专题21.1 二次根式（高效培优讲义）数学华东师大版九年级上册

专题21.1 二次根式 1.了解二次根式的概念,并理解其意义（重点） 2.会确定二次根式的被开方数中字母的取值范围（重点） 3.理解并会应用二次根式的性质（重难点） 4.理解二次根式有意义的条件,会运用分类讨论的思想方法解决问题（难点） 1．二次根式的定义 形如的式子叫做二次根式；＂＂叫做二次根号. 2.二次根式的特征 （1）必须含有二次根号＂的根指数为2，即＂＂，我们一般省略根指数2 ，写作＂＂. （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. （3）双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ． 二次根式满足两个条件： 1．含有二次根号＂＂； 2．被开方数是正数或0．特别地：形如 的式子也是二次根式，它表示与的乘积；当是带分数时，要写成假分数． 下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序号） 1．二次根式有意义的条件 被开方数（式）为非负数，反之也成立；即有意义． 2.求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法 (1)若一个式子含有多个二次根式，则它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数 (2)若一个式子中既含有二次根式又含有分式，则它有意义的条件是二次根式中的被开方数(式)是非负数，分式的分母不等于0 (3)若一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，则它有意义的条件是二次根式中的被开方数(式)是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0 二次根式有意义，被开方数非负数; 二次根式无意义，被开方数是负数; 单个二次根式时，列出不等式求解; 复合形式的式子，列不等式组求解 若式子成立，则 ． 要使二次根式有意义，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．0 D． 1．二次根式的性质 （1） ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； （2）即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值． 正用公式： 逆用公式： 的异同点 代数式 区别 取值范围不同 为全体实数 运算顺序不同 运算结果不同 = 联系 （24-25九年级上·福建泉州·期中）化简的结果为（     ） A． B． C． D． 题型一、求二次根式的值 例1（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可． 当时，原式， B． 1-1（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 1-2（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 1-3当时，二次根式的值为 ． 1-4将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是 题型二、求二次根式中的参数 例2（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可． A．∵，∴不是二次根式；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式；     C．当即时，不是二次根式；     D．∵，∴，∴是二次根式． D． 2-1（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2-2若满足关系式 ，则 ． 2-3（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 题型三、二次根式有意义的条件 例3（24-25九年级上·福建泉州·期末）要使二次根式有意义，的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．4 本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． ∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴的值可以是4． D． 3-1（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是（      ） A．且 B．且 C． D． 3-2（24-25九年级上·山东淄博·期末）函数中，自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3-3（24-25九年级上·河南新乡·期中）当时，化简的结果是 ． 3-4（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若，化简的结果是（    ） A． B．5 C． D． 3-5已知，则 ． 题型四、利用二次根式的性质化简 例4（24-25九年级上·吉林四平·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的性质即可解答，掌握二次根式的性质是解题的关键． ， A． 4-1（24-25九年级上·山西晋城·期中）已知，化简的正确结果为（     ） A．2 B． C． D． 4-2（24-25九年级上·四川眉山·期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 ． 4-3（24-25九年级上·黑龙江·期中）当时，则 ． 4-4（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为 ． 4-5（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知三条边的长度分别是，记的周长为． (1)当时，的最长边的长度是__________（请直接写出答案）； (2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； (3)若x为整数，求的最大值． 题型五、复合二次根式的化简 例5（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． ∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， D． 5-1（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 5-2（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）若是正整数，最小的整数是（　　） A．2 B．3 C．12 D．48 5-3把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 5-4把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 5-5（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3) 计算：． 例1 化简二次根式的结果为 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点判断出是解题的关键．由题意可知，，那么，然后根据二次根式的化简即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，那么， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．[新趋势]已知2，5，m是三角形三边的长，则等于（　　） A．2m-10 B．10-2m C．10 D．4 3．若代数式2x2＋6x－3与x2＋4的值相等，则x的值为                    (　　) A．1或－7 B．－1或7 C．1或7 D．－1或－7 4．若，，且，则的值是(      ) A．或 B．或 C．或 D．或 5．若是整数，则满足条件的自然数n共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．5 6．[新考法]如果实数，满足，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或坐标轴上 D．第二象限或坐标轴上 7．[新考法]已知．当分别取，，，，时，所对应值的总和是 ． 8．（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ． 9．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）中，自变量的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）已知：，求代数式的值． 11． （24-25九年级上·四川资阳·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足等式． 12．[定义新运算]（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．则的值是 ． 13．[新趋势]请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答： 例：已知，求的值． 解：由，解得：，∴．∴． 请继续完成下列两个问题： (1)若x、y为实数，且，化简：； (2)若，求的值． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.1 二次根式 1.了解二次根式的概念,并理解其意义（重点） 2.会确定二次根式的被开方数中字母的取值范围（重点） 3.理解并会应用二次根式的性质（重难点） 4.理解二次根式有意义的条件,会运用分类讨论的思想方法解决问题（难点） 1．二次根式的定义 形如的式子叫做二次根式；＂＂叫做二次根号. 2.二次根式的特征 （1）必须含有二次根号＂的根指数为2，即＂＂，我们一般省略根指数2 ，写作＂＂. （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. （3）双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ． 二次根式满足两个条件： 1．含有二次根号＂＂； 2．被开方数是正数或0．特别地：形如 的式子也是二次根式，它表示与的乘积；当是带分数时，要写成假分数． 下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】①，故不是二次根式； ②，故是二次根式； ③的根指数是3，故不是二次根式； ④由于，因此，故是二次根式； 故答案为：②④． 1．二次根式有意义的条件 被开方数（式）为非负数，反之也成立；即有意义． 2.求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法 (1)若一个式子含有多个二次根式，则它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数 (2)若一个式子中既含有二次根式又含有分式，则它有意义的条件是二次根式中的被开方数(式)是非负数，分式的分母不等于0 (3)若一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，则它有意义的条件是二次根式中的被开方数(式)是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0 二次根式有意义，被开方数非负数; 二次根式无意义，被开方数是负数; 单个二次根式时，列出不等式求解; 复合形式的式子，列不等式组求解 若式子成立，则 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出的值，进而求出的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 要使二次根式有意义，则的取值可以是（   ） A．5 B．3 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的取值可以是5． 故选：A． 1．二次根式的性质 （1） ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； （2）即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值． 正用公式： 逆用公式： 的异同点 代数式 区别 取值范围不同 为全体实数 运算顺序不同 运算结果不同 = 联系 （24-25九年级上·福建泉州·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 题型一、求二次根式的值 例1（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可． 当时，原式， B． 1-1（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是二次根式，则此项不符合题意； B、不是二次根式，则此项符合题意； C、是二次根式，则此项不符合题意； D、是二次根式，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键． 1-2（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 1-3当时，二次根式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 1-4将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 题型二、求二次根式中的参数 例2（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可． A．∵，∴不是二次根式；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式；     C．当即时，不是二次根式；     D．∵，∴，∴是二次根式． D． 2-1（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 2-2若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 2-3（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 【答案】 5 【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键． 题型三、二次根式有意义的条件 例3（24-25九年级上·福建泉州·期末）要使二次根式有意义，的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．4 本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． ∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴的值可以是4． D． 3-1（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是（      ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，初中函数自变量常考虑：二次根式中被开方数非负；分母不为零；根据函数式中二次根式非负，即，分母不为零，即，解不等式即可． 【详解】解：由题意知：且， 解得：且； 故选：A． 3-2（24-25九年级上·山东淄博·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分式的分母不为0，即可求得自变量x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 故选：C． 3-3（24-25九年级上·河南新乡·期中）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，先判断a，b的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3-4（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，整式的加减．根据二次根式有意义的条件求得，推出，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 3-5已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确求出、的值是解题的关键，根据二次根式有意义列出，求出的值，即可求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ， ， 故答案为：． 题型四、利用二次根式的性质化简 例4（24-25九年级上·吉林四平·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的性质即可解答，掌握二次根式的性质是解题的关键． ， A． 4-1（24-25九年级上·山西晋城·期中）已知，化简的正确结果为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的化简，化简绝对值，先判断，，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选：A 4-2（24-25九年级上·四川眉山·期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ，即 ， 故答案为：． 4-3（24-25九年级上·黑龙江·期中）当时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，把 代入计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 4-4（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的数的大小，二次根式的化简；根据数轴得出，根据二次根式的性质，化简即可得． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 4-5（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知三条边的长度分别是，记的周长为． (1)当时，的最长边的长度是__________（请直接写出答案）； (2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； (3)若x为整数，求的最大值． 【答案】(1)3 (2) (3)7 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，以及解不等式组，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键． （1）把代入三角形的三边中，化简后计算比较即可； （2）利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围，再把三角形的三边求和； （3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，求出三角形的周长． 【详解】（1）解：当，， ∵， ∴的最长边的长度是3； 故答案为：3； （2）解：由二次根式有意义的条件得， 解得：， 所以，． 所以 ＝ ＝； （3）解：由（2）可得，且． ∴x越大越大， ∴当时，三边为，1，4， ∵， ∴不合题意舍去． 当时，三边为2，2，3，符合三角形三条边的关系， ∴． 即的最大值为7． 题型五、复合二次根式的化简 例5（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． ∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， D． 5-1（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】先估算出，再根据不等式的性质，得到，即可得到答案，此题考查了无理数的估算，实数与数轴，不等式的性质，熟练掌握方法是解题关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C表示的数与最接近， 故选：C． 5-2（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）若是正整数，最小的整数是（　　） A．2 B．3 C．12 D．48 【答案】B 【分析】先化简二次根式，再确定整数的最小值即可得． 【详解】解：， 是正整数，是整数， 是正整数， 是一个平方数，且为正整数， 最小的整数是3， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键． 5-3把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键． 5-4把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 5-5（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 例1 化简二次根式的结果为 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点判断出是解题的关键．由题意可知，，那么，然后根据二次根式的化简即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，那么， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，，是二次根式， ，没有意义， 不是二次根式， 是整式， 即二次根式有4个， 故选：C． 2．[新趋势]已知2，5，m是三角形三边的长，则等于（　　） A．2m-10 B．10-2m C．10 D．4 【答案】D 【详解】∵2，5，m是三角形三边的长， ∴5-2<m<5+2， ∴3<m<7， ∴=m-3+7-m=4． 3．若代数式2x2＋6x－3与x2＋4的值相等，则x的值为                    (　　) A．1或－7 B．－1或7 C．1或7 D．－1或－7 【答案】A 【详解】由题意得2x2＋6x－3=x2＋4， x2＋6x－7=0， （x-1）(x+7)=0. 解得，选A. 4．若，，且，则的值是(      ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据绝对值、平方根、算术平方根的定义求出 、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 或， 又， ， 或， ， ，或，， 或， 因此的值为或， 故选：． 【点睛】本题考查绝对值、算术平方根、平方根，理解绝对值、算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提． 5．若是整数，则满足条件的自然数n共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根性质是关键．根据算术平方根性质解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∵是整数， ∴， 对应n的值也有16，7，12，15，0． 故选：D． 6．[新考法]如果实数，满足，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或坐标轴上 D．第二象限或坐标轴上 【答案】D 【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴． 【详解】解：∵， ∴x、y异号，且y>0， ∴x<0，或者x、y中有一个为0或均为0． ∴那么点在第二象限或坐标轴上． 故选：D． 【点睛】根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a、b的取值范围，从而确定点的坐标位置． 7．[新考法]已知．当分别取，，，，时，所对应值的总和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质、绝对值的化简等知识点，掌握算术平方根的性质：是解题关键．先化简求出的表达式，再分类化简绝对值，再将的取值代入求和即可得． 【详解】解：， 当时，， 当时，， 则所求的总和为： ， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可． 【详解】解：，且开方的结果是正整数， 为某数的平方， 又，是满足题意最小的被开方数， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键． 9．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为，解决本题的关键是根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件得于不等式组，解不等式组求出自变量的取值范围即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：且． 故答案为：且 ． 10．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）已知：，求代数式的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查二次根式的性质，不等式求解集，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质得到，有不等式的解集得到，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可得， ∴，， ∴原式． 11．（24-25九年级上·四川资阳·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足等式． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式有意义的条件．先运用分式的混合运算法则对式子进行化简，再根据二次根式有意义的条件得到x，y的值，代入化简后的式子即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴，解得， ∴． 当，时， 原式． 12．[定义新运算]（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简，根据题意得到即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 13．[新趋势]请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答： 例：已知，求的值． 解：由，解得：，∴．∴． 请继续完成下列两个问题： (1)若x、y为实数，且，化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】本题考查二次根式的非负性，解一元一次不等式组； （1）根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y的取值范围，然后化简即可； （2）根据非负数的性质列出方程组，然后求出x、y，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）由，解得：， ∴． ∴； （2）由：，解得：． ∴． ∴． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$