第02讲 1.2集合间的基本关系-【精讲精练】2025-2026学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第02讲 1.2集合间的基本关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练3】（24-25高一上·天津宁河·期中）若集合 则的真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．25 D．24 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据真子集个数的计算公式运算即可. 【详解】集合共有5个元素， 所以集合共有个真子集. 故选：B 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练4】（24-25高二下·云南大理·开学考试）若集合是空集，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】分和讨论方程解的情况，可得答案. 【详解】若，则方程无解，所以; 若，由方程无解，可得即，此时. 综上可知，实数的取值范围为：. 故答案为： 第三部分 题型精讲 题型01判断两个集合的包含关系 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 【典例2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 【答案】A 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合中的元素满足的约束即可求解. 【详解】由，可知： 集合是由所有的奇数构成的集合，而集合中的元素是的倍数，故， 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】将变形为，变形为，分析结构可知，从而得到结果. 【详解】， ， 表示等奇数， 表示等奇数， . 故选：C. 题型02 判断子集（真子集）的个数 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 【典例2】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 【变式1】（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）满足⫋的集合A的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】列举出满足要求的集合，得到答案. 【详解】满足⫋的集合可以为， 故集合A的个数为3. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先求出集合，再根据子集的定义即可求解. 【详解】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 题型03求集合中子集（真子集） 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的个数. 【答案】集合A的所有子集见解析，集合A的所有子集共有16个 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】对集合A的子集分类，分类依据是子集中含有的元素个数，从而即可求解. 【详解】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 【变式1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 【变式3】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 【答案】，，，． 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集. 【详解】当时，， 集合A的所有子集有，，，． 题型04空集的概念集判断 【典例1】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空集的概念以及判断、判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断B、D选项. 【详解】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误； 对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确； 对于C，因为是集合中的元素，故C正确. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【变式1】（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断 【分析】ABD由空集定义可判断选项正误；C由集合间关系可判断选项正误. 【详解】对于A，空集中不含元素，则，故A错 对于B，空集是任意集合的子集，则，故B对； 对于C，集合间有包含关系，不能用属于符号连接，故C错； 对于D，对于方程，， 故方程无解，即，故D对. 故选：BD 【变式2】（多选）（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断 【分析】从元素与集合的关系、集合与集合的关系两方面来看即可求解. 【详解】从元素与集合的关系来看：成立，不成立， 从而集合与集合的关系来看：成立，但不成立. 故选：AB 【变式3】（多选）（23-24高一上·重庆九龙坡·期中）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】根据空集的概念以及元素和集合的关系，逐项分析判断即可得解. 【详解】对A，空集没有任何元素，故A错误； 对B，空集是任何集合的子集，故B正确； 对C，方程无解，故C正确； 对D，由元素构成的集合并不是空集，故D错误. 故选：BC 题型05空集的性质及应用 【典例1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】空集的性质及应用 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】空集的性质及应用、方程与不等式 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【知识点】空集的性质及应用 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 【变式2】（24-25高一上·北京东城·期中）若集合，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【知识点】空集的性质及应用 【分析】利用判别式小于0求解 【详解】故无解则 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·江苏镇江·开学考试）若是的真子集，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】空集的性质及应用、子集的概念 【分析】根据题意以及真子集定义分析得出有实数解即可得出答案. 【详解】若是的真子集，则不是空集，即有实数解，故，即实数的取值范围是. 故答案为: 题型06判断两个集合是否相等 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】由集合相同概念逐个判断即可. 【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 【典例2】（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】利用集合相等的含义求解即可. 【详解】对于A，由，得，一一对应， 则； 对于B，由，得，一一对应，则； 对于C，由，得，一一对应，则； 对于D，，但方程无解，则与不相同 故选：ABC. 【变式1】（多选）（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果. 【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意； 对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意； 对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意； 对D：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意. 故选：ABD 【变式2】（多选）（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】为点集，为数集，所以，故A错误； ，，所以，故B错误； ，，所以，故C正确； ，，所以，故D正确； 故选：CD 【变式3】（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 【答案】①② 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究为奇数、为偶数可计算③，由N的定义可得④，依次判断即可求得结果． 【详解】对于①，； 对于②，中解得， 故； 对于③，当为奇数时，；当为偶数时，， 所以； 对于④，． 故答案为：①②. 题型07根据两个集合相等求参数 【典例1】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【知识点】根据两个集合相等求参数、集合元素互异性的应用 【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解. 【详解】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据建立方程，求解出参数，得到答案即可. 【详解】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 【变式1】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 【变式2】（24-25高三下·全国·开学考试）已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得的值，即可得结果. 【详解】，， 若，则，或， 解得，或，或， 经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以当时，； 当时，， 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若，则（    ） A．4 B． C．0 D．2 【答案】C 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等，建立方程组求解即可． 【详解】，且， 易知，解得，即. 故选：C． 题型08根据集合的包含关系求参数 【典例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用子集思想来确定端点值的取值范围，注意考虑空集也是任意非空集合的真子集. 【详解】由，可知：或， 解得：或，所以的取值范围是， 故选：C. 【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 【变式1】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ABC 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】按照B为空集和B不为空集，根据集合的包含关系分类讨论求得实数a的值，进而做出正确判断. 【详解】若B为空集，则方程无解，解得； 若B不为空集，则，由解得， 所以或，解得或． 综上，a的值可以为，0，． 故选：ABC. 【变式2】（24-25高一上·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 【答案】(1)14 (2)1和2． 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据得到中得元素，然后计算真子集个数即可； （2）解不等式得到，然后根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 故，其中含有4个元素， 故其非空真子集的个数为． （2）由题意可得， 由， 可得 解得， 故整数的所有可能取值为1和2． 【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）化简，再结合逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【详解】（1）当时， ， ． 又因为，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 题型09 新定义题 【典例1】（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 【典例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①，②，（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为 ． 【答案】27 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义、求集合的子集（真子集） 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】根据题意，满足集合A为I的一个好子集的情况共有以下四种： ①当，即集合A中元素的个数为1时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; ②当，即集合A中元素的个数为2时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; ③当，即集合A中元素的个数为3时，集合A的可能情况为 所以集合A的个数为; ④当，即集合A中元素的个数为4时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; 所以I的所有好子集的个数为. 故答案为：27. 【点睛】关键点睛：本题重点在于对新定义“好子集”的理解，分类讨论，进行求解. 【变式1】（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】先求出，再结合“保均值真子集”的概念列举集合的“保均值真子集”即可得到答案. 【详解】因为集合，则， 所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个． 故选：C 【变式2】（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】C 【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集） 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】已知集合， “孤立元”为1的集合为，，，； “孤立元”为2的集合为，； “孤立元”为3的集合为； “孤立元”为4的集合为，； “孤立元”为5的集合为，，，； 综上，满足题意的集合有13个. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】根据条件确定构成伙伴关系的元素，利用集合关系进行判断即可 【详解】若，则， 若，则， 若，则， 则为伙伴关系集合， 共7个 故选：B 方法1 数轴辅助法 【典例1】（23-24高一下·浙江·期中）设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系利用数轴即可得解. 【详解】如图，若，则. 故选：C. 【变式1】（24-25高一·上海·课堂例题）已知集合，，且，求实数a的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值 【分析】先确定集合A的取值范围，再根据集合间的包含关系可求出参数的值. 【详解】因为，所以， 即，又因为，结合数轴分析可得， ，所以. 所以a的取值范围是. 【变式2】（2024高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 方法2 分类讨论法 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 【变式1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数、列举法表示集合 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 【变式2】（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 典型易错题1 忽略空集 【典例1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含参数的一元一次不等式、根据元素与集合的关系求参数 【分析】分、和三种情况求解集合，并结合即可求解. 【详解】当时，即恒成立，故此时，满足； 当时，由得，故此时， 因为，，所以且， 所以； 当时，由得，故此时， 因为，，所以且， 所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 【变式1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有整数的取值构成的集合为（   ） A．{1，2} B．{1} C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】对进行分类讨论，根据来求得正确答案. 【详解】当时，，满足. 当时，，由于且， 所以或. 综上所述，整数的取值构成的集合为. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先求出，再根据，分，，求解. 【详解】因为， 当时，即； 当，所以，即； 当，所以，即， 所以的可能取值为，，0，不可能为. 故选：C. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】由集合元素的特征和属性进行判断. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 2．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）若集合则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据子集的定义直接求解即可. 【详解】若集合有个元素，则其子集个数为， 所以的子集个数为. 故选：A 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【知识点】空集的性质及应用、判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和，根据集合的包含关系分别研究参数范围. 【详解】若，则，即当时，满足； 若，则，即当时，由得，所以． 综上，． 故选：D. 5．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是（    ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断元素与集合的关系 【分析】依题意可得集合中的元素需从三个实数对中选取若干个即可，通过列举可得的个数. 【详解】由，则可知集合中的元素需从三个实数对中选取若干个即可； 因此若中含有一组实数对，则或或； 若中含有两组实数对，则或或； 若中含有三组实数对，则； 综上可知，适合上述条件的集合的个数是7个. 故选：C 6．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根据子集关系确定满足条件的集合的个数. 【详解】解方程的根，，则. 因为  . 那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有）， 所以集合的个数即为集合的真子集个数，共有个. 故选：C. 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据各选项集合的包含关系得到不等式组，判断不等式组的解的情况，即可得解. 【详解】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确； 对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误； 对于C：当时，不满足，故C错误； 对于D：当，即时，，符合， 当时，要使，则，解得，不满足， 综上，当且仅当时， 所以当时不正确，故D错误． 故选：BCD 8．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】根据集合的包含关系求参数、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合的性质列不等式，集合的包含关系列方程可求结论. 【详解】因为，， 所以且且， 所以且且且， 因为， 所以或， 所以或或（舍去）， 故选：BD. 三、填空题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据题意，得到方程无实根，结合，即可求解. 【详解】由，可得方程无实根， 则满足，解得，所以实数的取值范围. 故答案为：. 10．（2025高三·全国·专题练习），集合，则 . 【答案】2 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合的相等含义，易得，又由推得，即可代入求值. 【详解】由题意知，所以，则，又，所以，. 故. 故答案为：2. 四、解答题 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 12．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. B能力提升 1．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）满足的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断两个集合的包含关系、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根据子集关系确定满足条件的集合的个数. 【详解】解方程的根，，则. 因为  . 那么中一定包含和，且是的真子集. 除了和之外，还可以包含，，中的部分元素. 对于，，这三个元素，每个元素都有两种情况（在中或者不在中），根据真子集个数的结论知道.总共有种情况. 故选：C. 3．（多选）（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 4．（多选）（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的概念以及判断 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，求得，分，，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. C综合素养 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【答案】(1)； (2)①；②. 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 2．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知有限实数集，若，则称A为“和积平衡集”. (1)分别判断集合、集合是否为“和积平衡集”； (2)已知集合M为“和积平衡集”，且，请用列举法表示集合M（不需要说明理由）； (3)已知实数，若集合为“和积平衡集”，是否存在实数z满足，并且使得为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)P不是“和积平衡集”，Q是“和积平衡集” (2) (3)不存在符合题意的实数z，理由见解析 【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合、根据集合的包含关系求参数、集合新定义 【分析】（1）由“和积平衡集”的定义分别计算出集合中的元素之和与积是否相等即可得出结论； （2）易知，可得； （3）利用集合中元素的互异性以及“和积平衡集”中元素的特征，构造方程组解方程可得不存在满足条件的实数. 【详解】（1），集合P不是“和积平衡集” ， 集合Q是“和积平衡集” （2）根据“和积平衡集”的定义可知，， 所以符合题意的集合 （3）若存在符合题意的实数z，则 ，即，解得或或， 当时，则，，不符合题意. 当时，， 由此可得是方程的实数解. 但此时，方程无实数解，所以不符合题意. 同理，当时，不符合题意 综上，不存在符合题意的实数. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“和积平衡集”的定义，利用元素之和与积相等的性质构造方程求解判断即可得出结论. 3．（24-25高一上·安徽·期中）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 【答案】(1)①12; ②-1 (2)①13184; ②-1 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】（1）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，找出符合条件的元素，再求和即可. （2）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，结合集合子集概念和结论，运用组合一起求和即可. 【详解】（1）①的所有非空子集为， 其“递嬗和”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． ②的所有非空子集为， ， 其“递嬗积”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． （2）因为， 所以集合． ①集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗和”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉103的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗和”的和为103，共有组， 所以所有“递嬗和”的总和为． ②集合的子集中，其中除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗积”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗积”的和为0，共有组， 所以所有“递嬗积”之和应该为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 1.2集合间的基本关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练3】（24-25高一上·天津宁河·期中）若集合 则的真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．25 D．24 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练4】（24-25高二下·云南大理·开学考试）若集合是空集，则的取值范围是 ． 第三部分 题型精讲 题型01判断两个集合的包含关系 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 【变式2】（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 判断子集（真子集）的个数 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【典例2】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式1】（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）满足⫋的集合A的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 题型03求集合中子集（真子集） 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的个数. 【变式1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【变式3】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 题型04空集的概念集判断 【典例1】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【变式1】（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高一上·重庆九龙坡·期中）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05空集的性质及应用 【典例1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【典例2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【变式2】（24-25高一上·北京东城·期中）若集合，则实数a的取值范围 ． 【变式3】（24-25高一上·江苏镇江·开学考试）若是的真子集，则实数的取值范围是 ． 题型06判断两个集合是否相等 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（多选）（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 题型07根据两个集合相等求参数 【典例1】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【典例2】（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 . 【变式1】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【变式2】（24-25高三下·全国·开学考试）已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若，则（    ） A．4 B． C．0 D．2 题型08根据集合的包含关系求参数 【典例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【变式1】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【变式2】（24-25高一上·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型09 新定义题 【典例1】（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【典例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①，②，（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为 ． 【变式1】（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【变式3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 方法1 数轴辅助法 【典例1】（23-24高一下·浙江·期中）设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一·上海·课堂例题）已知集合，，且，求实数a的取值范围． 【变式2】（2024高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 方法2 分类讨论法 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式2】（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 典型易错题1 忽略空集 【典例1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有整数的取值构成的集合为（   ） A．{1，2} B．{1} C． D． 【变式2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）若集合则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是（    ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 6．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 8．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则实数的取值范围是 ． 10．（2025高三·全国·专题练习），集合，则 . 四、解答题 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 12．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． B能力提升 1．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 2．（24-25高一上·福建福州·期中）满足的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（多选）（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 4．（多选）（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 7．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. C综合素养 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 2．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知有限实数集，若，则称A为“和积平衡集”. (1)分别判断集合、集合是否为“和积平衡集”； (2)已知集合M为“和积平衡集”，且，请用列举法表示集合M（不需要说明理由）； (3)已知实数，若集合为“和积平衡集”，是否存在实数z满足，并且使得为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在，请说明理由. 3．（24-25高一上·安徽·期中）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 学科网（北京）股份有限公司 $$