或． 当时，，，不合题意； 当时，，满足题设． 所以，实数的值为1． （2）集合， 集合， 因为，所以，从而，解得， 所以实数的取值范围为. 12．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示） (3)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、补集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）根据集合的交集可知，解一元二次方程可得a的值，验证是否符合题意； （2）利用根与系数的关系即可求得答案. （3）由题意判断出，分类讨论B的情况，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以，即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足，所以或. （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且， 所以. （3）因为，且，故, 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上，. B能力提升 1．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，且满足，， 所以当时满足， 此时，解得， 当时，则有， 解得,综上，， 即实数的取值范围为． 故选：A． 2．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】运用集合与集合之间的关系构造方程计算参数即可. 【详解】由得. 当时，，满足； 当时，因为， 所以或， 解得或. 故选：C. 3．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算 【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】先求出集合，由得，再分，，，四种情况讨论求解即可. 【详解】由， 因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． C综合素养 1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】集合新定义 【分析】根据新定义，逐项判断分析即可. 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 3．（23-24高一上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，，，，. 【知识点】集合新定义 【分析】（1）直接根据定义即可判断； （2）利用“好集”的定义，证明该结论； （3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案. 【详解】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 1.3集合的基本运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 【即学即练1】（湖南省名校联合体2025届高三考前仿真模拟数学试卷（一））若，则（    ） A． B． C． D． 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 【即学即练2】（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练3】（2025·广东中山·模拟预测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 第三部分 题型精讲 题型01交集的概念及运算 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·重庆·模拟预测）已知集合，，则（   ）. A． B． C． D． 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．7 C．8 D．9 【变式2】（24-25高一下·山西晋城·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·四川成都·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型02根据交集的运算结果求集合或参数 【典例1】（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【典例2】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【变式1】（2025·河北·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（24-25高一上·山东威海·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【变式3】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型03并集的概念及运算 【典例1】（24-25高三下·广东广州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，，则 ． （2）已知集合，，则 ． 【变式1】（2025高三下·北京·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津红桥·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式3】（2025·新疆·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型04根据并集的运算结果求集合或参数 【典例1】（24-25高一下·云南昭通·开学考试）集合，. (1)若只有一个整数，求实数的取值范围； (2)若，且，求实数的取值范围. 【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 【变式3】（24-25高一上·河南信阳·期中）已知集合，． (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足_________时，求实数的取值范围． (2)若，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 题型05补集的概念及运算 【典例1】（2025·河南信阳·一模）已知全集，，，则是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·北京房山·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）记集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·北京石景山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·北京顺义·一模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型06根据补集的运算结果求集合或参数 【典例1】（23-24高一上·陕西渭南·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【典例2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）设全集，集合． (1)求集合； (2)若，求集合． 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 【变式3】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 题型07交集、并集、补集的混合运算 【典例1】（多选）（2025·江西萍乡·二模）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．集合可能是 D． 【典例2】（2025高二·全国·专题练习）已知全集，集合或，，求、； 【变式1】（2025·北京通州·一模）已知全集为R，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·西藏拉萨·二模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·广东韶关·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型08根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【典例1】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，． (1)求； (2)若集合，，求． 【典例2】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【变式1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式2】（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 题型09容斥原理 【典例1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多 ． 【典例2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）“学科阅读课程”是清镇市博雅实验学校提升学生综合素养必开的课程之一，也深受学生们的喜爱.在对“学生阅读”与“物理阅读”这两项理科阅读问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“数学阅读”活动，87%的学生喜欢“物理阅读”活动，则我校既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占我校学生总数的比例是 ． 【变式1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【变式3】（24-25高一上·海南·阶段练习）集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为（    ） A．29人 B．23人 C．36人 D．25人 题型10新定义题 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）定义集合运算且，则以下集合是的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（安徽省江南十校2025届高三下学期联考数学试卷）对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式1】（24-25高一上·天津·阶段练习）设，是两个非空集合，规定且，根据这一规定，等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）定义集合的“长度”是，其中．已知集合，，且都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ． 【变式3】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 题型11方法一（韦恩图的应用） 【典例1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）下列表示集合和关系的图中正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（山西省太原市2024届高三下学期模拟考试数学试题（一））已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式3】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·湖南郴州·期中）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则满足的集合B的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江大庆·三模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（2025·广东广州·模拟预测）满足的集合A的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合可能是 C．集合可能是 D．可能属于 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 三、填空题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，，若C的真子集共有3个，则实数m的值为 ． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合与的相同元素组成的集合为 ． 四、解答题 11．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 12．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示） (3)若，求实数的取值范围； B能力提升 1．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． C综合素养 1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 学科网（北京）股份有限公司 $$