第01讲 1.1集合的概念 -【精讲精练】2025-2026学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第01讲 1.1集合的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  【即学即练1】（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（6）符合集合概念， 故选：B 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【即学即练2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】集合元素互异性的应用、根据元素与集合的关系求参数 【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可. 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为. 故选：D 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 【即学即练3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【答案】(1)是有限集 (2)是无限集 (3)是空集 (4)是有限集 【知识点】集合的分类 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）根据二次一次方程的性质分析判断； （3）解不等式组判断； （4）根据有限集的定义判断. 【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根， 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； （3）由，得，不等式组无解， 所以满足条件和的实数x组成的集合为空集； （4）因为我国的少数民族的个数是有限的， 所以我国的少数民族组成的集合为有限集. 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 第三部分 题型精讲 题型01 判断元素能否构成集合 【典例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 【典例2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 【答案】C 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误； B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误； C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会”的代表能构成集合，C正确； D选项，精确度未确定的情况下，的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．某中学所有聪明的学生 B．不小于5的所有自然数 C．中国各地的美丽乡村 D．联盟中所有优秀的球员 【答案】B 【分析】根据集合中元素的确定性判断即可. 【详解】根据集合中的元素具有确定性知，某中学所有聪明的学生，中国各地的美丽乡村，联盟中所有优秀的球员，都不能构成集合，不小于5的所有自然数具有确定性，可以构成集合. 故选：B 【变式3】（多选）（2024高一上·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 故选：ACD 题型02 判断是否为同一集合 【典例1】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得. 【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 【典例2】（22-23高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 【答案】 正确 错误 错误 错误 【分析】（1）根据集合元素的无序性可知两个集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于3的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确； （2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误； （3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误； （4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误； 故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误. 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案 【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 【变式3】（多选）（24-25高一上·福建福州·阶段练习）下列各组中M、P表示不同集合的是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，根据集合的无序性可知； 选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P； 选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，=，故M=P； 选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故． 故选：BD． 题型03 判断元素与集合的关系 【典例1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】验证各选项可得答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于BC，，B，C错误； 对于D，因为，且，D正确. 故选：D 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，结合，化简集合即可求解. 【详解】因为，所以或. 又，所以，，故. 故选：C. 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过列举法表示集合，然后利用元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】， 所以，， 故A，C，D错误，B正确. 故选：B． 【变式2】（23-24高一上·内蒙古包头·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 【变式3】（多选）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 题型04 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【分析】根据元素与集合的关系，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，． 故选：C． 【变式1】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可知当时满足，当时，两方程联立可求解. 【详解】根据题意可知集合，且， 所以当时满足，且当时满足， 联立，解之可得或. 实数的取值范围是或. 故答案为： 【变式3】（2025高一·全国·课后作业）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得或或，分别求解后再验证即可. 【详解】解：因为， 当，即时，此时，不满足元素的互异性； 当，即时，此时，满足题意； 当，即时，此时无解； 综上，. 故答案为： 题型05 根据集合元素互异性求参数 【典例1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】ABD 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可. 【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错； 当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错. 故选：ABD 【典例2】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】由元素的互异性求解即可. 【详解】解：由集合中的元素满足互异性可知， 解得且且且． 故答案为： 【变式1】（多选）（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 【变式2】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 【变式3】（23-24高一上·江苏·课后作业）若，求的取值范围． 【答案】且 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】由集合的特性列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】 ，得 综上，且 即的取值范围为且 题型06 列举法 【典例1】（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】由条件可得为的正约数，且，由此确定结论. 【详解】因为， 所以为的正约数，且， 所以或或或， 所以或或或， 所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可. 【详解】由题意可得：集合. 故选：B． 【变式2】（24-25高一上·四川南充·期中）把集合用列举法表示为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合、常用数集或数集关系应用 【分析】当取时，对应的值为，再根据列举法即可求解. 【详解】当取时，对应的值为， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）用列举法表示集合 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合、判断元素与集合的关系 【分析】由可列举出符合题意的的值，进而表示出集合． 【详解】集合 所以可以取的值为，1，2，3，所以． 故答案为：． 题型07 描述法 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 【答案】(1) (2)且 (3) (4) (5)或 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）（4）（5）用列举法表示即可；（2）（3）用描述法表示即可. 【详解】（1）由，解得或， 所以方程的解构成的集合可表示为； （2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合可表示为且； （3）由，解得， 则不等式的解构成的集合可表示为； （4）大于且不大于的自然数有，，，，，， 所以大于且不大于的自然数的全体构成的集合可表示为； （5）由，解得， 所以方程组的解构成的集合可表示为或； 【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据描述法及列举法的定义结合题意即可得出答案. 【详解】（1）由得，，解得，， 所以集合为； （2）由，得x为，，0，1，2， 当或时，； 当或时，； 当时，． 所以集合为； （3）； （4）解不等式得， 所以不等式的解集可表示为． 【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【答案】 【知识点】描述法表示集合 【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可. 【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解. （2）由奇数的概念以及描述法即可求解. （3）由描述法即可求解. （4）用列举法即可求解. 【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合. （2）所有奇数组成的集合. （3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合. （4）. 【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)； (4)不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）（2）根据描述法写出； （3）根据描述法及列举法求解； （4）解一元一次不等式，利用描述法表示即可. 【详解】（1）奇数的集合用描述法表示为： （2）正偶数的集合用描述法表示为： （3）． （4）由解得，所以不等式的解集为． 题型08两个集合相等问题 【典例1】（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值. 【详解】∵，显然， 所以，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴. ∴ 故答案为： 【变式1】（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 【答案】0 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【答案】1 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 【变式3】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案. 【详解】①当时，解得， 当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； ②当时，解得， 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； 当时，， 得到，符合题意，所以. 故答案为：. 题型09 根据集合中元素的个数求参数 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】考虑和的情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，解得，此时有一个元素，满足要求， 当时，需要，解得， 综上，或. 故答案为：或 【变式2】（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 【变式3】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 题型10 常见数集或数集关系的应用 【典例1】（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系 【分析】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，得到答案. 【详解】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集， 由，，，，可得ABC错误，D正确. 故选：D. 【典例2】（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系 【分析】根据常用数集的符号判断元素是否属于集合. 【详解】对于选项，为实数，即，则正确； 对于选项，为无理数，不是有理数，即，则正确； 对于选项，为负整数，不是正整数，即，则错误； 对于选项，是无理数，不是整数，即，则错误； 故选： . 【变式1】（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系 【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可. 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 【变式2】（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系 【分析】根据各个符号表示的含义及元素与集合的关系逐个分析判断即可. 【详解】A.因为为有理数，所以，选项A正确， B.因为为无理数，所以是实数，所以，选项B错误， C.因为0不是正整数，所以，选项C错误， D.因为为无理数，所以，选项D错误. 故选：A 【变式3】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）判断下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系 【分析】由常见数集符号定义可得答案. 【详解】A选项，是无理数，也是实数，故，A正确； B选项，是无理数，不是有理数，故，B错误； C选项，是整数，故，C错误； D选项，0是自然数，故，D正确. 故选：AD. 题型11 新定义题 【典例1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 . 【答案】30 【知识点】集合新定义 【分析】首先要确定“有序好数对”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有30组． 【详解】由三个非零且互不相等的实数，，满足满足且满足， 可得 消去，并整理得， 所以（舍去），，于是有． 在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对， 所以必为2的倍数，且，， 故这样的数对共30组． 故答案为：． 【变式1】（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【答案】BCD 【知识点】集合新定义 【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可． 【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G , 当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义， 如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项， 将整数分成这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类， 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义， 如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确． 故选：BCD. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 . ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 【答案】②③④ 【知识点】集合的分类 【分析】根据有理数的定义，将无限循环小数整理为分数性质，逐项检验，可得答案. 【详解】由于，设，得， 两式相减得，解得，于是得，故③正确； 因为，可以化为的形式，故是有理数，故①错误，②正确； 无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，故④正确． 故答案为：②③④． 【变式3】（24-25高一上·湖北·阶段练习）记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为．已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为 ． 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】对的非空子集进行分类讨论，即分满足和满足讨论即可得解. 【详解】可设的非空子集为， 又把这样的子集分为两类： （1）一类满足，这样的非空子集的“均值”的算术平均数为； （2）另一类满足，此时可把两个非空集合与 配对， 易知这是两个不同的集合，且都是的非空子集， 它们的最大数与最小数之和是， 所以此时非空子集的“均值”的算术平均数为. 综上，的所有非空子集的“均值”的算术平均数为， 故答案为： 方法1分类讨论法 【典例1】（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）若集合中只有一个元素，则实数a的值为（    ） A．0 B．0或1 C．1 D．0或 【答案】B 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分类讨论方程根的个数即可. 【详解】当时，； 当时，则，解之得，此时， 所以或1． 故选：B． 【典例2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 【变式1】（24-25高一上·河南·期中）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则 . 【答案】0或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由方程只有一个解或两个相等的实根求解可得． 【详解】当时,，得，符合题意； 当时，，得. 故或. 故答案为：或． 【变式2】（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）已知集合，若．求实数的值． 【答案】或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】分与讨论，同时也需要验证是否满足互异性，从而解得． 【详解】解：若，则， 此时，，成立； 若，则； 此时，，故成立； 故实数或． 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 【答案】或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分和两种情况讨论，结合判别式列式求解即可. 【详解】因为集合中至多有一个元素， 当时，，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：k的取值范围或. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 4．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 5．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为是自然数，所以，所以③正确； 对于④，因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、判断两个集合是否相等、常用数集或数集关系应用 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 8．（24-25高一上·河北·阶段练习）若集合中只有一个元素，则的值（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由，讨论即可． 【详解】当，，满足条件； 当，由，则得，此时只有一个元素， 所以当或时，集合中只有一个元素. 故选：BC 三、填空题 9．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、集合元素互异性的应用 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 10．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】∵， ∴或， 解得或， 当时，不满足集合的互异性，故舍弃， 当时，，符合题意， 所以. 故答案为：． B能力提升 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 3．（多选）（23-24高一上·江西·阶段练习）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、常用数集或数集关系应用 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . 【答案】 【知识点】集合新定义 【分析】应用定义，推导出集合中的数是6的倍数. 【详解】由对任意给定的（可以相同），有且， 又6是集合中的最小正整数，则也在集合里， 假设里有形如，那么， 与6是集合中的最小正整数矛盾， 故答案为： C综合素养 1．（24-25高一上·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”； (3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”. 【答案】(1)集合是“坏集”， 集合是“好集”；理由见解析 (2)证明见解析 (3)且 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】（1）根据“好集”还是“坏集”的定义，依次验证集合即可得到结论； （2）有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，根据指数函数单调性和“坏集”定义可得结论； （3）首先确定且为“超级好集”，再证明不可能存在其他元素即可. 【详解】（1）对于集合，当时，，；集合是“坏集”； 对于集合，不妨令， 当时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若和中至少有一个属于，则集合是“好集”. （2）假设有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，则，， ，，，，有限集合是“坏集”. （3）当且时，，，是“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其他元素. 由（2）知：集合中不可能同时有大于和小于的元素， 若，且为中大于的元素中最大的元素， 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于的元素中最大的元素， 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其他元素. 满足题意的“超级好集”且. 2．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设实数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 【答案】(1)证明见解析； (2)集合中必含有两个元素； (3)证明见解析. 【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】（1）根据集合中元素的性质，循环迭代即可得出证明； （2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素； （3）设,且,则，，令及即可证明. 【详解】（1）若，则,与矛盾，故. 因为，所以，由，则， 可得，即， 故若，则. （2）由，得； 由，得； 而当时，，…， 因此当时，集合中必含有两个元素. （3）设,由（1）且, 则，. 令，化简可得, 因为, 所以方程无解，即. 令，化简可得， 同理无解，即， 所以集合中至少有三个不同的元素． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 1.1集合的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  【即学即练1】（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【即学即练2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 【即学即练3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 第三部分 题型精讲 题型01 判断元素能否构成集合 【典例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【典例2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【变式1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 【变式2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．某中学所有聪明的学生 B．不小于5的所有自然数 C．中国各地的美丽乡村 D．联盟中所有优秀的球员 【变式3】（多选）（2024高一上·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 题型02 判断是否为同一集合 【典例1】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（22-23高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【变式3】（多选）（24-25高一上·福建福州·阶段练习）下列各组中M、P表示不同集合的是（    ） A．， B． C．， D．， 题型03 判断元素与集合的关系 【典例1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·内蒙古包头·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【变式3】（多选）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 题型04 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【变式1】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是 . 【变式3】（2025高一·全国·课后作业）若，则的值为 ． 题型05 根据集合元素互异性求参数 【典例1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【典例2】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 【变式1】（多选）（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【变式2】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【变式3】（23-24高一上·江苏·课后作业）若，求的取值范围． 题型06 列举法 【典例1】（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·四川南充·期中）把集合用列举法表示为 . 【变式3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）用列举法表示集合 ． 题型07 描述法 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【变式2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)； (4)不等式的解集． 题型08两个集合相等问题 【典例1】（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【典例2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 【变式1】（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【变式3】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 . 题型09 根据集合中元素的个数求参数 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【变式3】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 题型10 常见数集或数集关系的应用 【典例1】（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）判断下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型11 新定义题 【典例1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 . 【变式1】（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 . ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 【变式3】（24-25高一上·湖北·阶段练习）记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为．已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为 ． 方法1分类讨论法 【典例1】（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）若集合中只有一个元素，则实数a的值为（    ） A．0 B．0或1 C．1 D．0或 【典例2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【变式1】（24-25高一上·河南·期中）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则 . 【变式2】（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）已知集合，若．求实数的值． 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 4．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 8．（24-25高一上·河北·阶段练习）若集合中只有一个元素，则的值（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 三、填空题 9．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 10．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ． B能力提升 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（多选）（23-24高一上·江西·阶段练习）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . C综合素养 1．（24-25高一上·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”； (3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”. 2．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设实数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 学科网（北京）股份有限公司 $$