精品解析：江苏省无锡市江阴市第二中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

江阴市第二中学2024级高一数学课堂检测10 2025.5.25 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 模为的向量与任意非零向量共线 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则普通职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为（ ） A. 16，3，1 B. 16，2，2 C. 8，15，7 D. 12，5，3 4. 如果平面向量，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为 5. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（ ） A. 直方图中的值为 B. 在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C. 如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 10. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则P是三角形的垂心 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则存在唯一实数使得 11. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点是圆上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为. B. 三棱锥体积的最大值为1. C. 的取值范围. D. 若，为线段上的动点，则的最小值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则边__________． 13. 如图，正方体ABCA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是_________． 14. 在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______. 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数 （1）求实数及； （2）若是关于x的方程的一个根，求的值. 16. 如图，四棱锥中，底面是正方形，，，点，分别为棱，的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知，是平面内一对不共线的向量，且，，. （1）若与共线，求实数的值； （2）若，求的值. 18. 如图，三棱锥中，平面，，，，． （1）求三棱锥的体积； （2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值． 19. 在中，角的对边分别为，且. （1）求A的值； （2）若，，当的周长最小时，求的值； （3）若，，且的面积为，求的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴市第二中学2024级高一数学课堂检测10 2025.5.25 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 模为的向量与任意非零向量共线 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误； 对于D：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确； 故选：D． 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B 3. 某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则普通职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为（ ） A. 16，3，1 B. 16，2，2 C. 8，15，7 D. 12，5，3 【答案】A 【解析】 【分析】求出抽样比，再分别计算即可. 【详解】因为职员、中级管理人员和高级管理人员之比为， 所以从中抽取20个人进行身体健康检查，职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为16，3，1， 故选：A. 4. 如果平面向量，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用坐标求模判断A；利用数量积的坐标表示判断B；求出向量夹角判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，而，则，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 故选：D 5. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：，必要性成立； 由，，若，则或相交，充分性不成立． 相交情况如下： 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6. 如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，设，通过解三角形即可求出答案． 【详解】解：过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、， 则即为二面角的平面角，如下图所示： 设，∵， ∴，， 又∵，∴为等边三角形，则， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】在中，， 所以 所以， 由正弦定理， 可得， 在直角中，因为 所以， 即塔高为． 故选：C． 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先过点画出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值范围即可. 【详解】如图，分别作的中点，连接，如图， 易得，又平面，平面，故平面， 在正方体中，易得， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，故平面， 又，平面，所以平面平面， 因为面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以动点在正方形的轨迹为线段， 在三角形中，，， 所以点到点的最大距离为， 最小距离为等腰三角形在边上的高为， 所以线段的长度范围为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是过作出面的平行面，从而求得的运动轨迹，由此得解. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（ ） A. 直方图中的值为 B. 在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C. 如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由诸频率和为1可求，故可判断正误，对于B，由频率求出人数后可判断正误，对于C，由直方图可得90分以上的频率，故可估计相应人数后判断正误，对于D，求出前四组的频率之和后可得上四分位数. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得， 解得，故A正确； 对于B，成绩在内的人数为人，B正确； 对于C，90分以上的频率为，故估计有的学生获一等奖，故C错误； 对于D，上四分位数即为第百分位数， 而前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故名学生成绩的上四分位数为分， 故选：ABD. 10. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则P是三角形的垂心 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦函数性质，结合三角形判断A；利用向量数量积的运算律计算判断B；利用正弦定理、余弦定理判断C；利用零向量与共线向量的定义可判断D. 【详解】对于A，在中，由，得或， 则或，则是等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于B，由，得， 则，同理，，即是三角形的垂心，B正确； 对于C，由，得， 由正弦定理得，则，为钝角，为钝角三角形，C正确； 对于于D，当，时，显然有，但此时不存在，D错误. 故选：BC 11. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点是圆上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为. B. 三棱锥体积的最大值为1. C. 的取值范围. D. 若，为线段上的动点，则的最小值. 【答案】CD 【解析】 【分析】对于选项A：直接利用扇形的面积公式求解； 对于选项B：直接求出三棱锥体积的最大值； 对于选项C：先求出的范围，由,即可求出的范围； 对于选项D：将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面,判断出.利用余弦定理求出最小值. 【详解】在Rt△SOC中,,则圆锥的母线长,半径r=OC=1. 对于选项A：圆锥SO的侧面积为.故选项A错误； 对于选项B：当时,△ABC的面积最大,此时，则三棱锥体积的最大值为:.故选项B错误； 对于选项C：当点B与点A重合时,为最小角;当点B与点C重合时,,达到最大值.又因为点B与A,C不重合,则. 又,可得,故选项C正确； 对于选项D：因为,所以. 又,所以△SAB为等边三角形，∴. 将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面,得到△S1AB,则△S1AB为等边三角形,. 如图：. 因为,, ∴； 故选项D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则边__________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可求. 【详解】由余弦定理可得，故， 故，故（负值舍） 故答案为：. 13. 如图，正方体ABCA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成角的余弦值. 【详解】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），F（1，0，2），D（0，0，0），E（0，1，2）， ∴=（，0，2），=（0，1，2）， 设，的夹角为， 则异面直线AF与DE所成角的余弦值是． 故答案为：. 14. 在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知为三角形的重心，利用三点共线可得，再由均值不等式即可求最值. 【详解】取中点，连接，如图， 由可得，即， 所以三点共线且，即为的重心， 所以， 因为三点共线， 所以， 又，， 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数 （1）求实数及； （2）若是关于x的方程的一个根，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简，结合纯虚数的定义求出，再利用复数的模长公式即可； （2）将代入一二次方程中，再利用复数相等的概念列出方程组即可求出 【小问1详解】 由题意可知，， 则 因是纯虚数，则且，得 则，得. 【小问2详解】 由题意可知，， 则， 则且， 得，，故. 16. 如图，四棱锥中，底面是正方形，，，点，分别为棱，的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：，分别为棱，的中点，， 平面，平面，平面． （2） 证明：，，且，、平面， 平面． （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线可得，由线面平行的判定定理可得平面； （2）由线面垂直的判定定理可得平面； （3）由（2）中的结论结合解直角三角形可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，由 （2）知平面， 为直线与平面所成角， ，且四边形为正方形，， ，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知，是平面内一对不共线的向量，且，，. （1）若与共线，求实数的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意将与用，表示，根据向量共线定理求实数的值即可；（2）根据题意将转化为用，表示，结合，是平面内一对不共线的向量，则就可以得出，求解方程组即可. 【详解】（1）因为，， 所以，. 因为与共线，所以存在唯一的实数，使得， ，即，解得. （2）因为，，， 且，所以， 所以，解得，， 所以. 18. 如图，三棱锥中，平面，，，，． （1）求三棱锥的体积； （2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值． 【答案】（1） （2）过点作，垂足为，过作交于，连接. 平面，平面，， ，， ，，平面，平面， 又平面，. 在直角三角形中，，， ，. 【解析】 【分析】（1）利用棱锥体积公式直接求解即可； （2）作，，根据线面垂直的判定与性质可证得；根据平行线分线段成比例可求得的值. 【小问1详解】 ，，， ， 又平面，. 【小问2详解】 略. 19. 在中，角的对边分别为，且. （1）求A的值； （2）若，，当的周长最小时，求的值； （3）若，，且的面积为，求的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简得到，利用辅助角公式得到，结合角A的范围，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周长最小值及此时的值；（3）由面积公式得到，结合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案. 【小问1详解】 由及正弦定理， 得， 因为，且， 所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 将代入，整理，得， 因为，所以的周长为， 当且仅当，即时取等号， 所以当的周长最小时，； 【小问3详解】 由的面积为，得， 所以①， 又，所以，， 由正弦定理，得，② 由①②可得， 因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $